甘肃省武威市三校 2023-2024学年九年级上学期期末考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“清明”、“谷雨”、“白露”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念即可求解．
【详解】解：A、是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是轴对称图形而不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转180°后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．
2. 将分别标有“文”“明”“武“威”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“武威”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】按照不可放回式概率计算求解即可．此题考查的是用画树状图法或列表法求概率，解题时要注意问题是放回实验还是不放回实验，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【详解】画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中符合题意的有2种，
∴．
故选B．
3. 如图，平行四边形ABCD中，，，EF＝4，则AD的长为（ ）
A. 8B. 10C. 16D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据可得，根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质即可求得的长．
【详解】解：∵，
∴，
，
，EF＝4，
，
，
四边形是平行四边形，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
4. 工程上常用钢珠来测量零件上小孔的宽口，如果钢珠的直径为10mm，钢珠上项端离零件上表面的距离为8mm，如图，则这个零件小孔的宽口AB等于（ ）mm．
A. 4B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】先根据钢珠的直径求出其半径，再构造直角三角形，求出小圆孔的宽口AB的长度的一半，最后乘以2即为所求．
【详解】连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，
则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm．
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm．
在Rt△AOD中，∵mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm
故选D
【点睛】本题是典型的几何联系实际应用题，熟练运用垂径定理是解题的关键．
5. 已知抛物线与x轴交于两点，，则x为（ ）时，．
A. B. 或C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据可得抛物线开口向上，根据与轴的交点坐标即可判断，当点位于交点两侧时，函数值大于0，即可求解
【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点，，
∴当或时，
故选：B
【点睛】本题考查了根据二次函数与轴的交点求不等式的解集，理解抛物线的图象的性质是解题的关键．
6. 小明同学用一把直尺和一个直角三角板（有一个锐角为60°）测量一张光盘的直径，他把直尺、三角板和光盘按如图的方式放置，点A是60°角顶点，B是光盘与直尺的公共点，测得AB＝3，则此光盘的直径为（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设光盘的圆心为,直角三角板与的切点为，连接，根据切线长定理可得，进而利用勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质，求得的长，即可求得答案．
【详解】如图，设光盘的圆心为,直角三角板与的切点为，连接，
是的切线，
，，
此光盘的直径为
故选D
【点睛】本题考查了切线长定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握切线长定理是解题的关键．
7. 已知反比例函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 点(1，2)在它的图象上
B. 其图象分别位于第一、三象限
C. 随的增大而减小
D. 如果点在它的图象上，则点也在它的图象上
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质解答即可．
详解】解：∵
∴图象在二、四象限，y随x的增大而增大，选项A、B、C错误；
∵点在函数的图象上，
∴
∵点横纵坐标的乘积
∴则点也在函数的图象上，选项D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的的性质，掌握反比例函数图象的特征及其性质是解此题的关键．
8. 半径相等的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）
A. 1：：B. ：：1C. 3：2：1D. 1：2：3
【答案】B
【解析】
【分析】设圆的半径为R，分别画出圆的内接正三角形、正方形、正六边形，根据锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质，求出边长即可．
【详解】设圆的半径为R，
如图(一)，
连接OB，过O作OD⊥BC于D，
则∠OBC=30°，BD=OB⋅cs30°=R，
故BC=2BD=R；
如图(二)，
连接OB、OC，过O作OE⊥BC于E，
则△OBE是等腰直角三角形，
2BE2=OB2，即BE=R，
故BC=R；
如图(三)，
连接OA、OB，过O作OG⊥AB，
则△OAB是等边三角形，
故AG=OA⋅cs60°=R，AB=2AG=R，
故圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为R∶R∶R=∶∶1．
故选B．
【点睛】本题主要考查圆的正多边形的边长，掌握等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键．
9. 函数与在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数的图象，分类讨论：当时，当时，利用数形结合即可求解，利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题的关键．
【详解】解：当时，则，
抛物线的开口向上，且与轴交于负半轴，
反比例函数图象经过一、三象限，
当时，
抛物线的开口向下，且与轴交于正半轴，
反比例函数的图象经过二、四象限，
综上所述，在同一直角坐标系中的图象可能，
故选A．
10. （11·孝感）如图，二次函数的图像与轴正半轴相交，其顶点坐标为（），下列结论：①；②； ③；④.
其中正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2
C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【详解】①∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴为x=﹣=，∴b=﹣a＞0，∵抛物线与y轴交点在y轴正半轴，∴c＞0，∴ac＜0，①正确；
②∵b=﹣a，∴a+b=0，②正确；
③∵抛物线的顶点坐标为（，1），∴=1，∴4ac﹣b2=4a，③正确；
④∵抛物线的对称轴为x=，∴x=1与x=0时y值相等，∵当x=0时，y=c＞0，∴当x=1时，y=a+b+c＞0，④错误．
综上所述：正确的结论为①②③．
故选：C．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若 的面积为 ，则四边形BDEC的面积为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角形中位线定理可得 ，DE∥BC，从而得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的性质，可得 ，即可求解．
【详解】解：∵点D、E分别是AB、AC的中点，
∴ ，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵ 的面积为 ，
∴ ，
∴四边形BDEC的面积为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理，相似三角形的性质是解题的关键．
12. 一个圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥侧面积展开图的扇形圆心角是____________．
【答案】##180度
【解析】
【分析】本题考查了圆锥侧面展开图，根据题意利用公式(其中C为底面周长，l为母线长，r为底面半径，n为侧面展开图的圆心角)，代入计算即可．
【详解】设其中底面周长为C，母线长为l，底面半径为r，侧面展开图的圆心角为，
根据题意，得，
，
解得，
故答案为：．
13. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，则∠ADC的度数是_____．
【答案】65°
【解析】
【分析】根据旋转的性质求出∠E和∠DCE度数，利用三角形外角的性质∠ADC=∠DCE+∠E即可．
【详解】∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE=∠ACB=20°，AC=CE，∠ACE＝90°，
∴∠E＝45°．
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC＝∠DCE+∠E＝20°+45°＝65°．
故答案为65°．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，解决这类问题关键是找准旋转角，利用旋转的性质等量转化角或线段．
14. 如图是反比例函数在第二象限内的图像，若图中的矩形 OABC的面积为4，则k等于_____．
【答案】－4
【解析】
【分析】根据反比例函数k值的几何意义代入计算即可.
【详解】解：因为反比例函数y＝，且矩形OABC的面积为4，
所以|k|＝4，即k＝±4，
又反比例函数的图像y＝在第二象限内，k＜0，
所以k＝．
故答案为：
【点睛】本题考查反比例函数k值的几何意义，关键在于熟记性质，判断符号.
15. 如图，以边长为2cm的等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的莱洛三角形(图中阴影部分）的面积是___cm2（圆周率用π表示）.
【答案】##
【解析】
【分析】图中三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积等于三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【详解】解：过A作AD⊥BC于D，如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝2cm，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵AD⊥BC，
∴BD＝CD＝1cm，
∴，
，
，
莱洛三角形的面积．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积＝三块扇形的面积之和-两个等边三角形的面积，是解此题的关键．
16. 三边长分别是5cm，12cm，13cm的三角形的内切圆半径为_____cm．
【答案】2．
【解析】
【分析】先利用勾股定理的逆定理证明此三角形为直角三角形，然后利用直角三角形内切圆的半径r＝（其中a、b为直角边，c为斜边）进行计算．
【详解】解：∵52+122＝132，
∴此三角形为直角三角形，
∴这个三角形的内切圆半径＝＝2（cm）．
故答案为2．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内切圆的判定,明确直角三角形的内切圆半径的求法是解题关键.
17. 如图，要使与相似，则需添加一个适当的条件是______________(只添一个即可)．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据相似三角形的判定，即可求解．
【详解】解：根据题意得：∠A=∠A，
添加，可利用AA证得与相似，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了相似三角形判定，熟练掌握相似三角形判定定理是解题的关键．
18. 小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分(如图所示)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是_____m.
【答案】4
【解析】
【分析】根据题意可以求得当y=3.05时，抛物线y＝－x2＋3.5中对应的x的值，从而可以解答本题．
【详解】将y=3.05代入y＝－x2＋3.5，得
3.05=－x2+3.5，
解得,x=−1.5(舍去)或x=1.5，
∴若命中篮圈中心,则他与篮底的距离l是：2.5+1.5=4(m)，
故答案为：4.
【点睛】本题考查二次函数的应用.
三、计算题：本大题共1小题，共6分．
19. 关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根．
【答案】（1） ；（2）x1=0，x2=1.
【解析】
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于k的不等式，解之可得；
（2）由所得k的范围，结合k为负整数得出k的值，代入方程，再利用因式分解法求解可得．
【详解】（1）由题意，得△．
解得．
（2）∵k为负整数，
∴．
则方程为．
解得，．
【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△=4k+5＞0；（2）将k=-1代入原方程，利用因式分解法解方程．
四、解答题：本题共7小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
20. 解下列方程：
（1）x2﹣6x＋3＝0；
（2）2x（x﹣1）＝3﹣3x．
【答案】（1）x1=，x2=
（2）x1=1或x2=
【解析】
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【小问1详解】
解：∵x2-6x=-3，
∴x2-6x+9=-3+9，即（x-3）2=6，
则x-3=，
∴x1=，x2=；
【小问2详解】
∵2x（x-1）=-3（x-1），
∴2x（x-1）+3（x-1）=0，
∴（x-1）（2x+3）=0，
∴x-1=0或2x+3=0，
解得x1=1或x2=．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
21. 如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△；
（2）写出点，的坐标；
（3）求出（1）中C点旋转到点所经过的路径长（结果保留π）．
【答案】（1）见解析 （2）（4，2）；（3，4）
（3）点C走过路线长=2.5π
【解析】
【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，即可画出图形；
（2）由（1）可知，写出点，的坐标即可；
（3）先计算出OC的长，然后根据弧长公式计算C点旋转到C1点所经过的路径长．
【小问1详解】
解：如图所示：
【小问2详解】
解：由（1）可知，（4，2）；（3，4）；
【小问3详解】
解：根据题意，
，
∴所以C点旋转到C1点所经过的路径长=；
【点睛】本题考查了作图：旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．
22. 如图，一次函数的图像与反比例函数（k为常数，且）的图像交于，B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
（2）在x轴上找一点P，使的值最小，求的最小值．
【答案】（1），B坐标
（2）
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的综合，线段和的最小值．
（1）把点代入一次函数，即可得出a，再把点A坐标代入反比例函数，即可得出k，两个函数解析式联立求得点B坐标；
（2）作点B作关于x轴的对称点D，连接，交x轴于点P，此时的值最小，然后根据勾股定理即可求得．
【小问1详解】
解：把点代入一次函数，
得，
解得，
∴，
点代入反比例函数，
得，
∴反比例函数的表达式,
两个函数解析式联立列方程组得，
解得，
∴点B坐标．
【小问2详解】
解：作点B作关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接，交x轴于点P，
此时的值最小，
∴，
∵,
∴
∴的最小值为．
23. 为帮助学生养成热爱美、发现美的艺术素养，某校开展了“一人一艺”的艺术选修课活动．学生根据自己的喜好选择一门艺术项目（：书法，：绘画，：摄影，：泥塑，：剪纸），张老师随机对该校部分学生的选课情况进行调查后，制成了两幅不完整的统计图（如图所示）．
（1）求张老师调查的学生人数；
（2）补全条形统计图；
（3）现有4名学生，其中2人选修书法，1人选修绘画，1人选修摄影，张老师要从这4人中任选2人了解他们对艺术选修课的看法，请用画树状图或列表的方法，求所选2人都是选修书法的概率．
【答案】（1）50名 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由书法人数除以所占百分比即可得出；
（2）计算出D组中人数，补图即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，所选2人都是选修书法的结果有2种，最后根据概率公式即可得出．
【小问1详解】
张老师调查的学生人数为：(名)；
【小问2详解】
D组中人数为：，
如图所示：
【小问3详解】
把2人选修书法的记为，，1人选修绘画的记为，1人选修摄影的记为，
画树状图如图：
由树状图知，共有12种等可能的结果，其中所选2人都选修书法的结果有2种，
∴ 所选2人都是选修书法的概率为．
【点睛】本题考查用列表法或画树状图法求概率，条形统计图和扇形统计图的理解与应用能力．利用列表法或画树状图法以不错不漏地列出所有等可能的结果是解本题的关键．
24. 某大学生创业团队抓住商机，购进一批干果分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本3元．试销期间发现每天的销售量y（袋）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示，其中3.5≤x≤5.5，另外每天还需支付其他费用80元．
（1）请直接写出y与x之间的函数关系式；
（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为多少元？
（3）设每天的利润为w元，当销售单价定为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y与x之间的函数关系式为y=﹣80x+560；（2）如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；（3）当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．
【解析】
【分析】（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120分别代入求出k、b的值即可得；
（2）根据利润=（售价-成本）×销售量-其他费用列出方程进行求解即可得；
（3）根据利润=（售价-成本）×销售量-其他费用列出函数关系式，然后利用二次函数的性质进行解答即可得．
【详解】解：（1）设y=kx+b，将x=3.5，y=280；x=5.5，y=120代入，
得，
解得，
则y与x之间的函数关系式为y=﹣80x+560；
（2）由题意，得（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80=160，
整理，得x2﹣10x+24=0，
解得x1=4，x2=6，
∵3.5≤x≤5.5，
∴x=4，
答：如果每天获得160元的利润，销售单价为4元；
（3）由题意得：w=（x﹣3）（﹣80x+560）﹣80
=﹣80x2+800x﹣1760
=﹣80（x﹣5）2+240，
∵3.5≤x≤5.5，
∴当x=5时，w有最大值为240，
故当销售单价定为5元时，每天的利润最大，最大利润是240元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、二次函数的应用、一元二次方程的应用等，读懂题意，找准数量关系列出函数关系式、找准等量关系列出方程是解题的关键．
25. 如图，在中，是边上的中线，以为直径的交于点，过点作于点，交的延长线于点，过点作于点．
（1）求证：；
（2）求证：直线是的切线．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，通过，即可证明；
（2）连接，通过证明OD是的中位线得到，进而根据题意可知，即可证得直线是的切线．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
在和中，，，
∴；
（2）证明：连接，
∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴直线是的切线．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及切线的判定，熟练掌握圆及三角形的相关综合应用方法是解决本题的关键．
26. 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，直线交于点，交轴于点，交抛物线于点，连接．

（1）求此抛物线的解析式；
（2）求线段长度的最大值；
（3）过点作于点，当时，求的长．
【答案】（1）
（2）线段长度的最大值为
（3）的长为
【解析】
【分析】（1）把，坐标代入抛物线解析式，用待定系数法求函数解析式即可；
（2）令，求出点坐标，再根据待定系数法求出直线的解析式，设，则，然后求出，根据函数性质求最值；
（3）当时，，，可得，证明，有，可得，求解符合要求的的值，进而可得、、的值，在中，由勾股定理得，解得的值，由，，可证，有，计算求解即．
【小问1详解】
解：根据题意，得，解得：，
抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：当时，，，
设直线的解析式为，
则，解得：，
直线的解析式为，
当时，，
，，
，
，，
当时，取最大值，最大值为2，
线段长度的最大值为；
【小问3详解】
解：如图：
当时，．
，
，
，
，
，
即，
，
解得，（不合题意，舍去），
，，，
，
，，
，
，
，
长为．
【点睛】本题考查了二次函数解析式、最值，二次函数与线段综合，三角形相似，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识灵活运用．销售单价（元）


销售量（袋）