2023年江苏省南京市玄武区中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. （ ）
A. B. 3C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义求解即可.
【详解】解：，
故选：B.
【点睛】本题考查了算术平方根，正确把握定义是解题关键.
2. 下列计算中，结果是是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了整式的运算，根据整式的运算法则逐项计算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：、，故该选项不合题意；
、，故该选项不合题意；
、，故该选项符合题意；
、，故该选项不合题意；
故选：．
3. 反比例函数（为常数，）的图象位于（ ）
A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、四象限D. 第三、四象限
【答案】C
【解析】
【分析】先根据一个数的平方为非负数的特点确定比例系数，再利用反比例函数的性质求解．
【详解】解：∵k2+1≥1＞0，
∴-（k2+1）＜0，
∴反比例函数（k为常数）的图象位于第二、四象限．
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数y=（k≠0）的性质：①当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；②当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．
4. 如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯承载的重量超过450公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分别为50公斤、70公斤．设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为x公斤，则x的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
根据“小丽进入电梯后不超重，小欧进入电梯后超重”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故选：B．
5. 如图是一个直三棱柱，它的底面是边长为5、12、13的直角三角形．下列图形中，是该直三棱柱的表面展开图的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】三棱柱的侧面展开图是长方形，底面是三角形，据此进行判断即可．
【详解】解：A选项中，展开图下方的直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；
B选项中，展开图上下两个直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；
C选项中，展开图下方的直角三角形中的直角边不能与其它棱完全重合，不合题意；
D选项中，展开图能折叠成一个三棱柱，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
6. 如图，在的点阵中，甲、乙、丙、丁四个玻璃球分别从四个点处同时出发，按各自箭头方向作匀速直线运动，运动秒后分别到达、、、处，若按照上述方式继续运动，则第一次发生碰撞的是（ ）
A. 甲和乙B. 甲和丙C. 甲和丁D. 丙和丁
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了图形的变化类，先画各个球的运动路径，再根据图示即可求解，找到变化规律是解题的关键．
【详解】解：各个球继续运动如图示，
由图示得，甲和乙不相撞，甲和丙经过秒相撞，甲和丁不相撞，丙和丁不相撞，
故选：．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7. 数轴上表示的点与表示6的点之间的距离为_____．
【答案】8
【解析】
【分析】根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
故答案为：8．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，解题的关键在于熟练掌握：数轴上两点间的距离用右边的数减去左边的数进行计算即可．
8. 若式子x＋在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
【答案】x≥－1
【解析】
【分析】由题意根据二次根式的被开方数是非负数，进行分析计算可得答案．
【详解】解：由题意得x+1≥0，
解得x≥-1.
故答案为：x≥-1．
【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握并利用被开方数是非负数得出不等式是解题的关键．
9. 据测量，柳絮纤维的直径约为米，用科学记数法表示是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（，为整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可，根据科学记数法确定和的值是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
10. 计算的结果是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握二次根式的混合运算及分母有理化是解题关键．先分母有理化再化简即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
11. 已知关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，则p+q=_____．
【答案】7
【解析】
【分析】由根与系数的关系可分别求得p、q的值，代入则可求得答案．
【详解】解：
∵关于x的方程x2+px+q=0的两根为﹣3和﹣1，
∴﹣3+（﹣1）=﹣p，﹣3×（﹣1）=q，
∴p=4，q=3，
∴p+q=7，
故答案为7．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程两根之和等于﹣ 、两根之积等于是解题的关键．
12. 若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为_____．
【答案】##120度
【解析】
【分析】本题考查了圆锥的计算及圆锥侧面展开图，设该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，列出方程即可求解，解题的关键是熟记正确理解圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
【详解】解：设该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为，圆锥的母线长为，底面圆的半径为，
，则，
∴，
解得：，
则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为，
故答案为：．
13. 已知的直径为8，点P到圆心O的距离为3，则经过点P的最短弦的长度为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，垂线段最短，弄清与垂直的弦最短是关键．
与垂直的弦最短，利用垂径定理与勾股定理求解即可．
【详解】解：过点任作一条弦，作垂直于，垂足为，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，即，
，
，
弦最短，
故答案为：．
14. 如图，的顶点A在y轴上，顶点B，D在x轴上，边与y轴交于点E，若，，，则点E的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
求出，，，由平行四边形的性质得出，过点作轴于点，求出，，求出的长，则可得出答案．
【详解】解：，，
，
，
，
，
，，，
四边形是平行四边形，
，
过点作轴于点，
，，
，
∴
∴，
，
．
故答案为：．
15. 如图，点O是正五边形和正三角形的中心，连接，交于点P，则的度数为______°．

【答案】84
【解析】
【分析】本题考查正多边形和圆，三角形内角和定理以及圆周角定理，掌握正三角形、正五边形的性质以及圆周角定理是正确解答的前提．
根据正多边形的中心角的计算方法分别求出，，，进而求出的度数，由圆周角定理和三角形内角和定理即可求出答案．
【详解】解：如图，连接、、、，

五边形是的内接正五边形，
，
，
是的内接正三角形，
，
根据对称性可知，，
，
，
故答案为：84．
16. 如图，在矩形中，，，是边上的动点，连接，过点作，与边交于点，连接，则的最小值为______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，设的长为，的长为，先证明，得到，进而得到，根据二次函数的性质求出的最大值，即可利用勾股定理求出的最小值，利用相似三角形得到二次函数的解析式是解题的关键．
【详解】解：设的长为，则 ，的长为，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
当时，，即的最大值为，
当时，，此时为最小，
∴的最小值，
故答案为：．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程
【答案】x=-1．
【解析】
【分析】首先去掉分母，观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，然后解一元一次方程，最后检验即可求解．
【详解】解：方程两边同乘x-2，得2x=x-2+1
解这个方程，得x= -1
检验：x= -1时，x-2≠0
∴原方程的解是x= -1
18. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，
【解析】
【分析】此题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将与的值代入计算即可求出值．
【详解】解：
，
当，时，原式．
19. 每年6月6日为“全国爱眼日”．按照国家视力健康标准，学生视力状况如下表所示．
为了解某学校学生视力状况，随机抽查了若干名学生进行视力检测，整理样本数据，得到下列统计图
根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽查的学生中，视力状况属于A类的学生有______人，D类所在扇形的圆心角的度数是______；
（2）对于本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为______类；
（3）已知该校共有300名学生，请估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数．
【答案】（1）4；
（2）B （3）135人
【解析】
【分析】（1）首先利用组的人数和所占的百分比求得总人数，然后乘以类所占的百分比即可求得类学生的人数；
（2）用周角乘以类所占的百分比即可；
（3）用样本数据估计总体数据即可．
【小问1详解】
解：观察两个统计题知：类有7人，占，
所以调查的总人数为（人，
所以视力情况属于类的学生有（人，
类所在扇形的圆心角的度数为．
【小问2详解】
解：每类人数分别为4人，7人，8人，1人，共20人，
所以中位数为第10人和第11人的平均数，均落在了类，
所以本次抽查的学生视力数据，中位数所在类别为类．
【小问3详解】
解：（人，
所以估计该校“中度视力不良”和“重度视力不良”的学生总人数为135人．
【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、统计表、中位数以及用样本估计总体等知识，关键是从扇形统计图和统计表中找出相应的数据．
20. 有四根细木棒，它们的长度分别为，，，．
（1）从中任取两根，求长度恰好相等的概率．
（2）从中任取三根，恰好能搭成一个三角形的概率为______．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．也考查了三角形三边的关系．
（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可；
（2）列举出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中长度恰好相等的有2种结果，
所以长度恰好相等的概率为；
【小问2详解】
解：从中任取三根，有，2，、，2，、，4，、，4，这4种等可能结果，其中恰好能搭成一个三角形的有2种结果，
所以恰好能搭成一个三角形的概率为．
21. 如图，在中，，，垂足为D．E是上一点，且，过点E作，与交于点F．
（1）证明；
（2）若E是的中点，，则的面积为______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明解答．
（1）根据平行线的性质得出，进而利用证明解答；
（2）连接，根据等边三角形的判定和性质以及三角形的面积公式解答．
【小问1详解】
证明：，，
，
，
，，
，
在与中，
，
；
【小问2详解】
解：由（1）可知，
，
连接，
是的中点，
，，
是等边三角形，
，
，
，
，
的面积．
22. 如图，投影仪镜头A（看成一个点）离地面的距离为，投影在墙上的像的高度为，经测量，镜头A到像顶端B的仰角为，到像底端C的俯角为，求像底端C到地面的距离．（参考数据：，
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
过点作，垂足为，根据题意可得：，然后设，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足，
由题意得：，
设，
在中，，
，
在中，，
，
，
，
解得：，
，
，
像底端到地面距离约为．
23. 如图，在中，，平分，过点作，与交于点，过点作，与交于点．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，，则长为______．
【答案】23. 四边形是菱形，理由见解析
24.
【解析】
【分析】（）先证得四边形是平行四边形，再根据角平分线的定义结合平行线和等腰三角形的性质证得，即可证得结论；
（）证明，推出 ，得到，解之即可求解；
本题考查了菱形的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：四边形是菱形，理由如下：
∵，，
∴ 四边形是平行四边形，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴或（不合，舍去），
∴的长为，
故答案为：．
24. 如图，一块周长为的矩形铁皮，如果在该铁皮的四个角上截去四个边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成一个无盖的长方体铁盒．

（1）要使铁盒的容积为，求矩形铁皮的长和宽；
（2）要使铁盒的容积最大，矩形铁皮的长和宽应为多少？最大容积是多少？
【答案】（1）矩形铁皮的长为，宽为
（2）矩形铁皮的长和宽应各为时，容积最大，最大容积为．
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和一元二次方程．
（1）设矩形铁皮的长为，则宽为，然后根据题意求出铁盒的长和宽，再根据长宽高列出方程，解方程即可；
（2）设铁盒的容积为，然后根据长方体的体积公式写出函数解析式，由函数的性质求出最值．
【小问1详解】
解：设矩形铁皮的长为，则宽为，
由图知，铁盒的长为，宽为，
根据题意得：，
整理得：．
解得，（舍，
矩形铁皮的长为，宽为；
【小问2详解】
解：设铁盒的容积为，
根据题意得：，
，
当时，有最大值，最大值为72，
此时，
矩形铁皮的长和宽应各位时，容积最大，最大容积为．
25. 在平面直角坐标系中，将点先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点B．
（1）求直线对应的函数表达式；
（2）将直线______可以得到函数的图像．（填写所有正确的序号）
①向右平移6个单位长度；
②向下平移6个单位长度；
③绕点按逆时针方向旋转；
④先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度．
【答案】（1）
（2）②③④
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律和旋转的性质是解题的关键．
（1）求得点的坐标，然后利用待定系数法即可求得；
（2）分别求得变换后的函数解析式判断即可．
【小问1详解】
解：将点先向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到点，则点的坐标为，
设直线的解析式为，
代入，得，
解得，
直线的解析式为；
【小问2详解】
①将直线向右平移6个单位长度得到；
②将直线向下平移6个单位长度得到；
③将直线绕点按逆时针方向旋转得到；
④将直线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度得到；
∴②③④正确．
26. 如图，是的外接圆，，，是的切线，切点分别为A，C．

（1）求证；
（2）若，，
①求半径：
②连接，与交于点P，连接，，则______．
【答案】（1）见解析 （2）①；②
【解析】
【分析】（1）连接并延长交与点，由三角形的外心可得，再由切线的性质即可得，即可得证．
（2）①由（1）可求出，的长，进而求出圆的半径．
②过作，过作，分别求出、的长即可．
小问1详解】
证明：连接并延长交于点，如图：

点是三角形的外心，，
，
，是的切线，
，，
∴，．
，
，
，
即，
．
【小问2详解】
解：①由（1）可得，即，
，连接，

在中，，，
，
设半径为，则，，
在中，，
代入解得，
圆的半径为：．
②过点作，，如图：

，是的切线，
∴，，
垂直平分，
是的中点，
，，
，，
在中，，
，
，
在中，，
，
，
在中，，
．
【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，平行公理的推论，熟练相关性质是解题关键．
27. 已知函数（为常数）．
（1）若，，求该函数图像与轴的两个交点之间的距离；
（2）若函数的图象与轴有两个交点，将该函数的图像向右平移个单位长度得到新函数的图象，且这两个函数图象与轴的四个交点中任意相邻两点之间的距离都相等．
若函数的图象如图所示，直接写出新函数的表达式；
若函数的图象经过点，当时，求的值．
【答案】（1）；
（2）或；或或或．
【解析】
【分析】（）用待定系数法求出函数解析式，再求出与轴的交点坐标，二者相减取绝对值即可；
（）利用待定系数法求出函数解析式，转化为顶点式，根据新函数的对称轴是将原函数的对称轴向右平移与轴的两个交点 1 之间距离的倍或倍解答即可求解；
根据值为函数与轴的两个交点之间距离的倍 或2倍，结合点在函数图象上，列出方程组解答即可；
本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与轴的交点，二次函数图象的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：若，则有，
当时，，
解得或，
∴该函数图象与轴的两个交点之间的距离为；
【小问2详解】
解：将和代入得，
，
解得，
∴，
∴，
若，则的对称轴为，
∴，
即；
若时，则的对称轴为，
∴，
即 ；
∴新函数的表达式为或；
将点代入，得 ，
设和分别为函数与 轴的交点坐标，
∴，，
∴，
∴，
当时，有，
∴，
∴，
解得或；
当，有，
∴，
∴，
解得或；
综上，的值为或或或．类别
A
B
C
D
视力
视力
4.9
视力
视力
健康状况
视力正常
轻度视力不良
中度视力不良
重度视力不良
2
2
4
5
2
/
2
/
4
/
5
/