2023-2024学年广西南宁二中高二（下）开学数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广西南宁二中高二（下）开学数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.命题“∀x∈R，x2+3x+4>0”的否定是( )
A. ∀x∈R，x2+3x+4≤0B. ∃x∉R，x2+3x+40,|φ|≤π2)的部分图象如图所示，则( )
A. f(0)=−1
B. 函数f(x)的最小正周期是2π
C. 函数f(x)的图象关于直线x=π3对称
D. 将函数f(x)的图象向左平移π6个单位长度以后，所得的函数图象关于原点对称
11.设函数f(x)=xlnx+(1−x)ln(1−x)，则( )
A. f(x)=f(1−x)
B. 函数f(x)有最大值−ln2
C. 若x1+x2=1，则x1f(x2)+x2f(x1)≥−ln2
D. 若x1+x20,|φ|≤π2)的部分图象可得A=2，
可得34×2πω=7π12+π6，求得ω=2，
结合五点法作图，可得2×(−π6)+φ=−π2，求得φ=−π6，
所以f(x)=2sin(2x−π6)，
可得f(0)=2sin(−π6)=−1，故A正确；
可得f(x)的最小正周期为2π2=π，故B不正确；
令x=π3，求得f(π3)=2sin(2×π3−π6)=2，为最大值，可得函数f(x)的图象关于直线x=π3对称，故C正确；
将函数f(x)的图象向左平移π6个单位后，可得y=2sin(2x+π6)的图象，
可得所得的函数图象不关于y轴对称，故D错误．
故选：AC．
由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对A.由题意知，f(x)=xlnx+(1−x)ln(1−x)，
所以f(1−x)=(1−x)ln(1−x)+xlnx=f(x)，故A正确；
对B.由题意知f(x)的定义域为(0,1)，
f′(x)=lnx+x×1x−ln(1−x)−1=lnx−ln(1−x)=lnx1−x，
当x∈(0,12)，f′(x)0，
所以f(x)在(0,12)单调递减，在(12,1)单调递增，
所以当x=12时，f(x)取到极小值也是最小值f(12)=−ln2，故B错误；
对C.当x1+x2=1时，可得x1=1−x2=1，由A知f(1−x)=f(x)，
所以x1f(x2)+x2f(x1)=(1−x2)f(x2)+x2f(1−x2)=(1−x2)f(x2)+x2f(x2)=f(x2)，
由B知f(x)≥−ln2恒成立，所以f(x2)≥−ln2，故C正确；
对D.当x1+x20，∃k∈N*，当n≥k时，an>t，
若t1时，显然an>t，
若t≥a1，取k=[t2−a12d]+2，
当n≥k时，an2≥a12+([t2−a12d]+2−1)d>t2，即an>t成立，
因为bn=an+1−an=dan+1+ant，此时，bn2×20242=2024．
所以存在正整数n，使得i=1n1an>2024．
【解析】(1)根据定义判断满足D数列定义即可；
(2)假设d0，利用作差法证明即可；
(3)利用12s+12s+1+12s+2+⋯+1s2s+(2s−1)>12s+2s=12，利用放缩法即可求解．
本题考查数列的综合应用，属于压轴题．