四川省眉山市仁寿第一中学校北校区2024届高三下学期二诊模拟数学（文）试题（原卷版+解析版）

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1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合.
【详解】因为，
，
则，因此，.
故选：C.
2. 若复数满足，则（ ）
A. B. 4C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】由复数的四则运算，计算复数，再由复数模的公式计算.
【详解】复数满足，则，
所以.
故选：A.
3. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用和角的正切公式求出，再利用和差角的正余弦公式，结合齐次式法求解即得.
【详解】由，得，解得，又，
所以.
故选：B
4. 曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求在处的导数值，即切线的斜率，再写出切线方程.
【详解】由题知，切线方程为，即，
故选：B.
5. 向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】代入投影向量公式，即可求解.
【详解】向量在向量上的投影向量为.
故选：C
6. 已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先根据函数是定义在上的偶函数，，再由函数也是偶函数，变形求得函数的解析式，并求得函数的单调区间，即可求解不等式.
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，，所以，则，
又因为函数也是偶函数，所以，得，
因为为减函数，为增函数，所以为减函数，
令，得，
所以时，，在上单调递减，
根据偶函数的性质可知，函数在上单调递增，
所以，即，即，得或，
所以不等式的解集为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据，得到，从而求得函数的解析式.
7. 已知数列为等比数列，为数列的前项和.若成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将成等差数列转化为等式，进而求出数列的公比，将比值中的和、项用基本元来表示，化简求值即可.
【详解】设等比数列的公比为，
若成等差数列，可得：，
当时，此时恒成立，
即为，得，即，显然不成立；
当时，即为：，其中，
得，得或（舍去），
，
故选：A.
8. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先记，化简整理，由函数解析式，判定奇偶性，再判断时，，进而可得出结果.
【详解】记，
则，
因此函数是偶函数；故排除BC；
当时，，，因此；排除D；
故选：A.
【点睛】本题主要考查判定函数图像的识别，熟记函数的性质即可，属于常考题型.
9. 已知在上单调递减，且，则下列结论中一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的单调性判断即可.
【详解】由得，，结合在上单调递减，
则必有，显然B正确，A错误，
而当时，不在定义域内，故无法比较，C,D错误.
故选：B
10. 将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的倍，得到函数的图像.若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先求函数的解析式，再根据，代入函数的解析式，结合正弦导函数的图像和性质，即可求解.
【详解】由三角函数的图像变换规律可知，，
，，
因为函数在上单调递增，所以，且，
得.
故选：B
11. 已知直线与圆相交于，两点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】联立直线与圆的方程求A、B的坐标，再由向量数量积的坐标表示即可求.
【详解】由题意，联立，有，解得，，
∴若，则，则.
故选：C.
12. 设抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点．设线段的中点为，过点作轴的平行线交抛物线于点．已知的面积为2，则直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用抛物线的图象与性质、直线方程、一元二次方程根与系数的关系、三角形面积公式运算即可得解.
【详解】解：

如上图，由题意，抛物线准线为，可得．
∵直线与抛物线交于，两点，∴直线的斜率存在且不为，
∴设直线方程为，
将其代入，化简并整理得：．
由，得．
设，，则，，
∴．
∵是的中点，∴．过点平行轴的直线为，
与抛物线交点为知，所以．
又∵，则，
∴的面积．
由已知条件知，∴，解得（满足），解得：.
∴直线的方程为，即，
∴直线的斜率为．
故选：A．
二．填空题（共20小题）
13 已知，则__________．
【答案】##
【解析】
【分析】先利用二倍角公式和同角三角函数基本关系的平方关系构造齐次分式，再分子分母同时除以转化为正切的运算.
【详解】因为，
所以.
故答案为：.
14. 已知是半径为1的球面上不同的三点，则的最小值为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据数量积的几何意义结合二次函数的性质即可求解.
【详解】是球面上不同的三点，不共线，故平面截球面得到的是一个圆，
记此圆半径为，当且仅当平面过球心时，.
在半径为的圆中，对于任意的弦，过作于,
由向量数量积的几何意义知，当在如图所示的位置时，
取最小值，
则的最小值为，
当时，取最小值，
又的最大值为1，故所求最小值为.
故答案为：
15. 已知函数在上是奇函数，当时，，则______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据奇函数的定义得到，代入求解即可.
【详解】函数在上是奇函数，，
.
故答案为：.
16. 设分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆的上顶点，直线与椭圆的另一个交点为.若，则椭圆的离心率为__________.
【答案】##
【解析】
【分析】依据题意求出点坐标，利用所给条件构造齐次方程求解离心率即可.
【详解】
由题意得，，，则，
直线的斜率为，即，联立方程组，，
可得，而，
故，代入直线中得，故,
可得，由题意得，
可得，化简得，
即，化简得，
同除得，且，解得.
故答案为：
三．解答题（共90小题）
17. 在中，角所对的边分别为，且.
（1）求证：；
（2）当取最小值时，求的值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理并结合正弦函数两角和差公式化简即可求解.
（2）利用基本不等式求得的最小值时的取等条件，再结合余弦定理从而求解.
【小问1详解】
证明：由余弦定理知，又因为，
所以，化简得，
所以，因为，
所以，
所以，
所以，因为，
所以或（舍），所以.
【小问2详解】
由题知，，
当且仅当时取等，又因为，所以，
所以.
18. 2025年我省将实行的高考模式，其中，“3”为语文、数学，外语3门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学，生物6门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理，历史中2选1，再从政治、地理、化学、生物中4选2，形成自己的高考选考组合.
（1）若某学生根据方案进行随机选科，求该生恰好选到“历政地”组合的概率；
（2）由于物理和历史两科必须选择科，某校想了解高一新生选科的需求.随机选取100名高一新生进行调查，得到如下统计效据，写出下列联表中的值，并判断是否有的把握认为“选科与性别有关”？
附：.
【答案】（1）
（2），有的把握认为“选科与性别有关”
【解析】
【分析】（1）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得所求概率.
（2）先补全列联表，然后计算的值，从而作出判断.
【小问1详解】
记物理为，历史为，政治、地理、化学、生物分别为，
根据选科要求，基本事件如下：，
，共种，
其中“历政地”组合为，
所以该生恰好选到“历政地”组合的概率为.
【小问2详解】
依题意，
由此补全列联表如下：
所以，
所以有的把握认为“选科与性别有关”.
19. 如图，在三棱柱中，E，F分别为，的中点，．

（1）求证：平面；
（2）若，平面平面，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求与平面所成角的正弦值．
条件①：；条件②）：；条件③）：．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答记分．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形可得线线平行，即可根据线面平行的判定求证，
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角即可求解.
【小问1详解】
取中点,连接
由于分别为的中点，所以,
又,所以,
因此四边形为平行四边形，
故平面,平面,
故平面
【小问2详解】
由于平面平面，且交线为，又，平面，所以平面，
平面，故
若选①：；
因此，两两垂直，
故建立如图所示的空间直角坐标系，

,
故,
设平面法向量为，
则，
取，则，
,
设与平面所成角为，则，
若选择条件②）：；
，，平面
所以平面平面故，
因此，两两垂直，
以下与选择①相同.
若选择条件③）：．
因，所以由可以推出，
此时推不出.此时三棱柱不唯一，故不可选择作为已知条件，
20. 已知椭圆过点，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设斜率为的直线与交于A，B两点（异于点P），直线，分别与轴交于点M，N，求的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）根据，把点代入，即可求出椭圆方程．
（2）设直线的方程为，代入椭圆方程，得，所以，，计算直线的斜率与直线的斜率的和，即可根据对称求解.
【小问1详解】
由于，设所求椭圆方程为，
把点代入，得，，
椭圆方程为．
【小问2详解】
设直线的方程为，
代入椭圆方程，整理得，
设，
，，，所以,
直线直线斜率为，
直线直线斜率为，
则
所以，，即直线的斜率与直线的斜率互为相反数，
故直线与直线关于对称，
因此．
故
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.
21. 已知函数，其中.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）函数的增区间为、，减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）当时，求得，利用函数的单调性与导数关系可求得函数的增区间和减区间；
（2）推导出，设，可知，对任意的恒成立，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最小值，根据可得出，且，结合函数单调性可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
解：函数的定义域为，
，
当时，，
解不等式，有或，令得，
故函数的增区间为、，减区间为.
【小问2详解】
解：若，则，由可得，由可，
此时，函数的减区间为，增区间为，且，
当时，由，有恒成立，
所以，必有.
又由，可得.
又由，不等式可化为，
设，
有，
当且时，，，可得，
当且时，，，可得，
当时，函数在上单调递增，
故存在正数使得.
若，有，，有，
与矛盾，可得，
当时，；当时，，
可得函数的减区间为，增区间为，
若，必有，
有，
又由，有，
有，有.
又由，有，可得，
有，可得，
构造函数，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，
由及可得，可得，
若，则实数取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数的取值范围，解本题的关键就是转化为得出，再结合函数的单调性求出的取值范围.
22. 在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（其中t为参数，），且直线l和曲线C交于M，N两点．
（1）求曲线C的普通方程及直线l经过的定点P的坐标；
（2）在（1）的条件下，若，求直线l的普通方程．
【答案】（1），
（2）．
【解析】
【分析】（1）将两个方程左右两边平方后相加即可消参得到C的普通方程，由可直接得直线l经过的定点P的坐标；
（2）将，代入，得，再结合韦达定理以及t的几何意义即可得值，则直线方程可求.
【小问1详解】
由，将两个方程左右两边平方后相加，
可得曲线C的直角坐标方程为．
由得，直线l经过的定点P的坐标为．
【小问2详解】
将，代入，得，
即，设其两根为，，
则，
得，即，得，经检验，
故直线l的普通方程为：．
23. 已知函数的最小值为．
（1）求实数m的值；
（2）若实数a，b，c满足，证明：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分类讨论x的取值，求出对应的函数解析式，结合图形即可求解；
（2）由（1）知，结合柯西不等式计算即可求解.
【小问1详解】
，
作出函数的图形，如图，
由图可知的最小值为.
【小问2详解】
由（1）知，，所以，
根据柯西不等式得，
当且仅当时取等号，
又，所以当且仅当时取等号，
∴.选择物理
选择历史
合计
男生
10
女生
30
合计
30
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
2706
3.841
5.024
6.635
7.879
选择物理
选择历史
合计
男生
10
女生
合计