2022-2023学年天津二十五中高二（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年天津二十五中高二（下）第一次月考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数f(x)=x2−ax+3在(0,1)上为减函数，函数g(x)=x2−alnx在(1,2)上为增函数，则a的值等于( )
A. 1B. 2C. 0D. 2
2.函数y=x+3x+2lnx的单调递减区间是( )
A. (−3,1)B. (0,1)C. (−1,3)D. (0,3)
3.若函数f(x)满足f(x)=13x3−f′(1)x2−x，则f′(1)的值为( )
A. 1B. 2C. 0D. −1
4.设函数f(x)=ln(1+x)−ln(1−x)，则f(x)是( )
A. 奇函数，且在(0,1)上是增函数B. 奇函数，且在(0,1)上是减函数
C. 偶函数，且在(0,1)上是增函数D. 偶函数，且在(0,1)上是减函数
5.导函数y=f′(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
6.函数f(x)=x3−x2−x的单调减区间是( )
A. (−∞,−13)B. (−13,1)
C. (−∞,−13)，(1,∞)D. (1,∞)
7.函数f(x)=x3−3x+1在闭区间[−3,0]上的最大值、最小值分别是( )
A. 1，−1B. 3，−17C. 1，−17D. 9，−19
8.设函数f(x)=alnx+bx2，若函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x，则函数y=f(x)的增区间为( )
A. (0,1)B. (0, 22)C. ( 22,+∞)D. ( 22,1)
9.若函数f(x)=ax−lnx在x= 22处取得极值，则实数a的值为( )
A. 2B. 22C. 2D. 12
10.已知函数f(x)=4x+3sinx，x∈(−1,1)，如果f(1−a)+f(1−a2)<0成立，则实数a的取值范围为( )
A. (0,1)B. (1, 2)
C. (−2,− 2)D. (−∞,−2)∪(1,+∞)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.函数f(x)=12x+csx在[0,π2]上的最小值为______．
12.曲线y=ex+2在点P(0,3)处的切线的倾斜角是π4．
13.若函数f(x)=x3+mx2+x+1在R上没有极值点，则实数m的取值范围是______．
14.已知函数f(x)=lnxx，则f(x)的图象在x=1处的切线方程为______．
15.设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数．当x<0时，f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，且g(−3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是______．
三、解答题：本题共5小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题11分)
若函数f(x)=ax3−bx+4，当x=2时，函数f(x)有极值−43．
(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若方程f(x)=k有3个不同的根，求实数k的取值范围．
17.(本小题11分)
已知函数f(x)=alnx−bx2，a，b∈R.若f(x)在x=1处与直线y=−12相切．
(1)求a，b的值；
(2)求f(x)在[1e,e]上的最大值．
18.(本小题11分)
已知f(x)=ax3+bx2+cx在区间[0,1]上是增函数，在区间(−∞,0)，(1,+∞)上是减函数，又f′(12)=32．
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)若在区间[0,m](m>0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范围．
19.(本小题11分)
已知函数f(x)=x2+2x+alnx(x>0)．
(1)a=0时，求f(x)的最小值；
(2)若f(x)在[1,+∞)上递增，求实数a的取值范围．
20.(本小题11分)
设函数f(x)=aexlnx+bex−1x，曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y=e(x−1)+2．
(Ⅰ)求a、b；
(Ⅱ)证明：f(x)>1．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：函数f(x)=x2−ax+3的对称轴为x=12a，
∵函数f(x)=x2−ax+3在(0,1)上为减函数，且开口向上，∴12a≥1，得出a≥2．
∵g′(x)=2x−ax=2x2−ax，
若函数g(x)=x2−alnx在(1,2)上为增函数，则只能g′(x)≥0在(1,2)上恒成立，
即2x2−a≥0在(1,2)上恒成立，
a≤2x2，故只要a≤2．
综上所述，a=2．
故选：B．
先求出二次函数f(x)图象的对称轴，由区间(0,1)在对称轴的左侧，列出不等式解出a的取值范围．再利用函数g(x)单调，其导函数大于等于0恒成立，得到二次不等式恒成立，两者结合即可得到答案．
本题考查了二次函数的单调性，先求出对称轴方程，根据图象的开口方向，再进行求解，考查利用导数研究函数的单调性、函数单调性求参数范围，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，属于基础题．
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递减区间即可．
【解答】
解：函数的定义域是(0,+∞)，
y′=1−3x2+2x=(x+3)(x−1)x2，
令y′(x)<0，解得：0故函数在(0,1)递减，
故选：B．
3.【答案】C
【解析】解：f(x)=13x3−f′(1)x2−x，则f′(x)=x2−2f′(1)x−1，
f′(1)=1−2f′(1)−1，解得f′(1)=0．
故选：C．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查计算能力，属于基础题．
求出函数的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．
【解答】
解：函数f(x)=ln(1+x)−ln(1−x)，函数的定义域为(−1,1)，
函数f(−x)=ln(1−x)−ln(1+x)=−[ln(1+x)−ln(1−x)]=−f(x)，
所以函数f(x)是奇函数，
x=13时，f(13)=ln(1+13)−ln(1−13)=ln2；
x=12时，f(12)=ln(1+12)−ln(1−12)=ln3，
显然f(13)故选：A．
5.【答案】D
【解析】解：由导函数的图象，可知x<0时，f′(x)<0，函数f(x)是减函数，x>0时，f′(x)>0，函数f(x)是增函数，
所以函数的图象只有D满足．
故选：D．
利用导函数的图象，判断函数的单调性，即可判断函数的图象．
本题考查函数的图象以及函数的导数的符号的应用，函数的单调性的判断，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵函数f(x)=x3−x2−x
∴f′(x)=3x2−2x−1，
令f′(x)<0，即3x2−2x−1<0
解得−13∴函数f(x)=x3−x2−x的单调减区间为(−13,1)．
故选：B．
根据f(x)的导函数建立不等关系，可得f′(x)<0，建立不等关系，求出单调递减区间即可．
本小题主要考查运用导数研究函数的单调性等基础知识，考查分析和解决问题的能力．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查函数的的最值，属于基础题型.首先求出函数的导数，然后确定函数的极值，最后比较极值与端点值的大小，从而确定函数的最大和最小值．
【解答】解：由f′(x)=3x2−3=0，得x=±1，当x<−1时，f′(x)>0，
当−1当x>1时，f′(x)>0，
故f(x)的极小值、极大值分别为f(−1)=3，f(1)=−1，
而f(−3)=−17，f(0)=1，
故函数f(x)=x3−3x+1在[−3,0]上的最大值、最小值分别是3、−17．
故答案为：B．
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，是中档题．
求出原函数的导函数，再由已知列关于a，b的方程组，求得a与b的值，代入导函数解析式，由导函数大于0可得函数f(x)的增区间．
【解答】
解：由f(x)=alnx+bx2，得f′(x)=ax+2bx，
又函数f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y=x，
∴f′(1)=a+2b=1f(1)=b=1，则a=−1，b=1．
∴f′(x)=−1x+2x，
由f′(x)=−1x+2x>0，得x2>12，
又x>0，∴x> 22，
即函数y=f(x)的增区间为( 22,+∞)．
故选：C．
9.【答案】A
【解析】解：(Ⅰ)∵f(x)=ax−lnx，
∴函数的定义域为(0,+∞).
∴f′(x)=a−1x=ax−1x.
∵f(x)在x= 22处取得极值，
即f′( 22)=a− 2=0，
∴a= 2.
当a= 2时，在(0, 22)内f′(x)<0，在( 22,+∞)内f′(x)>0，
∴x= 22是函数y=f(x)的极值点．
∴a= 2.
故选：A．
先求函数的定义域，然后求出导函数，根据f(x)在x= 22处取得极值，则f′(0)=0，求出a的值，然后验证即可．
本题主要考查了利用导数研究函数的极值，关键需要验证，属于基础题．
10.【答案】B
【解析】【分析】
f(x)=4x+3sinx，x∈(−1,1)，为奇函数，f′(x)=4+3csx>0，为增函数，从而可由f(1−a)+f(1−a2)<0求得实数a的取值范围．
本题考查奇偶性与单调性的综合，考查导数的应用与解不等式，属于中档题．
【解答】
解：∵x∈(−1,1)，f(−x)=−4x−sinx=−(4x+sinx)=−f(x)，
∴f(x)=4x+3sinx为奇函数；
又f′(x)=4+3csx>0，
∴f(x)为增函数，
∴f(1−a)+f(1−a2)<0⇔f(1−a)<−f(1−a2)=f(a2−1)，又f(x)的定义域为(−1,1)，
∴−1<1−a<1−11，
解得1故选B．
11.【答案】π4
【解析】解：∵f′(x)=12−sinx，令12−sinx=0，x∈[0,π2]，可得x=π6，x∈(0,π6)，f′(x)>0，函数导数增函数，
x∈(π6,π2)，f′(x)<0，函数导数减函数，
∴函数f(x)是在[0,π2]上的先增后减函数，f(0)=1，f(π2)=π4．
即f(x)min=f(π2)=π4，
故答案为：π4．
求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可．
本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道基础题．
12.【答案】解：y′=ex，x=0时，y′=1，
切线斜率为1，又倾斜角范围是[0,π)，
所以切线倾斜角为π4．
故答案为：π4．
【解析】求出导数，得切线斜率，由斜率得倾斜角．
本题主要考查了导数的几何意义，考查了直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
13.【答案】[− 3, 3]
【解析】解：函数f(x)=x3+mx2+x+1在R上没有极值点，
即函数的导数等于0无解或有唯一解(但导数在点的两侧符号相同)．
函数f(x)=x3+mx2+x+1的导数为f′(x)=3x2+2mx+1，
∴Δ=4m2−12≤0，∴− 3≤m≤ 3，
故答案为：[− 3, 3].
函数f(x)=x3+mx2+x+1在R上没有极值点，即函数的导数等于0无解或有唯一解(但导数在点的两侧符号相同)，
又导数为f′(x)=3x2+2mx+1，故判别式△≤0，解不等式求得实数m的取值范围．
本题考查函数在某点取得极值的条件，以及一元二次方程无解或只有唯一解的条件．
14.【答案】x−y−1=0
【解析】解：∵f′(x)=1−lnxx2，
∴f′(1)=1，
又f(1)=0，
∴y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x−1，即x−y−1=0．
故答案为：x−y−1=0．
利用导数几何意义可求得切线斜率f′(1)，由此可得切线方程．
本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
15.【答案】(−∞,−3)∪(0,3)
【解析】解：令h(x)=f(x)g(x)，则h(−x)=f(−x)g(−x)=−f(x)g(x)=−h(x)，因此函数h(x)在R上是奇函数．
①∵当x<0时，h′(x)=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，∴h(x)在x<0时单调递增，
故函数h(x)在R上单调递增．
∵h(−3)=f(−3)g(−3)=0，∴h(x)=f(x)g(x)<0=h(−3)，∴x<−3．
②当x>0时，函数h(x)在R上是奇函数，可知：h(x)在(0,+∞)上单调递增，且h(3)=−h(−3)=0，
∴h(x)<0，的解集为(0,3)．
∴不等式f(x)g(x)<0的解集是(−∞,−3)∪(0,3)．
故答案为(−∞,−3)∪(0,3)．
构造函数h(x)=f(x)g(x)，利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．
恰当构造函数，熟练掌握函数的奇偶性单调性是解题的关键．
16.【答案】解：(1)f′(x)=3ax2−b，由题意得f′(2)=12a−b=0f(2)=8a−2b+4=−43，解得a=13b=4．
∴f(x)=13x3−4x+4.f′(x)=x2−4，
∴f′(1)=−3,f(1)=13，
∴y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：y−13=−3(x−1)，即9x+3y−10=0．
(2)由(1)可得f′(x)=x2−4，令f′(x)=0，得x=2或x=−2．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
∴当x=−2时，f(x)有极大值283，当x=2，时，f(x)有极小值−43，
所以函数f(x)=13x3−4x+4的图象大致如图所示．
若f(x)=k有3个不同的根，所以−43【解析】(1)根据f(2)=−43，f′(2)=0列方程解出a，b得出f(x)的解析式，利用导数的几何意义求出切线方程；
(2)求出f(x)的极大值和极小值，则k介于f(x)的极大值与极小值之间．
本题考查了导数的几何意义，导数与函数单调性，极值的关系，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵函数f(x)=alnx−bx2(x>0)，∴f′(x)=ax−2bx，
∵函数f(x)在x=1处与直线y=−12相切，
∴f′(1)=a−2b=0f(1)=−b=−12，解得a=1b=12；
(2)f(x)=lnx−12x2，f′(x)=1−x2x，
当1e≤x≤e时，令f′(x)>0得：1e≤x<1，
令f′(x)<0，得1∴f(x)在[1e,1]，上单调递增，
在[1,e]上单调递减，
∴f(x)max=f(1)=−12．
【解析】(1)对f(x)进行求导，f′(x)欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．列出关于a，b的方程求得a，b的值．
(2)研究闭区间上的最值问题，先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最大值．
本小题主要考查函数单调性的应用、利用导数研究曲线上某点切线方程、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．
18.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=3ax2+2bx+c，由已知f′(0)=f′(1)=0，
即c=03a+2b+c=0
解得c=0b=−32a
∴f′(x)=3ax2−3ax，
∴f′(12)=3a4−3a2=32，
∴a=−2，
∴f(x)=−2x3+3x2．
(Ⅱ)令f(x)≤x，即−2x3+3x2−x≤0，
∴x(2x−1)(x−1)≥0，
∴0≤x≤12或x≥1．
又f(x)≤x在区间[0,m]上恒成立，
∴0【解析】(Ⅰ)由“f(x)在区间[0,1]上是增函数，在区间(−∞,0)，(1,+∞)上是减函数”，则有f′(0)=f′(1)=0，再由
f′(12)=32.求解．
(Ⅱ)首先将“f(x)≤x，x∈[0,m]成立”转化为“x(2x−1)(x−1)≥0，x∈[0,m]成立”求解．
本题主要考查利用函数的极值点和导数值来求函数解析式及不等式恒成立问题．
19.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=x2+2x，
∴f′(x)=2x−2x2=2x3−2x2=2(x−1)(x2+x+1)x2，
由f′(x)=0，得到x=1，而x2+x+1>0恒成立，
∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，
∴当a=0时，f(x)的最小值为f(1)=3；
(2)∵f′(x)=2x−2x2+ax，
又f(x)在区间[1,+∞)上递增，∴f′(x)≥0在x∈[1,+∞)上恒成立．
由f′(x)≥0，得到2x−2x2≥−ax，即2x2−2x≥−a，
令g(x)=2x2−2x，∴g′(x)=4x+2x2>0,g(x)单调递增，
∴−a≤g(x)min=g(1)=2−2=0，即a≥0，
当a≥0时，f′(x)=2x−2x2≥0，当且仅当x=1时取等号，
∴实数a的取值范围是[0,+∞)．
【解析】(1)对函数求导，利用函数的单调性即可求出最小值；
(2)先求导，分离参数，转化成恒成立问题，再构造函数g(x)=2x2−2x，求出参数的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
f′(x)=aexlnx+ax⋅ex−bx2⋅ex−1+bx⋅ex−1，
由题意可得f(1)=2，f′(1)=e，
故a=1，b=2；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)=exlnx+2x⋅ex−1，
∵f(x)>1，∴exlnx+2x⋅ex−1>1，∴lnx>1ex−2xe，
∴f(x)>1等价于xlnx>xe−x−2e，设函数g(x)=xlnx，则g′(x)=1+lnx，
∴当x∈(0,1e)时，g′(x)<0；当x∈(1e,+∞)时，g′(x)>0．
故g(x)在(0,1e)上单调递减，在(1e,+∞)上单调递增，从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(1e)=−1e．
设函数h(x)=xe−x−2e，则h′(x)=e−x(1−x)．
∴当x∈(0,1)时，h′(x)>0；当x∈(1,+∞)时，h′(x)<0，
故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=−1e．
综上，当x>0时，g(x)>h(x)，即f(x)>1．
【解析】(Ⅰ)求出定义域，导数f′(x)，根据题意有f(1)=2，f′(1)=e，解出即可；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，f(x)>1等价于xlnx>xe−x−2x，设函数g(x)=xlnx，函数h(x)=xe−x−2e，只需证明g(x)min>h(x)max，利用导数可分别求得g(x)min，h(x)max；
本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．x
(−∞,−2)
−2
(−2,2)
2
(2,+∞)
f′(x)
+
0
−
0
+
f(x)
↑
283
↓
−43
↑