湖南省长沙市雨花区2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份湖南省长沙市雨花区2024届九年级上学期期末考试数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用.瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产.下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.B.C.D.
2．关于频率与概率有下列几种说法：
①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大；
②“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上；
③“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖；
④“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近，正确的说法是( )
A.②④B.②③C.①④D.①③
3．若点在反比例函数上，则k的值是( )
A.3B.C.12D.
4．函数图象顶点坐标是( )
A.B.C.D.
5．如图，抛物线对称轴为直线，与x轴交于点，则另一交点的坐标是( )
A.B.C.D.
6．如图，在中，，，，，则的长为( )
A.2B.4C.6D.9
7．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为( )
A.30°B.90°C.120°D.180°
8．如图，AB、AC、BD是的切线，切点分别是P、C、D.若，，则BD的长是( )
A.4B.3C.2D.1
9．函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是( )
A.B.C.D.
10．数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高.课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米.则树高为( )
二、填空题
11．掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体骰子，则向上一面的数不大于4的概率是______.
12．若函数的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是______.
13．两个相似图形的周长比为，则面积比为______.
14．如图，的直径为10，弦AB长为8，点P在AB上运动，则OP的最小值是______.
15．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形.若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为______cm.
16．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图像上，若点A的坐标为，则k的值为______.
三、解答题
17．已知，求与的值.
18．已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式.
19．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条，夹角为，的长为，扇面部分的长为，求扇面部分的面积S.
20．甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次(若压线，重新转).若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局.
（1）请用画树状图或列表的方法，写出所有可能出现的结果；
（2）试用概率说明游戏是否公平.
21．如图，在中，D为AC边上一点，.
（1）求证：；
（2）若，，求CD的长.
22．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）.
（1）若矩形养殖场的总面积为，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
23．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分.
（1）求点A对应的指标值；
（2）张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要18分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由.
24．如图，在中，，以为直径的与相交于点D，，垂足为E.
（1）求证：是的切线；
（2）若弦垂直于，垂足为G，，求的直径.
25．如图，二次函数的图象经过点，，点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，轴于点H，交直线于点F，以为直径的圆与交于点R.
（1）求b，c的值；
（2）当周长最大时，求此时点E点坐标及周长；
（3）连接、，当时，求出点点坐标.
参考答案
1．答案：B
解析：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误.
故选B.
2．答案：C
解析：①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大；正确；
②“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上；错误；
③“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖；错误；
④“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近，正确.
故选C.
3．答案：C
解析：点在反比例函数上，
，
故选：C.
4．答案：B
解析：
顶点坐标为；
故选B.
5．答案：A
解析：抛物线对称轴为直线，点A坐标为，
由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为，
故选：A.
6．答案：B
解析：，
，
，即：，
解得：，
，
故选B.
7．答案：C
解析：，
旋转的角度是120°的整数倍，
旋转的角度至少是120°.
故选C.
8．答案：C
解析：、为的切线，
，
、为的切线，
，
.
故选：C.
9．答案：A
解析：函数的图象位于第二、四象限，
，
函数的图象的开口向下，与y轴的正半轴相交，又对称轴为y轴，
故选项A中图象符合题意，选项B、C、D中图象不符合题意，
故选：A.
10．答案：B
解析：根据同一时刻物高与影长成正比例可得，如图，
.
.
.
故选：B.
11．答案：
解析：向上一面的数不大于4，
可能为1、2、3、4四种情况，
故向上一面的数不大于4的概率是：
故答案为：.
12．答案：
解析：二次函数的图象与x轴没有交点，
，
解得.
故答案为：.
13．答案：
解析：两个相似图形，其周长之比为，
其相似比为，
其面积比为.
故答案为：.
14．答案：3
解析：当时，的值最小，
则，
如图所示，连接，
在中，，，
则根据勾股定理知，
即的最小值为3，
故答案为：3.
15．答案：
解析：利用弧长公式计算：该莱洛三角形的周长
故答案为.
16．答案：4
解析：设点C的坐标为，则，，
设BD的函数解析式为，
则，，
.
故答案为4.
17．答案：；
解析：，
，
设，，
.
18．答案：
解析：设二次函数解析式为，依题意，得
，
，
得
19．答案：
解析：的长为，扇面部分的长为，
，
扇面部分的面积，
即扇面部分的面积是.
20．答案：（1）(红，红)，(红，黄)，(红，绿)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，绿)，(绿，红)，(绿，黄)，(绿，绿)共9种情况
（2）不公平
解析：（1）树状图，如图所示：
(红，红)，(红，黄)，(红，绿)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，绿)，(绿，红)，(绿，黄)，(绿，绿)共9种情况；
（2）
所以游戏不公平.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1），，
；
（2），
，
，，
.
22．答案：（1）x的值为2m
（2）当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为
解析：（1），矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
，
，，
依题意得：，
解得：，(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：，
墙的长度为10，
，
，
，
时，S随着x的增大而增大，
当时，S有最大值，最大值为，
即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为.
23．答案：（1）A对应的指标值为20
（2）张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时注意力指标都不低于36
解析：（1）令反比例函数为，由图可知点在的图象上，
，
.
将代入得：
点A对应的指标值为；
（2）设直线的解析式为，将、代入中，
得，解得.
直线的解析式为.
由题得，解得.
∵，
∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.
24．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是的半径
是的切线
（2）连接，
，
是直径，，
，
，
，
，
在中，，即，
，
即的直径为.
25．答案：（1）
（2），的周长为
（3）点.
解析：（1）将，代入中，得到：
，解得：；
（2）以为直径的圆与交于点R，
，
，
令，得，
，
，
又，
，
为等腰直角三角形，当周长最大时，最长，
又，，即可得到直线解析式为：，
设，，
，
当时，，，
在中，，的周长为；
（3）若，则，
，
设，如图，过点B和E分别作平行于x轴、y轴的直线，垂足为N，两直线交于点G，
，，
，
又，
，
，
，
解得，（舍去），
，
当点E在对称轴左边时，
，
，
，
，延长交x轴于K，
直线的解析式为，
，
，，
垂直平分线段，
，解得，
点.