2023年河南省郑州市第一中学中考数学二模试题（原卷版+解析版）

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1. 下列各数中，最大的是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】比较大小的法则是正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数；按照法则，容易找出这组数中的最大数，据此可选出正确选项．
【详解】解：∵，
∴最大，
故选：D．
【点睛】本题考查了实数的大小比较，掌握比较大小的法则是关键．
2. 据中国教育报2023年3月14日公布的数据显示，今年高校毕业生达1158万人，比去年增加80余万人，创历史新高．将数据“80万”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：80万．
故选：C．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
3. 《天净沙·秋思》中的词句意境幽远．如图所示，该图形经过折叠可以围成一个正方体，折好以后，与“小”字相对的字是（ ）

A. 流B. 水C. 人D. 家
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法:“Z”字两端是对面, 即可解答.
【详解】解：根据“Z”形法则,可得“小”字相对的字是“家”，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键.
4. 如图所示，，将一块三角板如图所示放置（直角顶点在上），若，则的度数为( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作，则，进而根据平行线性质即可求解．
【详解】过点作，

．
．
，．
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判断是解题的关键．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用整式的加减运算法则进行运算即可.
【详解】解：A.，故A不符合题意；
B. 与不属于同类项，不能合并，故B不符合题意；
C. ，故C不符合题意;
D 故D符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方等相关知识点，要熟练掌握.
6. 关于x的一元二次方程有实数根，则k可能是（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据根的判别式的意义，然后分别把、、1、代入进行计算，如果满足就符合题意．
【详解】解：根据题意得△，
即，
只有满足，而、1、都不满足．
故选：A．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
7. 某数学兴趣小组准备了张卡片，正面依次书写“备”“战”“中”“考”，它们除此之外完全相同，把这张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面汉字恰能组成“备考”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】列表格得到所有可能的结果数及所求结果数，根据概率公式计算可得．
【详解】列表如下：
由表知，共有种等可能结果，其中这两张卡片正面汉字恰能组成“备考”的有种结果，
所以这两张卡片的正面汉字恰能组成“备考”的概率为，
故选：．
【点睛】此题考查了列举法求事件概率，正确理解“放回”与“不放回”事件及概率的计算公式是解题的关键．
8. 如图所示，在中，，，，以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，再分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E、F，作直线，分别交、于点P、Q，则的长度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，，得到，结合以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D得到，即可得到，结合作图得到，，结合列式计算即可得到答案；
【详解】解：∵，，，
∴，
∵以点B为圆心，长为半径画弧，与交于点D，
∴，
∴，
∵分别以A、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E、F，作直线，
∴，，
∴，即，
∴，
故选B；
【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，垂直平分线的作图，解题的关键是根据作图得到相应线段的关系，利用正切列式求解．
9. 放射性同位素的半衰期是指一个样本内，其放射性原子衰变至原来数量的一半所需的时间．镭（元素符号Ra）中最稳定的同位素镭变为氡的半衰期最长，的镭衰变规律的函数图象如图所示，则下列判断错误的是（ ）
A. 该图象不是反比例函数图象
B. 镭的半衰期（质量减半的时间）是1620年
C. 镭缩减为所用时间约为6480年
D. 的镭经过若干年的衰变能变成
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象提供的信息逐项判断即可．
【详解】解：A．∵函数图象与轴有交点，∴该图象不是反比例函数图象，故选项正确，不符合题意；
B．镭的半衰期（质量减半的时间）是1620年，故选项正确，不符合题意；
C．镭缩减为所用时间约为年，故选项正确，不符合题意；
D．的镭经过若干年的衰变不能变成，故选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了从函数图象获取信息，看懂函数图像，获取正确信息是解题的关键．
10. 如图所示，在平面直角坐标系中，，，，都是等边三角形，其边长依次为，，，其中点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，，按此规律排下去，则点的坐标为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】观察所给图形，发现轴上方的点是4的倍数，确定点在轴上方，分别求出点的坐标为，点的坐标为，……，点的坐标为，即可求解．
【详解】解：观察所给图形，发现轴上方的点是的倍数，
，
点在轴上方，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
同理可知，点的坐标为，
点的坐标为
故选：．
【点睛】本题考查点的坐标的变化规律；能够通过所给图形，找到点的坐标规律，利用有理数的运算解题是关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 比较大小：_____________2（填“”或“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数大小的比较，二次根式大小比较，算术平方根的求解，根据，即可求出结果．
【详解】解：，
，
故答案为：．
12. 不等式组的解集是_________．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集．
【详解】解：，
解，得，
解，得，
不等式组的解集为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，掌握求不等式公共解集的方法是解题的关键．
13. 甲、乙两名学生5次立定跳远成绩的平均数相同，若甲5次立定跳远成绩的方差为，乙5次立定跳远成绩的方差为，则甲、乙两名学生5次立定跳远成绩比较稳定的是______．（选填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【解析】
【分析】根据方差的意义可直接求解．
【详解】解：∵甲、乙两名学生5次立定跳远成绩的平均数相同，甲5次立定跳远成绩的方差为，乙5次立定跳远成绩的方差为，
∴，
∴甲、乙两名学生5次立定跳远成绩比较稳定的是甲，
故答案为：甲．
【点睛】此题主要考查了方差，关键是掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14. 如图所示，扇形中，点C为的中点，点D为的中点，连接交于点P，则阴影部分图形的面积是______（结果保留）．

【答案】
【解析】
【分析】利用垂径定理及推论证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得到各边长度，最后通过图形组合求出阴影部分面积即可．
【详解】连接，交于点，如图，

∵点为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算及应用求不规则图形面积的方法进行求解是解决本题的关键．
15. 如图所示，在中，点P、Q分别为上两点，且，将绕点C在平面内旋转，连接．当时，的长为______．

【答案】2或
【解析】
【分析】先解直角三角形得到，如图1所示，当点P在起始位置时，可证明是等边三角形，得到；如图2所示，当旋转到的位置，且点在的延长线上时，过点B作于N，证明是等边三角形，得到，再解求出的长，即可利用勾股定理求出的长．
【详解】解：∵在中，
∴，
如图1所示，∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴此时；
如图2所示，当旋转到的位置，且点在的延长线上时，
过点B作于N，
由旋转的性质可得，
又∵，
∴是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴；
综上所述，的长为2或
故答案为：2或；
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，等边三角形的性质与判定，旋转的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. （1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的化简、零指数幂、绝对值依次计算即可；
（2）根据分式运算法则化简即可．
【详解】（1）解：



（2）解：



【点睛】本题考查分式化简和整式计算，熟记运算法则是关键．
17. 2022年，教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并发布《义务教育劳动课程标准(2022年版)》，文中对家务劳动的时间做了细致要求．某校为了了解本校学生“上周内做家务劳动所用的时间”（简称“劳动时间”）情况，在本校随机调查了25名学生的“劳动时间”，并进行统计，绘制了如下统计表：
根据上述信息，回答下列问题：
（1）此次调查属于 调查，样本容量为 ，个体为 ；
（2）这25名学生的“劳动时间”的中位数落在 组；若要绘制扇形图，C组学生所对圆心角的度数为______；
（3）若该校有1400名学生，请估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数．
【答案】（1）抽样，25 ，每名学生的劳动时间
（2）C，144° （3）估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数为1064人
【解析】
【分析】（1）根据抽样调查及其相关定义判断即可；
（2）根据中位数的定义解答即可；用乘组所占比例可得答案；
（3）用1400乘样本中“劳动时间”不少于90分钟的人数所占比例即可．
【小问1详解】
解：此次调查属于抽样调查，样本容量为25，个体为每名学生的劳动时间；
【小问2详解】
解：把25名学生的“劳动时间”从小到大排列，第13个数位于组，
所以这25名学生的“劳动时间”的中位数落在组；
若要绘制扇形图，组学生所对圆心角的度数为．
【小问3详解】
解：（人，
答：估计在该校学生中，“劳动时间”不少于90分钟的人数大约为1064人．
【点睛】本题考查了频数分布表．扇形统计图，用样本估计总体，从频数分布表中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：总体数目部分数目相应百分比．
18. 如图所示，一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于点P，且点P的横坐标为2．

（1）求反比例函数的解析式；
（2）在第一象限内是否存在点Q，使得以B、O、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）存在．或
【解析】
【分析】（1）根据题意和待定系数法得出反比例函数的解析式即可；
（2）根据平行四边形的性质和坐标特点解答即可．
【小问1详解】
解：与的图象在第一象限交于点，且点的横坐标为2，
当时，，
，
，
，
反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：存在，理由如下：
在中，当时，，
，
，
当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，分两种情况：
①当为平行四边形的边时，
点在第一象限，
，，
点的坐标为，且，
点在点的下方，
点坐标为；
②当为平行四边形的对角线时，点在点的上方，可得点的坐标为，
或．
【点睛】此题是反比例函数的综合题，考查求反比例函数的解析式和反比例函数的性质以及平行四边形的性质，关键是根据待定系数法求得反比例函数的解析式是解题的关键．
19. 大汉雄风（图2）坐落于河南省永城市芒砀山主峰，是为纪念刘邦在芒砀山斩蛇起义创建四百年大汉王朝而建，是亚洲最大的历史人物雕像，外为塑铜焊接，内是钢架结构，雄浑庄重．如图1所示，小敏在数学实践活动中，利用所学知识对刘邦雕像的高度进行测量，她在与雕像底部平齐的水平线上放置一无人机，且无人机所在的位置D与B 的距离为18m，将无人机从D点垂直上升到C处，测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，求刘邦雕像的高度．（结果保留整数．参考数据：）

【答案】刘邦雕像的高度约为30m
【解析】
【分析】过点C作，垂足为E，在中，利用正切函数求解即可.
【详解】如图所示：过点C作，垂足为E.

由题意得：m，.
在中，,
∴m.
在中，m，
∴m，
∴m，
答：刘邦雕像的高度约为30m.
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，熟练掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．
20. 已知一个零刻度落在点A的量角器（半圆O）的直径为，一等腰直角三角板绕点B旋转．

（1）如图1所示，当等腰直角三角板的斜边交半圆于C点，一直边交半圆于D点，另一直边交半圆于E点，若点C在量角器上的读数为25°，求此时点E在量角器上的读数；
（2）如图2所示，当点C、D在量角器上的读数α、β满足什么关系时，直角边与半圆O相切于点D？请说明理由．
【答案】（1）点E在量角器上的读数为115°
（2）当点C、D在量角器上的读数α、β满足时，直角边与半圆O相切于点D，理由见解析
【解析】
【分析】（1）连接、，由题意可知，求得，于是得到．
（2）连接、，根据切线的性质得到，根据平行线的性质得到，得到结论．
【小问1详解】
如图1所示，连接、，

∵点C在量角器上的读数为25°，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【小问2详解】
如图2所示，连接、，

∵直角边为圆O的切线，D为切点，
∴，
∴ ，
∴ ，
∴，
又∵，．
∴ ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质、平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
21. 某校体育社团由于报名人数激增，决定从某体育用品店购买若干足球和篮球，用于日常训练．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多30元，用900元购买足球的数量是用720元购买篮球数量的2倍．
（1）求篮球和足球的单价各是多少？
（2）根据学生报名情况，社团需一次性购买篮球和足球共80个，且要求购买足球数量不超过篮球数量的 ，请你设计一个购买方案使得购买费用最少，最少费用为多少元？
【答案】（1）篮球的单价是80元，足球的单价是50元
（2）社团购买60个篮球，20个足球费用最少，最少费用为5800元
【解析】
【分析】（1）设足球的单价是元，则篮球的单价是元，根据用900元购买足球的数量是用720元购买篮球数量的2倍列出方程，解方程即可；
（2）设学校可以购买个篮球，则可以购买个足球，购买费用为元，根据总费用购买篮球和足球费用的和列出函数解析式，再根据购买足球数量不超过篮球数量的，求出的取值范围，再根据函数的性质求最值．
【小问1详解】
解：设足球的单价是元，则篮球的单价是元，
根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：篮球的单价是80元，足球的单价是50元；
【小问2详解】
解：设学校购买个篮球，则购买足球个，购买费用为元，
则，
购买足球数量不超过篮球数量的，
，
解得，
，
当时，有最小值，最小值为5800元，
此时，
答：社团购买60个篮球，20个足球费用最少，最少费用为5800元．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出函数解析式．
22. 已知二次函数 的图象与x轴交于点A、（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点．点P是直线上的一动点．

（1）求该二次函数的解析式；
（2）过点P作轴，交抛物线于点Q，设的长度为h，点P的横坐标为，若h值随的增大而增大，请确定P的横坐标的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）先求出直线的解析式为,设，则，讨论：当时，，根据二次函数的性质得当时，值随的增大而增大；当或时，，解方程得或，则或时，，而根据二次函数的性质，当时，值随的增大而增大，所以，然后综合两种情况得到的横坐标的取值范围．
【小问1详解】
解：把，分别代入得，
解得，
二次函数解析式为；
【小问2详解】
解：如图，

设直线的解析式为，
把，分别代入得，
解得，
直线的解析式为，
设，则，
当时，，
，
当时，值随的增大而增大；
当或时，，
当时，，
解得或，
或时，,，
，
当时，值随的增大而增大，
，
综上所述，的横坐标的取值范围为或．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了待定系数法求抛物线解析式和二次函数的性质．
23. 【问题发现】如图1所示，将绕点逆时针旋转得，连接、．根据条件填空：

①的度数为 ；
②若，则的值为 ；
【类比探究】如图2所示，在正方形中，点在边上，点在边上，且满足，，，求正方形的边长；

【拓展延伸】如图3所示，在四边形中，，，、为对角线，且满足，若，，请直接写出的值．

【答案】【问题发现】①；②；【类比探究】正方形的边长为；【拓展延伸】的值为
【解析】
【分析】（1）问题发现：①根据旋转的性质易得为等腰直角三角形，结合等腰三角形的性质求解即可；②结合等腰三角形的性质求解即可；
（2）类比探究：将绕逆时针旋转得，求证，由全等三角形的性质可得，易得；设正方形边长为，则，，在中，由勾股定理可得，代入求解即可获得答案；
（3）拓展延伸：将绕逆时针旋转至，连接，首先证明，由相似三角形的性质可得，再证明，由勾股定理可得，结合即可获得答案．
【详解】解：（1）问题发现：①∵将绕点逆时针旋转得，
∴，，
∴；
②∵为等腰直角三角形，，
∴．
故答案为：①45°；②；
（2）类比探究：将绕逆时针旋转得，如图1所示，

∴，，，，
∵，
∴共线，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设正方形边长为，则，，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴正方形的边长为；
（3）拓展延伸：将绕逆时针旋转至，连接，如图2所示，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了旋转性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，综合性强，解题关键是熟练运用旋转的性质求解．
备
战
中
考
备
战备
中备
考备
战
备战
中战
考战
中
备中
战中
考中
考
备考
战考
中考
组别
“劳动时间”t/分钟
频数
A
2
B
4
C
10
D
9