2023年四川省德阳市中江县中考数学二诊模拟试题（原卷版+解析版）

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1. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查实数的运算；利用有理数的乘方法则，负整数指数幂，立方根定义，绝对值的性质将各项计算后进行判断即可．
【详解】解：A．，则A不符合题意；
B．，则B符合题意；
C．∵， ∴，则C不符合题意；
D．，则D不符合题意；
故选：B．
2. 如图，直线，相交于点，于，交于点，若，则的值为（ ）
A. 35°B. 45°C. 55°D. 65°
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的性质．先根据平行线的性质得，再根据垂直的定义得，然后利用互余计算的度数．
【详解】解：∵，
，
，
，
．
故选：D．
3. 国家统计局网站公布我国2022年年末总人口约1411750000人，将1411750000这个数用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先确定表示数的整数位数，减去1得到n；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．
【详解】∵，
故选C．
【点睛】本题考查了绝对值大于1的数的科学记数法，确定表示数的整数位数，减去1得到n；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】本题考查了同底数幂的除法法则、完全平方公式及幂的乘方运算，属于基础题．
根据同底数幂的除法法则、单项式乘单项式的法则、幂的乘方及完全平方公式的展开，结合各选项进行判断即可．
【解答】解：A、，原式计算错误，故本选项错误；
B、，原式计算正确，故本选项正确；
C、原式计算错误，故本选项错误；
D、，原式计算错误，故本选项错误；
故选：B．
5. 如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看易得俯视图：
故选：C．
【点睛】本题考查几何体的俯视图,关键在于牢记俯视图的定义.
6. 如图，在矩形中，，将矩形绕点逆时针旋转，得到矩形，点的对应点落在上，且．的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，三角形的面积．根据矩形的性质可得，，，再利用旋转的性质可得：，，从而可得，进而可得，然后利用线段的和差关系可得，最后利用三角形的面积公式和梯形的面积公式，进行计算即可解答．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
由旋转得：，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
7. 某班班长统计去年1﹣8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅讯数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法不正确的是（ ）
A. 极差是B. 众数是C. 中位数是D. 平均数是
【答案】D
【解析】
【分析】根据极差的定义，众数的定义，中位数的定义以及平均数的计算方法分别进行计算即可得解．
【详解】解：A．极差，故本选项不符合题意；
B．58出现的次数最多，是2次，所以，众数是58，故本选项不符合题意；
C．按照阅读本数从小到大的顺序排列为：28、36、42、58、58、70、78、83，中间两个数都是58，所以，中位数是58，故本选项不符合题意；
D．平均数，故本选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了折线统计图，主要利用了极差的定义，众数的定义，中位数的定义，算术平均数的求解，根据图表准确获取信息是解题的关键．
8. 一个测量技术队员在一个高为h（忽略身高）的位置，观测一根高出此建筑物的旗杆，测出与旗杆的顶端的仰角为30°，与地面的俯角为60°，那么该旗杆的高度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】过A作于E，在中，已知了的长，可利用俯角的正切函数求出AE的值；进而在中，利用仰角的正切函数求出的长；．本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．
【详解】解：如图，过A作于E，
则．
∵在中，，
∴
∵在中，
∴
∴
即旗杆的高度为．
故选：C．
9. 不等式组的所有整数解的和为9，则整数的值有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】先解不等式组，求出其解集（用a表示），再根据不等式组的所有整数解的和为9，得到不等式整数解，从而得出关于a的不等式组，再求解即可．
【详解】解：解等式组得
，
∴，
∵不等式组的所有整数解的和为9，
当x的整数解为2，3，4时，
∴
∵a为整数，
∴，
当x的整数解为-1，0，1，2，3，4时，
∴
∵a为整数，
∴，
∴整数的值有2个，
故选：B．
【点睛】本题考查解不等式组，不等式组的整数解情况求参问题，熟练掌握解不等式组，确定不等式组解集的方法是解题的关键．根据不等式组的整数解得出关于a的不等式组是解题的难点．
10. 如图，函数的图象经过点，则关于的不等式的解集是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】观察函数图象得到kx＞2b的解集是x＜3，再求不等式k（x﹣1）＞2b的解集即可．
【详解】解：由图象可得：当x＜3时，kx﹣2b＞0，
所以关于x的不等式kx＞2b的解集是x＜3，
所以关于x的不等式k（x﹣1）＞2b的解集为x﹣1＜3，
即：x＜4，
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
11. 从1、2、3三个数中随机选取两个不同的数，分别记为a，c，则关于x的一元二次方程没有实数根的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数，再找出满足的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中满足，即的结果有①，②，这2种结果，
∴关于x的一元二次方程没有实数根的概率为．
故选：B
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了根的判别式．
12. 如图，矩形的顶点，坐标分别为，，若时，直线：与矩形的边有交点时，的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质，利用极限值法，求出的最大及最小是解题的关键．利用矩形的性质，可求出点，的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出当点及点在直线上时的值，结合图形，即可得出的取值范围．
【详解】解：∵矩形的顶点，坐标分别为,且轴，轴，
∴点的坐标为，点的坐标为．
当点在直线上时，，
解得：；
当点在直线上时，，
解得：．
∴当直线与矩形的边有交点时，的取值范围为．
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13. 8的倒数是______________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据倒数的定义，互为倒数的两数乘积为1，即可解答．
【详解】解：8的倒数是，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查倒数的概念及性质，属于基础题，注意掌握倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
14. 张名和王春两名同学开学返校，这个学校有A，B，C三个校门可以入校，他们从同一个校门进入学校的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了用列表法或树状图求概率，先列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式可求得结果，不重复不遗漏的列出所有可能是解题的关键．
【详解】解：根据题意列表如下：
由表可知，共有9种等可能结果，
从同一个校门进入学校有共3种可能，
则他们从同一个校门进入学校的概率为，
故答案为：．
15. 如图，“赵爽弦图”曾作为国际数学大会会标，它是由4个全等的直角三角形所围成，，若图中大正方形的面积为36，小正方形的面积为9，则的值为____________．
【答案】63
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，根据图形表示出小正方形的边长为，则，再由勾股定理得到，进而求出 ，然后利用完全平方公式即可得解．
【详解】解：由图可知，，
由勾股定理得，
∴，
∴，
∴，
故答案为：63
16. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为_____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，先求出直线CH解析式，再求出直线CH与AB的交点即可解决问题．
【详解】如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小．
在矩形OABC中，OA=BC，OC=AB
∵B（3，4），∴OA=3，AB=4，
∴A（3，0），C（0，4），
∵D为OA的中点，
∴D（，0），∴H（，0），
设CH的解析式为y=kx+b，
则有，
解得，
∴直线CH解析式为y=-x+4，
∴x=3时，y=，
∴点E坐标（3，），
故答案为（3，）.
【点睛】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、轴对称-最短问题、一次函数等知识，解题的关键是利用轴对称找到点E位置，学会利用一次函数解决交点问题，属于中考常考题型．
17. 如图，中，，，，以点为圆心，长为半径画弧，分别交、于点、，则图中阴影部分的面积为____________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查扇形面积的计算、含角的直角三角形．根据题意和图形可知阴影部分的面积，利用扇形的面积公式即可求解．
【详解】解：连接，过点作于，
中，，，，
，，
，
是等边三角形，，
，
，
，，
，
，
阴影部分的面积
，
故答案为：．
18. 在中，若，，，则_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形．作于点，然后根据题目中的条件和锐角三角函数可以求得的长，再根据勾股定理即可得到和的长，然后即可计算出的长．
【详解】解：作于点，如图所示，
，，
，
，
，
，
即，
解得，
，，
，
故答案为：．
三、解答题（本大题共7个小题，共78分，答应写出文字说明、证明过程或推演步骤
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用零指数幂，负整数指数幂，绝对值的性质，特殊锐角三角函数值进行计算即可．
【详解】解：原式
．
20. 如图，在四边形中，，，对角线、交于，平分．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）过点作交的延长线于点，连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）6．
【解析】
【分析】（1）先证，再证，得，然后证四边形平行四边形，即可得出结论；
（2）先证，再求出，然后由勾股定理求出，即可得出结论．
小问1详解】
证明：∵，
，
为的平分线，
，
，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，
又，
是菱形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，，
，，，
，
，
，
在中，，，
，
．
【点睛】此题主要考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的混合运算等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
21. 为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
（1） ，这次共抽取了 名学生进行调查；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有 名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳活动4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
【答案】（1）20，50，统计图见解析
（2）360 （3）
【解析】
【分析】（1）首先由条形图与扇形图可求得；由跳绳的人数有4人，占的百分比为，可得总人数；
（2）由，即可求得该校约有360名学生喜爱打篮球；
（3）首先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【小问1详解】
解：；
跳绳的人数有4人，占的百分比为，
；
故答案为：20，50；
如图所示；（人）．
【小问2详解】
；
故答案为：360；
【小问3详解】
列表如下：
所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种．
抽到一男一女的概率．
【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图、条形统计图的知识．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22. 某实验田计划种植一种新型农作物，经过调查发现，种植x亩的总成本y（万元），分别是农机成本，管理成本，其他成本：其中农机成本固定不变为10万元，管理成本（万元）与x成正比例，其他成本（万元）与x的平方成正比例，在生产过程中
（1）求y与x之间函数关系式；
（2）已知每亩的平均成本为12万元，求种植新型农作物的亩数是多少？
（3）若每亩的收益为15万元，当x为何值时，实验田总利润最大．
【答案】22.
23. 农场计划种植新型农作物的亩数是2亩或5亩
24. 5
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，理解题目中收益和成本之间的数量关系及二次函数的性质是解题关键．
（1）用待定系数法即可求解；
（2）根据题意得到，求解即可；
（3）设总收益为W元，则有，整理依据二次函数的最值求解即可．
【小问1详解】
解：（1）设，把、，
，解得：，
则；
【小问2详解】
由题意得，，
解得，，
答：农场计划种植新型农作物的亩数是2亩或5亩；
小问3详解】
设总收益为W元，则，
当时，最大值为．
答：当时，实验田总利润最大15万元．
23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点C，过C点作轴，垂足为B，．
（1）求点A的坐标及m的值；
（2）若，求一次函数的表达式．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）令，则，求出，得出，设，根据轴，得出，，根据的面积为2，列出方程得到，所以，得出；
（2）解直角三角形求出，从而，将C坐标代入到一次函数中即可求解．
【小问1详解】
解：令，则，
∵，
∴，
∴，
设，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：在中，，
设，则，
根据勾股定理得：，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴
∴把代入得：，
∴，
将代入得，
解得：，
∴一次函数的表达式为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，解直角三角形，三角形面积的计算，求反比例函数解析，求一次函数解析式，设出交点的坐标，利用已知条件列出方程，是解决问题的关键．
24. 如图，以的边为直径的半圆O分别交于点D，，过点D作于点F．
（1）求证：是⊙O的切线；
（2）若，求和的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题主要考查切线的性质与判定、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质与判定、圆周角的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）连接，由题意易得，然后可得是的中位线，进而根据平行线的性质可进行求证；
（2）由（1）知，则根据勾股定理可得然后根据等积法可得，进而可得，则根据相似三角形的性质可进行求解．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：
∵为⊙O的直径，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴
∵，
∴
∴是⊙O的切线；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
在中，由勾股定理得，
由得；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
25. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线上方的抛物线上有一动点E，连接，与直线相交于点F，当时，求E点坐标．
（3）在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面上一点，当以M，N，E，B为顶点的四边形是菱形时，直接写出点M的坐标．
【答案】（1）
（2）；
（3）或或或或
．
【解析】
【分析】（1）先求出A、C两点坐标，再用待定系数法求解；
（2）如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则易得，设点E的横坐标为t，则，利用相似三角形的性质可求出点F的坐标，再根据与的关系列出关于t的方程，解方程可求出t的值，即可求出点E的坐标；
（3）分两种情况：①当为菱形的边时，②当为菱形的对角线时，分别求解即可．
【小问1详解】
解：在中，当时，当时，
∴、，
∵抛物线的图象经过A、C两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：令，解得，，
∴，
设点E的横坐标为t，则，
如图，过点E作轴于点H，过点F作轴于点G，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴点F的横坐标为，
∴，
∴，
∴，
解得，，
当时，，
当时，，
∴，，
【小问3详解】
∵抛物线的解析式为，
抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，
在（2）的条件下，
∵点E位于对称轴左侧，
∴，
∵点M是抛物线对称轴上一点，
∴设，
∵，
∴， ，，
①当为菱形的边时，，即，，
∴，
∴，
∴或；
②当为菱形的对角线时，，即，
∴，
解得，
∴；
③当，即，
∴，
∴或，
∴或；
综上所述，M的坐标为或或或或
【点睛】本题是二次函数综合题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式，勾股定理及菱形的判断和性质，两点间的距离公式等知识点，解决本题的关键是综合运用以上知识．
A
B
C
A
B
C
男1
男2
男3
女
男1
男2，男1
男3，男1
女，男1
男2
男1，男2
男3，男2
女，男2
男3
男1，男3
男2，男3
女，男3
女
男1，女
男2，女
男3，女
x（单位：亩）
1
3
y（单位：万元）
16
34