2023年广西梧州市万秀区中考数学三模模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 的相反数等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数，根据相反数定义直接求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
的相反数是，
故选：A．
2. 餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约50000000000千克，这个数据用科学记数法表示（ ）
A. 千克B. 千克C. 千克D. 千克
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
详解】解：，
故选：C．
3. 体育精神就是健康向上、不懈奋斗的精神，下列关于体育运动的图标中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进行分析即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂乘除法，幂的乘方，有理数的乘方，合并同类项，根据相关法则逐一计算，即可判断答案．
【详解】解：A、，原计算正确，符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
故选：A．
5. 下列各数中，是不等式的解是（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式，逐项判断即可．
【详解】解：，
解不等式得，，
观察四个选项，只有，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解，解题关键是正确解不等式，准确判断选项．
6. 若点在第一象限，则点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据点在第一象限，得到，，即可得到点所在的象限．
【详解】解：点在第一象限内，
，，
，
点所在的象限是：第二象限．
故选：B．
【点睛】此题考查了已知点所在是象限求参数，根据点坐标判断点所在的象限，正确理解点的坐标与点所在象限的关系是解题的关键．
7. 如图，在中，，在和上分别截取，，使，再分别以点D，E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F，作射线交于点M，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了作图−基本作图，等腰三角形的性质等知识点，利用基本作图得到平分，则，再根据等腰三角形的性质得，所以，然后根据三角形内角和计算的度数即可，熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．
【详解】由作法得平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：C．
8. 《九章算术》中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．问：甲，乙两人各带了多少钱？设甲，乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得，甲的钱+乙的钱的一半=50，乙的钱+甲所有钱的=50，据此列方程组即可．
【详解】解：甲带钱x，乙带钱y，根据题意，得：
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答此类的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
9. 小李同学在求一元二次方程的近似根时，利用绘图软件绘制了如图所示的二次函数的图象，利用图象得到方程的近似根为，，小李同学的这种方法主要运用的数学思想是（ ）
A. 类比思想B. 数形结合思想C. 整体思想D. 分类讨论思想
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象解答题目，属于数形结合的数学思想的利用．
【详解】解：根据函数解析式得到函数图象，利用图象得到方程的近似根为，，属于数形结合的数学思想．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，利用图象法进行求解，求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标，也可以令，即，解关于的一元二次方程即可求得交点横坐标．
10. 碳酸钠的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 当温度为时，碳酸钠的溶解度为
B. 碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大
C. 当温度为时，碳酸钠的溶解度最大
D. 要使碳酸钠的溶解度大于，温度只能控制在
【答案】C
【解析】
【分析】直接观察图象，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、观察图象得：当温度为时，碳酸钠的溶解度为，故本选项错误，不符合题意；
B、观察图象得：当温度在时，碳酸钠的溶解度随着温度的升高而增大，故本选项错误，不符合题意；
C、观察图象得：当温度为时，碳酸钠的溶解度最大，故本选项正确，符合题意；
D、观察图象得：当温度接近并低于时，碳酸钠的溶解度达到，则要使碳酸钠的溶解度大于，温度控制的范围应该大于在，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了函数图象，明确题意，准确从图象获取信息是解题的关键．
11. 关于x一元二次方程有一个根是，则另一个根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系解答即可.
【详解】解：设方程的另一个根为，则，
解得：；
故选：A.
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若是方程的两个根，则.
12. 如图，在中，，，点为的中点，点在上，且，将绕点在平面内旋转，点的对应点为点，连接、，当时，的最大值为（ ）
A. 2B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形，分析出当时，点有两种情况，并找出的最大值是解题关键．以点为圆心，为半径作圆，连接并延长，交于点和，连接，根据题意可得，，，根据分析图中即为所求的最大值，在中，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，以点为圆心，为半径作圆，连接并延长，交于点和，连接，
，，
，
点为的中点，
，，
绕点在平面内旋转，点的对应点为点，
点在以点为圆心，为半径的圆上，
，
点、、三点共线，
由图可知，可能在线段上，也可能在延长线上，
要求的最大值，即求图中的长，
，
，
在中，
由勾股定理得，
的最大值为
故选：D
二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）
13. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【详解】解：根据题意得：
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是理解二次根式有意义，即被开方数大于或等于0．
14. 分解因式： ______ ．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式和平方差公式进行因式分解．
【详解】解：

．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握提公因式和平方差公式因式分解法．
15. 若一组数据10，8，9，x，5平均数是8，则这组数据的方差是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平均数、方差的意义．①平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水平”；②方差是用来衡量一组数据波动大小的量．根据平均数的概念，确定的值，再求该组数据的方差．
【详解】解：因为一组数据10，8，9，，5的平均数是8，
所以
所以．
于是这组数据为10，8，9，8，5．
方差．
故答案为：2.8
16. 若，则代数式的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据已知得到，代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了已知式子的值求代数式的值，正确掌握整体代入的思想是解题的关键．
17. 如图所示，小区内有个圆形花坛O，点C在弦AB上，AC=11，BC=21，OC=13，则这个花坛的面积为_____．（结果保留）
【答案】400π
【解析】
【详解】解：过点O作OD⊥AB于D，连接OB，如图，
∵AC=11，BC=21，
∴AB=AC+BC=32，
∵OD⊥AB于D，
∴AD=BD=AB=16，
∴CD=AD-AC=5，
在Rt△OCD中，由勾股定理，得
OD==12,
在Rt△OBD中，由勾股定理，得
OB==20，
∴这个花坛的面积=202π=400π，
故答案为：400π．
【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，圆的面积，熟练掌握垂径定理与勾股定理相结合求线段长是解题的关键．
18. 如图，在正方形中，，点在边上（不与端点重合），于点，连接，当是等腰三角形时，的长等于_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质以及直角三角形的性质可得，当，过点D作，则，可得，结合勾股定理，即可求出．再证明，利用相似的性质即可求出的值，当时，点E与点C重合，结论不成立．
【详解】解：在正方形中，，
∵，
∴，
∴，
∴当是等腰三角形时，分两种情况：
①当时，
如图，过点D作于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，
∵，四边形是正方形，
∴点F在与的交点上，
∴点E与点C重合，
∴此时，
综上：当是等腰三角形时，的长等于5．
故答案为：5．
【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
19. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】根据有理数的乘方，乘法，除法，绝对值，加减法分别计算即可．
【详解】
．
【点睛】本题考查含乘方的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．
20. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先对括号里的分式进行加减运算，然后再进行分式的除法运算，最后把x的值代入运算的结果．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的混合运算及求值，解题的关键是正确运用分式的运算法则，如通分、约分等．
21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成如下画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）
（1）在图1中，以为边，画出，使与全等，为格点，请在图1中画出满足条件的所有；
（2）在图2中，以点为位似中心．画出，使与位似，且位似比，点、为格点；
（3）在图3中，在边上找一个点，且满足．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了作图相似变换，熟练掌握全等图形、位似图形、相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据全等三角形的性质即可作出；
（2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出；
（3）取格点，，连接，交于点，则点即为所求作的点．由图可得，
从而得出．
【小问1详解】
如图，和和即为所作，
；
【小问2详解】
如图，即为所作，
；
【小问3详解】
如图所示，取格点，，连接，交于点，则点即为所求作的点．
22. 在矩形中，两条对角线相交于点O，分别过点A，C作，，且，连接．

（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）四边形为菱形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明四边形为平行四边形，再根据，得到平行四边形为菱形；
（2）求出的面积，即可得到四边形的面积．
【小问1详解】
解：四边形为菱形，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵矩形，
∴，
∴，
∴平行四边形为菱形；
【小问2详解】
解：∵矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
连接，

∵四边形为菱形，
∴，
又，
∴为菱形的中心，
∴菱形的面积等于．
【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形．熟练掌握矩形的性质，菱形的判定方法和性质，是解题的关键．
23. “青年大学习”是共青团中央为组织引导广大青少年，深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神的青年学校行动，我校为了解同学某季度学习“青年大学习”的情况，从中随机抽取20位同学，并统计学习时间（学习时间用x表示，单位：分钟）收集数据如下：
30 56 80 30 40 110 120 156 90 120
58 80 120 140 70 84 10 20 100 86
整理数据：按如下分段整理样本数据并补全表格．
分析数据：补全下列表格中的统计量．
（1）直接写出上述表格中a，b，c，d的值；
（2）我校有1800名同学参加了此次调查活动，请估计学习时间不低于80分钟的人数是多少？
（3）请从中位数和众数中选择一个量，结合本题解释它的意义．
【答案】（1）a=4、b=5、c=82、d=120；（2）1080人；（3）见解答
【解析】
【分析】（1）将数据重新排列，继而得出a、b的值，再根据中位数和众数的定义可得c、d的值；
（2）用总人数乘以样本中学习时间不低于80分钟的人数所占比例；
（3）从中位数和众数的意义求解即可．
【详解】解：（1）将数据重新排列为10、20、30、30、56、40、58、70、80、80、84、86、90、100、110、120、120、120、140、156，
∴a=4，b=5，
中位数c==82，众数d=120；
（2）估计学习时间不低于80分钟的人数是1800×=1080（人）；
（3）中位数：从中位数看，20名学生中有一半的人数在82分以上；
众数：20名学生中，120分的人数最多．
【点睛】本题考查中位数、众数的意义及求法，理解各个统计量的意义，明确各个统计量的特点是解决问题的前提和关键．
24. 红太阳商场经销甲、乙两种商品，甲商品每件进价元，售价元，乙商品每件进价元，售价元．
（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共件恰好用去元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该商场为甲乙两种商品共件的总利润（利润＝售价﹣进价）不小于元，且不超过元，请你帮助该商场设计相应的进货方案．
（3）在“十•一”黄金周期间，该商场对甲乙两种商品进行如下优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小王第一次只购买甲种商品一次性付款元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款元，那么这两天他在该商场购买甲乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）
【答案】（1）甲种商品件，乙种商品件
（2）共有三种进货方案：方案一：购进甲种商品件，乙种商品件；方案二：购进甲种商品件，乙种商品件；方案三：购进甲种商品件，乙种商品件
（3）这两天他在该商场购买甲乙两种商品一共或件
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组，及所求量的等量关系．（1）等量关系为：甲商品总进价+乙商品总进价＝，根据此关系列方程即可求解；（2）关系式为：甲商品件数×（）+乙商品件数×（），甲商品件数×（）+乙商品件数×（）；（3）第一天的总价为元，打折最低应该出元，所以没有享受打折，第二天的也可能享受了9折，也可能享受了8折．应先算出原价，然后除以单价，得出数量．
【小问1详解】
解：设购进甲种商品为x件，则购进乙种商品为件，根据题意得：
，
解得，
则（件）．
答：甲种商品40件，乙种商品60件；
【小问2详解】
设该商场进甲种商品a件，则购进乙种商品件，根据题意得：
，
因此，不等式组的解集为．
根据题意得值应是整数，所以或或，
该商场共有三种进货方案：
方案一：购进甲种商品48件，乙种商品52件；
方案二：购进甲种商品49件，乙种商品51件；
方案三：购进甲种商品50件，乙种商品50件．
【小问3详解】
根据题意得：
第一天只购买甲种商品不享受优惠条件，
∴（件）．
第二天只购买乙种商品有以下两种情况：
情况一：购买乙种商品打九折，（件）；
情况二：购买乙种商品打八折，（件）．
一共可购买甲、乙两种商品（件）或（件）．
故这两天他该商场购买甲乙两种商品一共18或19件．
25. 如图，是的直径，弦于点，过点作交的延长线于点，点是延长线上一点，．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）连接，根据等腰三角形三线合一得出，再由等腰三角形的性质得出，利用等量代换确定，即可证明；
（2）根据垂径定理得出，再由正切函数的定义得出，设半径的长为r，则，利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：

∵，，
∴平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵为的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设半径的长为r，则，
∵，
∴，
解得：，
∴半径的长为5．
【点睛】本题主要考查切线的判定，等腰三角形的性质，正切函数的定义，垂径定理及勾股定理，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
26. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且点A在点B的左侧，与y轴交于点C，点D是抛物线上的一动点．

（1）点A的坐标 ，点B的坐标 ，点C的坐标 ．
（2）如图2，当点D在第四象限时，连接和，得到，求的面积的最大值及此时点D的坐标．
（3）点E在x轴上运动，以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请借助图1探究，直接写出点E的坐标．
【答案】（1）；；
（2）
（3）或或或．
【解析】
【分析】（1）求出当时x值即可求出A、B的坐标，求出当时y的值即可求出点C的坐标；
（2）如图，过点D作轴于点H，作轴于点G，连接．根据，推出，据此求解即可；
（3）分四种情况利用平行四边形的性质讨论求解即可．
【小问1详解】
解： 把代入中，得：，
解得：，
∴点A的坐标是，点B的坐标是．
把代入中，得．
∴点C的坐标是；
故答案为：；；
【小问2详解】
解：设点D的坐标是．
如图，过点D作轴于点H，作轴于点G，连接．

∴，
∵点B的坐标是，点C的坐标是，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴当时，的面积最大，最大值为．
此时点D的坐标是；
【小问3详解】
解：如图所示，当四边形是平行四边形时，则，

∴点D的纵坐标为，
令，
解得或0（舍去），
∴，
∴，
∴；
如图，当四边形是平行四边形时，同理可得；

如图，当四边形是平行四边形时，

设点D的坐标是，点E的坐标为．
∴，
解得，，
∴点；
如图，当四边形是平行四边形时，

同理可求 ；
综上所述，点E的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数与坐标轴的交点，平行四边形的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．课外阅读时间
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超过元且不超过元
售价打九折
超过元
售价打八折