2024年陕西省安康市高考数学第三次质检试卷（理科）（含解析）

这是一份2024年陕西省安康市高考数学第三次质检试卷（理科）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设(1+i)z=i2+i3+i4，则z−=( )
A. 12+12iB. 12−12iC. −12−12iD. −12+12i
2.集合M={x|y= 1−x}，N={y|y= 1−x}，则下列选项正确的是( )
A. M∪N=RB. M∪N=NC. M∩N=ND. M∩N=⌀
3.已知函数f(x)=|x−1|，公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn.若f(a1012)=f(a1013)，则S2024=( )
A. 1012B. 2024C. 3036D. 4048
4.若实数x，y满足约束条件x−y≥−1x+5y≥11x+y≤7，则z=2x−y的最大值为( )
A. 0B. 2C. 9D. 11
5.甲、乙、丙三人被随机的安排在周六、周日值班，每天至少要有一人值班，每人只在其中的一天值班.则甲、乙被安排在同一天值班的概率为( )
A. 16B. 14C. 13D. 12
6.在△ABC中，M是AB的中点，AN=3NC，CM与BN相交于点P，则AP=( )
A. 35AB+15ACB. 15AB+35ACC. 12AB+34ACD. 34AB+12AC
7.已知tan(θ−π4)=2，则sin(2θ+π4)=( )
A. −7 210B. − 210C. 210D. 7 210
8.侧棱长与底面边长均为a的正三棱柱的外接球的表面积为84π，则a=( )
A. 12B. 8C. 6D. 4
9.已知直线l与椭圆y23+x2=1在第四象限交于A、B两点，l与x轴，y轴分别交于C、D两点，若|AC|=|BD|，则l的倾斜角是( )
A. π6B. π4C. π3D. 5π12
10.已知(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，则a0+2a1+3a2+4a3+5a4+6a5+7a6+8a7=( )
A. −15B. −6C. 6D. 15
11.若直线y=ax+b是曲线y=ex的一条切线，则b=( )
A. a(1+lna)B. a(1−lna)C. a(1+ea)D. a(1−ea)
12.已知直线l1：mx−y−m+3=0(m∈R)与直线l2：x+my−m−5=0(m∈R)相交于点P，则P到直线2x+y+7=0的距离的取值集合是( )
A. [ 5,3 5]B. ( 5,3 5]C. [2 5,4 5]D. (2 5,4 5]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.写出一个对称中心为(1,0)的奇函数f(x)= ______．
14.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an=2Sn+2，则a7+S9= ______．
15.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，位于第一象限的点P在C上，O为坐标原点，且满足|PO|=|PF|，则△OPF外接圆的半径为______．
16.已知函数f(x)=lnx+ax+sinx，∀x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>1，则a的取值范围为______．
三、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
作为一个基于大型语言处理模型的文字聊天工具，ChatGPT走红后，大模型的热度持续不减，并日渐形成了“千模大战”的局面.百度的文心一言、阿里的通义千问、华为的盘古、腾讯的混元以及科大讯飞的星火等多种大模型正如火如荼的发布上线.现有某大模型给出了会员有效期30天的两种不同费用，100次的使用费为6元，500次的使用费为24元.后台调取了购买会员的200名用户基本信息，包括个人和公司两种用户，统计发现购买24元的用户数是140，其中个人用户数比公司用户数少20，购买6元的公司用户数是个人用户数的一半．
(1)完成如下用户类别与购买意向的2×2列联表；
(2)能否有99.5%的把握认为购买意向与用户类别有关？(运算结果保留三位小数)
附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，临界值表如下：
18.(本小题12分)
在三边均不相等的△ABC中，角A、B、C对应的边分别为a、b、c，若a(sin2A−sin2C)=b(sin2B−sin2C).点D在线段AB上，且CD平分角C．
(1)求C；
(2)若a=3，b=5，求CD的长度．
19.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，PA=2，点E，F分别为PB，PD的中点．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求平面AEF与平面PAB夹角的余弦值．
20.(本小题12分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，其中一个焦点到一条渐近线的距离等于2 3．
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)若直线l与双曲线C交于P、Q两点，且坐标原点O在以PQ为直径的圆上，求|PQ|的最小值．
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex+ax−bcsx．
(1)当b=0时，求f(x)的单调区间；
(2)当a=2f′(0)且b=1时，讨论f(x)在R上的零点个数．
22.(本小题10分)
在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(π3−θ)= 34，曲线的参数方程为x=12(t2+1)−ty=t−1(t为参数)．
(1)分别求曲线C和直线l的直角坐标方程；
(2)若直线l交曲线C于A，B两点，过线段AB的中点Q作x轴的平行线交C于一点P，求点P的横坐标．
23.(本小题12分)
已知函数f(x)=|x+1|+|2x+4|．
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)若a，b，c为正实数，且f(a)+f(b)+f(c)=27，求1a+4b+9c的最小值．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：(1+i)z=i2+i3+i4=−1−i+1=−i，
则z=−i1+i=−i(1−i)(1+i)(1−i)=−12−12i，
故z−=−12+12i．
故选：D．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：M={x|y= 1−x}={x|x≤1}，
N={y|y= 1−x}={y|y≥0}，
则M∪N=R，故A正确；B错误，
M∩N=[0,1]，故CD错误．
故选：A．
先求出集合A，B，再结合
本题主要考查集合的运算，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意，函数f(x)=|x−1|，图象关于直线x=1对称，
由f(a1012)=f(a1013)，可知a1012+a10132=1，即a1012+a1013=2，
所以S2024=2024(a1+a2024)2=2024(a1012+a1013)2=2024．
故选：B．
根据函数y=f(x)关于直线x=1对称，推导出a1012+a1013=2，进而利用等差数列的前n项和公式算出答案．
本题主要考查了形如y=|ax+b|的函数图象的对称性、等差数列的性质与前n项和公式等知识，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由约束条件x−y≥−1x+5y≥11x+y≤7作出可行域如图，
联立x+y=7x+5y=11，解得A(6,1)，
由图可知，当直线z=2x−y过A时，z取最大值为2×6−1=11．
故选：D．
由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意可知，将3人分成两组，其中一组只有1人，另一组有2人，
两组分别安排在周六、周日值班共有6种情况：
(甲乙，丙)、(甲丙，乙)、(乙丙，甲)、(甲，乙丙)、(乙，甲丙)、(丙，甲乙)，
显然甲、乙被安排在同一天有2种情况，
所以甲、乙被安排在同一天的概率为26=13．
故选：C．
根据题意先分析分组情况，再将所有情况列出，根据古典概型的计算公式算出结果即可．
本题考查古典概型的概率计算，属基础题．
6.【答案】B
【解析】解：如图，∵AN=3NC，∴AC=43AN，
∵M是AB的中点，∴AM=12AB，
∵C，P，M三点共线，∴设AP=λAC+(1−λ)AM，
∴AP=4λ3AN+1−λ2AB，且B，P，N三点共线，
∴4λ3+1−λ2=1，解得λ=35，
∴AP=35AC+15AB．
故选：B．
根据条件可得出AC=43AN,AM=12AB，然后根据C，P，M三点共线可设AP=λAC+(1−λ)AM，然后根据B，P，N三点共线即可求出λ的值，然后即可得解．
本题考查了平面向量基本定理，三点共线的充要条件，向量数乘的几何意义，是中档题．
7.【答案】A
【解析】解：由tan(θ−π4)=tanθ−tanπ41+tanθ⋅tanπ4=2，解得tanθ=−3，
所以sin2θ=2sinθcsθ=2sinθcsθsin2θ+cs2θ=2tanθtan2θ+1=−35，
cs2θ=cs2θ−sin2θ=cs2θ−sin2θcs2θ+sin2θ=1−tan2θ1+tan2θ=−45，
所以sin(2θ+π4)= 22sin2θ+ 22cs2θ=−7 210．
故选：A．
先由正切的和差角公式求出tanθ，再利用二倍角公式和弦化切，求出sin2θ，cs2θ，最后由和差角的正弦公式求解．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题．
8.【答案】C
【解析】解：由球的表面积公式S=4πR2=84π，解得外接球半径R= 21，
因为底面三角形是边长为a的等边三角形，所以此三角形的外接圆半径为12a× 3×23= 33a，
由正三棱柱的外接球的特点，球心距、外接圆半径、球半径构成直角三角形，
可得R2=(12a)2+( 33a)2，解得a=6．
故选：C．
由题意得到外接球半径R= 21，底面三角形的外接圆半径为 33a，利用勾股定理即可求解．
本题考查了正三棱柱外接球的相关计算，属于中档题．
9.【答案】C
【解析】解：由|AC|=|BD|可得线段AB的中点，也是线段CD的中点，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
线段AB的中点坐标为M(x0,y0)，
则C(2x0,0),D(0,2y0),x0=x1+x22y0=y1+y22，
又点A，B在椭圆上，所以y123+x12=1y223+x22=1，
两式相减可得y12−y223+x12−x22=0，
(y1+y2)(y1−y2)(x1+x2)(x1−x2)=−3，所以y1+y2x1+x2⋅y1−y2x1−x2=−3，
所以2y02x0⋅kAB=−3，即y0x0⋅kAB=−3，
又因为A、B、C、D四点共线，所以kAB=kCD=2y0−00−2x0=−y0x0，
综上可得kAB=± 3，由A、B在第四象限得kAB>0即kAB= 3，
所以直线的倾斜角为π3．
故选：C．
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，线段AB的中点坐标为M(x0,y0)，利用点差法和A、B、C、D四点共线，即可求解．
本题考查了椭圆的性质，属于中档题．
10.【答案】A
【解析】解：令f(x)=a0x+a1x2+a2x3+a3x4+a4x5+a5x6+a6x7+a7x8，即f(x)=x(1−2x)7，
对函数f(x)求导数，f′(x)=a0+2a1x+3a2x2+4a3x3+5a4x4+6a5x5+7a6x6+8a7x7，
由于f′(x)=(1−2x)7+x⋅7(1−2x)6(−2)，
所以a0+2a1+3a2+4a3+5a4+6a5+7a6+8a7=f′(1)=(−1)7+1×7×(−1)6×(−2)=−15．
故选：A．
直接利用构造函数以及函数的求导和二项式的展开式以及赋值法的应用求出结果．
本题考查的知识要点：二项式的展开式，函数的求导，构造函数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
11.【答案】B
【解析】解：设直线y=ax+b与曲线y=ex的切线点的横坐标为x0(x0>0)，
由y=ex，可得y′=ex，
则ax0+b=ex0a=ex0，可得ax0+b=a，所以b=a(1−x0)=a(1−lna)．
故选：B．
求得函数的导数y′=ex，得到方程组，求得b，即可得到选项．
本题考查导数的切线方程的应用，是中档题．
12.【答案】D
【解析】解：直线l1：mx−y−m+3=0(m∈R)与直线l2：x+my−m−5=0(m∈R)，
可得m×1−1×m=0，
可得两条直线垂直，
当m=0时，两条直线分别为：y=3，x=5，
即两条直线的交点P(5,3)，
此时点P到直线2x+y+7=0的距离d=|2×5+3+7| 22+12=4 5；
当m≠0时，联立mx−y−m+3=0x+my−m−5=0，可得x=1+4−2m1+m2，y=1+2+4m1+m2，
即点P(1+4−2m1+m2,1+2+4m1+m2)，
此时点P到直线2x+y+7=0的距离d=|2×(1+4−2m1+m2)+1+2+4m1+m2+7| 22+12=|10+101+m2| 5∈(2 5,4 5)，
综上所述：点P到直线2x+y+7=0的距离的范围为(2 5,4 5].
故选：D．
分m=0和m≠0两种情况，求出交点P的坐标，再由点到直线的距离公式，可得距离的取值范围．
本题考查点到直线的距离公式的应用及两条直线交点坐标的求法，属于基础题．
13.【答案】sinπx(答案不唯一)
【解析】解：令f(x)=sinπx，
则f(x)为奇函数，且f(x)+f(2−x)=sinπx+sinπ(2−x)=sinπx+sin(2π−πx)=sinπx−sinπx=0，
故f(x)=sinπx的图象关于(1,0)成中心对称，符合题意．
故答案为：sinπx(答案不唯一)．
令f(x)=sinπx，分析其性质，符合题意即可．
本题考查函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
14.【答案】−4
【解析】解：因为an=2Sn+2，
所以当n=1时，a1=2S1+2=2a1+2，解得a1=−2；
当n≥2时，有an−1=2Sn−1+2，
则an−an−1=2(Sn−Sn−1)=2an，整理得an=−an−1，
故数列{an}是以−2为首项，−1为公比的等比数列，
所以an=(−2)×(−1)n−1，Sn=−2×[1−(−1)n]1−(−1)=(−1)n−1，
故a7=−2，S9=(−1)9−1=−2，
所以a7+S9=−4．
故答案为：−4．
由递推式，可证得数列{an}是以−2为首项，−1为公比的等比数列，根据通项公式及前n项和公式即可求得．
本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式及前n项和公式，属中档题．
15.【答案】9 216
【解析】解：根据题意可知F(1,0)，又位于第一象限的点P在C上，O为坐标原点，且满足|PO|=|PF|，
∴P点的横坐标为12，代入y2=4x，可得P(12, 2)，
∴|PO|=|PF|=12+1=32，∴sin∠POF= 232=2 23，
设△OPF的外接圆的半径为R，则根据正弦定理可得：
2R=|PF|sin∠POF=322 23=9 28，
∴△OPF的外接圆的半径为R=9 216．
故答案为：9 216．
先求出P点坐标，再根据正弦定理，即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，正弦定理的应用，属中档题．
16.【答案】[2,+∞)
【解析】解：∀x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，
不妨设x10，
∵f(x2)−f(x1)x2−x1>1，
∴f(x2)−f(x1)>x2−x1，即f(x2)−x2>f(x1)−x1，
f(x)=lnx+ax+sinx，令g(x)=f(x)−x=lnx+ax+sinx−x，
∴当x1∴g′(x)=1x+csx+a−1≥0在(0,+∞)上恒成立，即a≥−(1x+csx)+1在(0,+∞)上恒成立，
当x>0时，1x>0，csx∈[−1,1]，
又x→+∞时，1x→0，
则1x+csx>−1，
∴−(1x+csx)+1<2，
∴a≥2，即a的取值范围为[2,+∞)．
故答案为：[2,+∞)．
不妨设x10，则f(x2)−x2>f(x1)−x1，构造函数g(x)=f(x)−x，可得g(x)在(0,+∞)上单调递增，即g′(x)=1x+csx+a−1≥0在(0,+∞)上恒成立，即a≥−(1x+csx)+1在(0,+∞)上恒成立，求出−(1x+csx)+1的最大值，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运输能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)根据题意，填写2×2列联表如下：
(2)由表中数据，计算K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=200×(40×80−20×60)2100×100×60×140=20021≈9.524>7.879，
所以有99.5%的把握认为购买意向与用户类别有关．
【解析】(1)根据题意，填写2×2列联表即可；
(2)由表中数据，计算K2，对照临界值得出结论．
本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题．
18.【答案】解：(1)由a(sin2A−sin2C)=b(sin2B−sin2C)，得a(a2−c2)=b(b2−c2)，化简得(a−b)(a2+b2+ab−c2)=0，
因为△ABC三边均不相等，所以a≠b，即a2+b2+ab−c2=0，
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=−12，在△ABC中，由0(2)在△ABC中，c2=a2+b2+ab=49，故c=7，
由csinC=asinA得sinA=3sin120°7=3 314，易得csA= 1−(3 314)2=1314，
在△ACD中，∠ACD=60°，∠ADC+∠A+∠ACD=180°，
所以sin∠ADC=sin(60°+A)= 32×1314+12×3 314=4 37，
在△ACD中，由CDsinA=bsin∠ADC，得CD=bsinAsin∠ADC=5×3 3144 37=158．
【解析】(1)利用正弦定理，余弦定理即可得角C；
(2)利用余弦定理求得c，再利用正弦定理得sinA，再利用同角函数关系得csA，再利用正弦定理可得CD长度．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于中档题．
19.【答案】解：(1)证明：∵底面ABCD是正方形，∴CB⊥AB，
∵CB⊥BP，AB∩BP=B，∴CB⊥平面ABP，
∵PA⊂平面ABP，∴CB⊥PA，
同理CD⊥PA，
∵CB∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．
(2)由(1)知PA⊥底面ABCD，∴AB，AD，AP两两垂直，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，E(1,0,1)，F(0,1,1)，
AE=(1,0,1)，AF=(0,1,1)，
设平面AEF的一个法向量为n=(x,y,z)，
则AE⋅n=x+z=0AF⋅n=y+z=0，令x=1，则n=(1,1,−1)，
由(1)知平面PAB的一个法向量为BC=(0,2,0)，
∴平面AEF与平面PAB夹角的余弦值为：
|cs|=|n⋅BC||n|⋅|BC|= 33．
【解析】(1)推导出CB⊥AB，CB⊥BP，从而CB⊥平面ABP，CB⊥PA，同理CD⊥PA，由此能证明PA⊥平面ABCD．
(2)以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面AEF与平面PAB夹角的余弦值．
本题考查线面垂直的判定与性质、平面与平面所成角的余弦值等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：(1)根据题意可得e=ca=2，
又一个焦点F(c,0)到一条渐近线y=bax的距离为bc a2+b2=b=2 3，
又c2=a2+b2，解得a=2，
∴双曲线的方程为x24−y212=1；
(2)∵坐标原点O在以PQ为直径的圆上，
∴OP⊥OQ，∴OP⋅OQ=0，
①当直线l垂直x轴时，设直线l的方程为x=n，|n|>a，
设P(n,t)，Q(n,−t)，t>0，
由OP⋅OQ=0，可得n2−t2=0，
又P，Q在双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上，∴n24−t212=1，
解得n2=t2=6，∴|PQ|=2t=2 6；
②当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为y=kx+m，
联立y=kx+mx24−y212=1，可得(3−k2)x2−2kmx−m2−12=0(*)，显然3−k2≠0，
且Δ=(2km)2−4(3−k2)(−m2−12)=12(m2−4k2+12)>0，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
∴x1+x2=2km3−k2，x1x2=m2+12k2−3，
由OP⋅OQ=0，可得x1x2+y1y2=0，
∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0，
∴(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
∴(1+k2)m2+12k2−3−km⋅2kmk2−3+m2=0，
化简可得m2=6k2+6，
∴|PQ|= 1+k2 (x1+x2)2−4x1x2
= 1+k2 4k2m2(3−k2)2−4(m2+12)k2−3
= 1+k2 4k2(6k2+6)(k2−3)2−4(6k2+18)k2−3
= 24+384k2(k2−3)2≥2 6，当k=0时，等号成立且(*)方程有解，
综合可得|PQ|的最小值为2 6．
【解析】(1)根据双曲线的几何性质，即可求解；
(2)分类讨论直线l，再联立直线l与双曲线方程，根据根与系数的关系及题意建立方程与函数模型，通过函数思想，即可求解．
本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，根与系数的关系的应用，函数思想，分类讨论思想，属难题．
21.【答案】解：(1)当b=0时，f(x)=ex+ax的定义域为R，
f′(x)=ex+a，
当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增，
当a<0时，令f′(x)=0，得x=ln(−a)，
f(x)，f′(x)随x的变化如下，
由表知，f(x)的单调递减区间是(−∞,ln(−a))，单调递增区间是(ln(−a),+∞)．
综上所述，当a≥0时，函数f(x)单调递增区间为(−∞,+∞)，
当a<0时，单调递减区间是(−∞,ln(−a))，单调递增区间是(ln(−a),+∞)．
(2)当a=2f′(0)且b=1时，函数f(x)=ex+ax−csx.f(0)=0，
f′(x)=ex+a+sinx，f′(0)=1+a=a2，所以a=−2，
所以f′(x)=ex−2+sinx，
当x≤0时，f′(x)<0，
所以函数f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(0)=0，
所以函数f(x)在(−∞,0)上无零点；
当x>0时，令g(x)=f′(x)=ex−2+sinx，
g′(x)=ex+csx>0，
所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，
且g(0)=−1<0，g(π2)=eπ2−1>0，
所以存在x0∈(0,π2)，使得g(x0)=0，
当0x0时，f′(x)>0，
所以函数f(x)在(0,x0)上单调递减，在(x0,+∞)上单调递增，
所以f(x0)0，
所以函数f(x)在(0,+∞)上有一个零点．
综上所述，f(x)在R上有2个零点．
【解析】(1)求导，分a≥0时和a<0两种情况讨论导数的符号，确定函数的单调区间；
(2)求导，研究导函数的符号，确定原函数的单调性，从而求出函数的零点个数．
本题考查导数的综合应用，分类讨论的数学思想方法，属难题．
22.【答案】解：(1)直线l的极坐标方程为ρsin(π3−θ)= 34，根据x=ρcsθy=ρsinθx2+y2=ρ2，转换为直角坐标方程为 32x−12y− 34=0，整理得2 3x−2y− 3=0；
曲线的参数方程为x=12(t2+1)−ty=t−1(t为参数)，消去参数t得到直角坐标方程为y2=2x．
(2)根据直线和曲线的位置关系2 3x−2y− 3=0y2=2x，整理得12x2−20x+3=0，
所以xA+xB=53，
所以点P的横坐标满足xP=xA+xB2=56．
【解析】(1)直接利用转换关系，在参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(2)利用一元二次方程根和系数的关系以及中点坐标公式求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数的关系，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
23.【答案】解：(1)f(x)=|x+1|+|2x+4|=−3x−5,x<−2x+3,−2≤x≤−13x+5,x≥−1，
所以f(x)在(−∞,−2)上单调递减，在(−2,+∞)上单调递增，
即当x=−2时，函数f(x)取得最小值，
所以f(x)min=f(−2)=1；
(2)由(1)可得当x为正实数时，f(x)=3x+5，
则由f(a)+f(b)+f(c)=27，可得a+b+c=4，
所以1a+4b+9c=a+b+c4a+a+b+cb+9(a+b+c)4c=(a4a+b4a+c4a)+(ab+bb+cb)+(9a4c+9b4c+9c4c)
=(14+b4a+c4a)+(ab+1+cb)+(9a4c+9b4c+94)
=(14+1+94)+(b4a+ab)+(c4a+9a4c)+(cb+9b4c)
≥72+2 b4a⋅ab+2 c4a⋅9a4c+2 cb⋅9b4c
=72+2 14+2 916+2 94=72+1+32+3=9．
当且仅当b4a=ab，c4a=9a4c，cb=9b4c时，又a+b+c=4，
即当a=23，b=43，c=63=2时，等号成立．
所以1a+4b+9c的最小值为9．
【解析】(1)根据绝对值的性质，结合一次函数的单调性求解即可；
(2)根据(1)的结论，结合基本不等式的性质求解即可．
本题考查了一次函数的性质、基本不等式的应用，属于中档题．购买6元
购买24元
总计
个人用户
公司用户
总计
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
购买6元
购买24元
总计
个人用户
40
60
100
公司用户
20
80
100
总计
60
140
200
x
(−∞,ln(−a))
ln(−a)
(ln(−a),+∞)
f′(x)
−
0
+
f(x)
↘
极小值
↗