2024年高考第二次模拟考试卷：数学（新高考Ⅱ卷02，2024新题型）（参考答案）

这是一份2024年高考第二次模拟考试卷：数学（新高考Ⅱ卷02，2024新题型）（参考答案），共7页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．ACD10．ABC11．ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
12．①. ②. 13．14． ①. ； ②. .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）【解析】【小问1详解】由题意是的中点，连接 ，
由已知为等边三角形，所以．
由已知,平面,
所以平面又平面ADE，故，
因为，所以，
又侧面为平行四边形，所以侧面是矩形 6分
【小问2详解】
取中点O，连接，
由已知得，底面是边长为2的等边三角形，则，
因为，E为的中点，
所以，是等边三角形．
故，由（1）知平面，平面,
所以是，平面 ,
所以⊥平面． 9分
以O为原点，过点O作的平行线作为x轴，以所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系，如上图，
故，
所以，
设平面的法向量为，则，
故 ，取，则， 10分
设直线与平面所成角为，
则，
故，
所以直线与平面所成角的余弦值为. 分
16．（15分）【解析】【小问1详解】
依题意有当为椭圆短轴端点时最大，此时，则
为正三角形，则 分
且
，又，，，
故椭圆方程为. 分
【小问2详解】
设，，，
若，则切线方程为，
若，则在处的切线的斜率必定存在， 分
设该切线的方程为，
由可得，
整理得， 8分
故，
整理得到：，故，
故切线方程为：，
故：，
综上，：，同理： 9分
因，都过点，则，
则方程为，即过定点.
故设方程为，，
联立，
，，又 11分
直线方程为：，令得

， 分
当且仅当即，时取等号
故最大值为. 分
17．（15分）【解析】【小问1详解】因为每次训练都是由高射炮向目标飞行物连续发射三发炮弹，
每发炮弹击中目标飞行物与否相互独立，
所以在一次训练中，连发三发B型号炮弹，用表示命中目标飞行物的炮弹数，
则（服从二项分布），
则， 分
即，则，即，则，
又，故，
所以当时，才能使得至少有一发炮弹命中目标飞行物的概率不低于. 分
【小问2详解】
在一次训练中，连发三发A型号炮弹，用表示命中目标飞行物的炮弹数，
则（服从二项分布），，
记事件为“使用A型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，
事件为“使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁”，
则
， 分
，
因为，所以，
则
， 10分
令，则，
令，即，则，得，
又，所以恒成立， 13分
所以在上单调递增，
又，则，
故，即，
所以使用B型号炮弹使得目标飞行物坠毁的概率更大. 15分
18．（17分）【解析】【小问1详解】因为，则，即，
反之当时，， 分
令，则，
设，由于在单调递增，且，
所以当时，，即，
当时，即，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以，即，所以. 分
【小问2详解】
由（1）可知：①
下面证明当时，②
等价于，设，分
当时，
当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减,
所以，所以②式成立，
由①､②可得：，当时取到“”，
取有，，
所以，不等式成立. 分
19．（17分）【解析】（1）当时正整数的4个正约数构成等比数列，
比如为8的所有正约数,即. 4分
（2）由题意可知，，，，
因为，依题意可知，所以，
化简可得，所以， 9分
因为，所以，
因此可知是完全平方数.
由于是整数的最小非1因子，是的因子，且，所以，
所以为，
所以,. 11分
（3）证明：由题意知，，
所以，
因为，
所以 分
，
因为，，所以，
所以，
即. 17 分
1
2
3
4
5
6
7
8
B
C
B
C
A
D
D
B