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3.4 二次函数 习题精练+知识讲解 2024年河北版中考数学一轮复习课件
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这是一份3.4 二次函数 习题精练+知识讲解 2024年河北版中考数学一轮复习课件，文件包含34二次函数知识讲解pptx、34二次函数习题精练pptx等2份课件配套教学资源，其中PPT共93页， 欢迎下载使用。
知识拓展 (1)抛物线上两点若关于直线x=- 对称,则这两点的纵坐标相同,横坐标与- 的差的绝对值相等.(2)若二次函数的图象与x轴有两个交点,则这两个交点关于直线x=- 对称.
2.二次函数的另外两种表达方式(1)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0,a,h,k为常数);(2)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,a,x1,x2为常数),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
1.将二次函数y=2x2-8x-1化成y=a(x-h)2+k的形式,结果为 ( C )A.y=2(x-2)2-1 B.y=2(x-4)2+32C.y=2(x-2)2-9 D.y=2(x-4)2-33
2.关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是 ( D )A.图象的对称轴在y轴的右侧B.图象与y轴的交点坐标为(0,8)C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)D.y的最小值为-9
3.二次函数y=(x+m)2+n的图象如图所示,则一次函数y=mx+n的图象经过 ( D ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
4.已知抛物线y=x2-4x+c经过点A(-1,y1)和B(1,y2),比较y1与y2的大小:y1 > y2.(填“>”“<”或 “=”)
5.(2022吉林长春)已知二次函数y=-x2-2x+3,当a≤x≤ 时,函数值y的最小值为1,则a的值为 -1- .
6.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,则该抛物线的顶点坐标是 (1,4) .
考点2 二次函数图象的平移保持抛物线y=ax2的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,具体平移方法如下:
注意事项 二次函数图象的平移主要看顶点坐标的变化,因此在抛物线的平移过程中,先将二次函数表达式转化为顶点式,然后按照“横坐标左加右减”“纵坐标上加下减”的方法将抛物线进行平移.
7.若要得到函数y=(x+1)2+2的图象,只需将函数y=x2的图象 ( B )A.先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度B.先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度C.先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度D.先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
8.(1)将抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得抛物线的解析式为 y=-2x2+4x-4 .(2)将抛物线y=x2+bx+c先向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得抛物线的解析式为y =(x-1)2-4,则b= 2 ,c= 0 .
考点3 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系
9.已知二次函数y=ax2+bx-c(a≠0),其中b>0,c>0,则该函数的图象可能为 ( C )
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①b2-4ac>0;②abc<0;③4a+b=0;④4a-2b+c>0.其中正确结论的个数是 ( B ) A.4 B.3 C.2 D.1
考点4 二次函数与方程、不等式的关系
1.二次函数与方程的关系二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 实数根.(1)当b2-4ac>0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,方程ax2+bx+c=0有两个⑦ 不相等 的实数根.(2)当b2-4ac=0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点,方程ax2+bx+c=0有⑧ 两个相等 的实数根.(3)当b2-4ac<0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点,方程ax2+bx+c=0⑨ 没有 实数根.(4)直线y=k与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=k(a≠0)的实数根.
2.二次函数与不等式的关系(1)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象位于x轴上方的点的横坐标的取值范围⇔ax2+bx+c>0的解集;(2)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象位于x轴下方的点的横坐标的取值范围⇔ax2+bx+c<0的解集.
11.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题:(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;(2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集;(3)写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围;(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
解析 (1)x1=1,x2=3.(2)12(或x≥2).(4)k<2.
一、利用抛物线的平移规律解题的方法例1 (2021山西)抛物线的函数表达式为y=3(x-2)2+1,若将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平 移3个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为 ( )A.y=3(x+1)2+3 B.y=3(x-5)2+3C.y=3(x-5)2-1 D.y=3(x+1)2-1答案 C解题思路
解析 将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移3个单位长度相当于将抛物线向下平移2个单位长 度,向右平移3个单位长度,则平移后的抛物线的函数表达式为y=3(x-2-3)2+1-2,即y=3(x-5)2-1,故选C.
方法归纳 二次函数图象的平移规律:将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向上平移k(k>0)个单位所得的函 数图象的关系式为y=ax2+bx+c+k,向下平移k(k>0)个单位所得的函数图象的关系式为y=ax2+bx+c-k; 向左、右平移应该先将二次函数解析式化为顶点式,即y=a(x-h)2+m的形式,向左平移k(k>0)个单位 所得的函数图象的关系式为y=a(x-h+k)2+m,向右平移k(k>0)个单位所得的函数图象的关系式为y=a (x-h-k)2+m.以上规律可简记为“上加下减,左加右减”.(1)在判断平移后的图象对应的函数解析式时,可以用平移规律“上加下减,左加右减”直接写出; (2)给出两条抛物线,判断平移的方式时,要把二次函数解析式化为顶点式,根据顶点坐标的变化情 况写出平移方式.
变式1(2022江苏无锡)把二次函数y=x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度,再向右平移3个单位长 度,如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点,那么m应满足条件: m>3 .
解析 y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4,把二次函数y=x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度,再向右平移3个 单位长度,平移后所得抛物线的解析式为y=(x+2-3)2+m-4+1=(x-1)2+m-3.如果平移后所得抛物线与 坐标轴有且只有一个公共点,那么m-3>0,即m>3.
易错警示 若平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点,且a>0,则顶点纵坐标大于0;若平 移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点,则顶点纵坐标等于0.一定注意条件中坐标轴与x轴的 区别.
二、二次函数函数值大小的判断方法例2 (2021福建)二次函数y=ax2-2ax+c(a>0)的图象过A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3),D(4,y4)四个点,下列说 法一定正确的是 ( )A.若y1y2>0,则y3y4>0B.若y1y4>0,则y2y3>0C.若y2y4<0,则y1y3<0D.若y3y4<0,则y1y2<0答案 C解析 ∵y=ax2-2ax+c,∴图象的对称轴为直线x=- =1.∵a>0,∴抛物线开口向上.
∵点A(-3,y1)到直线x=1的距离为4,点B(-1,y2)到直线x=1的距离为2,点C(2,y3)到直线x=1的距离为1, 点D(4,y4)到直线x=1的距离为3,∴y30,则y1>0,y2>0或y1<0,y2<0.当y1>0,y2>0时,y4>0,但y3符号不确定,故A错误.B.若y1y4>0,则y1>0,y4>0或y1<0,y4<0.当y1>0,y4>0时,y2,y3符号不确定,故B错误.C.若y2y4<0,则y2<0,y4>0,∴y3<0,y1>0,∴y1y3<0,故C正确.D.若y3y4<0,则y3<0,y4>0,∴y1>0,但y2符号不确定,故D错误.故选C.
方法归纳 (1)利用二次函数的增减性比较函数值的大小时,首先要确定二次函数的图象的对称 轴,然后判断所给点是否在对称轴的同一侧,若在同一侧,可根据函数的性质比较函数值的大小;若 不在同一侧,可根据对称性转化到同一侧,然后比较函数值的大小.(2)对于二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象上的两点A(x1,y1),B(x2,y2),当a>0时,若|x1-h|<|x2-h|,则y1y2;对任何a≠0,若|x1-h|=|x2-h|,则y1=y2.
变式2(2022陕西)已知二次函数y=x2-2x-3的自变量x1,x2,x3对应的函数值分别为y1,y2,y3.当-13时,y1,y2,y3三者之间的大小关系是 ( B )A.y1
对称轴为直线x=-1,∴当x=-1时,y有最小值,∴a-b+c≤am2+bm+c(m为任意实数),∴a-b≤m(am+b)(m 为任意实数),故⑤错误; ∵|3-(-1)|>|-4-(-1)|>|-2-(-1)|,∴y2
变式3(2022湖北武汉)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)开口向下,过A(-1,0),B(m,0)两点,且10;②若m= ,则3a+2c<0;③若点M(x1,y1),N(x2,y2)在抛物线上,x11,则y1>y2;④当a≤-1时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根.其中正确的是 ①③④ (填写序号).
解析 ∵抛物线开口向下,∴a<0.∵抛物线过A(-1,0),B(m,0)两点,且10.又∵a<0,∴b>0,故①正确.∵点A(-1,0)在抛物线上,∴a-b+c=0.∵m= ,∴- = = = ,
∴b=- a,∴a- +c=0,整理得3a+2c=0,故②错误.y1-y2=a +bx1+c-(a +bx2+c)=a( - )+b(x1-x2)=(x1-x2)[a(x1+x2)+b].∵-1,m是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,∴-1+m=- ,∵10,∴y1>y2,故③正确.∵-1+m=- ,∴b=a(1-m).∵a-b+c=0,∴a-a(1-m)+c=0,整理得c=-am.∵a≤-1,∴-a≥1. 又∵11.
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=1有两个交点.∴当a≤-1时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根,故④正确.综上,正确的是①③④.
四、二次函数与方程、不等式的综合考查例4 已知抛物线C1:y=x2-2x如图1所示. 图1
图2(1)求抛物线C1的顶点A的坐标;(2)若方程x2-2x=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围;(3)如图2,抛物线y=x2-2x与直线y=-x+2相交于D,B两点,请结合图象,求出不等式-x+2≥x2-2x的解集.解析 (1)∵抛物线C1:y=x2-2x=(x-1)2-1,∴顶点A的坐标为(1,-1).(2)∵顶点A(1,-1),∴二次函数y=x2-2x的最小值为-1,
若方程x2-2x=k有两个不相等的实数根,则k必须大于y=x2-2x的最小值,∴k>-1.(3)令x2-2x=-x+2,解得x1=-1,x2=2,∴点D的横坐标为-1,点B的横坐标为2,由图象可得-1≤x≤2时,-x+2≥x2-2x.
方法归纳 对形如ax2+bx+c=mx+n(a≠0)的方程,方程有两个不同的实数根⇔y=ax2+bx+c与y=mx+n 的图象有两个交点;方程有两个相同的实数根⇔y=ax2+bx+c与y=mx+n的图象有一个交点;方程没有 实数根⇔y=ax2+bx+c与y=mx+n的图象没有交点.
变式4一题多问例4中,把抛物线C1沿y轴翻折,得到抛物线C2,抛物线C1与抛物线C2合称图象C3,如图.(1)求C2的函数解析式;(2)当直线y=x+b与图象C3有两个交点时,求b的取值范围.
解析 (1)∵C1的顶点坐标为(1,-1),∴由翻折的性质知C2的顶点坐标为(-1,-1),∴设C2的函数解析式为y=a(x+1)2-1,将(0,0)代入得0=a(0+1)2-1,解得a=1,∴C2的函数解析式为y=(x+1)2-1=x2+2x.(2)联立得 把①代入②,整理得x2-3x-b=0,令Δ=9+4b=0,解得b=- .令Δ=9+4b>0,解得b>- .
联立得 把③代入④,整理得x2+x-b=0,若直线y=x+b与C2相切,则Δ=1+4b=0,解得b=- .令Δ=1+4b<0,解得b<- .∴当直线y=x+b与图象C3有两个交点时,b的取值范围为-
1.(2023河北,16,2分)已知二次函数y=-x2+m2x和y=x2-m2(m是常数)的图象与x轴都有两个交点,且这四 个交点中每相邻两点间的距离都相等,则这两个函数图象对称轴之间的距离为 ( A )A.2 B.m2 C.4 D.2m
解析 由两个函数图象与x轴都有两个交点,知m≠0.如图,令y=-x2+m2x=0,解得x1=0,x2=m2,则点A的 坐标为(m2,0);令y=x2-m2=0,解得x3=-m,x4=m,则OB=OC=|m|.因为四个交点中每相邻两点间的距离都 相等,所以m2=2|m|,解得|m|=2或m=0(舍去).又因为函数y=-x2+m2x的图象的对称轴为直线x= ,函数y=x2-m2的图象的对称轴为y轴,所以两个函数图象对称轴之间的距离为 =2.故选A.
2.(2020河北,15,2分)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三 人的说法如下,甲:若b=5,则点P的个数为0;乙:若b=4,则点P的个数为1;丙:若b=3,则点P的个数为1.下列判断正确的是 ( C ) A.乙错,丙对 B.甲和乙都错C.乙对,丙错 D.甲错,丙对
解析 y=x(4-x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,抛物线的顶点坐标为(2,4).若b=5,则点P的个数为0,甲正确;若b=4, 则点P的个数为1(只能是顶点),乙正确;若b=3,根据二次函数图象的对称性,可知点P的个数为2,丙 错误,故选C.
考点2 二次函数图象的平移
1.(2022河北,23,10分)如图,点P(a,3)在抛物线C:y=4-(6-x)2上,且在C的对称轴右侧. (1)写出C的对称轴和y的最大值,并求a的值;(2)坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点P及C的一段,分别记为P',C'.平移该胶片,使C' 所在抛物线对应的函数恰为y=-x2+6x-9.求点P'移动的最短路程.
解析 (1)∵y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4.∴抛物线C的对称轴为直线x=6,y的最大值为4. (2分)把P(a,3)代入y=4-(6-x)2,得3=4-(6-a)2.解得a=5或a=7.又∵a>6,∴a=7. (4分)(2)y=-x2+6x-9=-(x-3)2.∴y=-x2+6x-9的顶点为N(3,0). (6分)如图,过抛物线C的顶点M(6,4)作MA⊥x轴于点A.连接MN,PP'. (8分)由平移的性质可知,PP'=MN.∴点P'移动的最短路程是PP'=MN= = =5. (10分)
2.(2014河北,24,11分)如图,2×2网格(每个小正方形的边长为1)中有A,B,C,D,E,F,G,H,O九个格点.抛 物线l的解析式为y=(-1)nx2+bx+c(n为整数).(1)n为奇数,且l经过点H(0,1)和C(2,1),求b,c的值,并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点;(2)n为偶数,且l经过点A(1,0)和B(2,0),通过计算说明点F(0,2)和H(0,1)是否在该抛物线上;(3)若l经过这九个格点中的三个, 写出所有满足这样条件的抛物线条数.
解析 (1)当n为奇数时,y=-x2+bx+c.∵点H(0,1)和C(2,1)在该抛物线上,∴ 解得 (4分)格点E是该抛物线的顶点. (5分)(2)当n为偶数时,y=x2+bx+c.∵点A(1,0)和B(2,0)在该抛物线上,∴ 解得 ∴y=x2-3x+2. (7分)当x=0时,y=2≠1.
∴点F(0,2)在该抛物线上,而点H(0,1)不在该抛物线上. (9分)(3)所有满足条件的抛物线共有8条. (11分)提示:当n为奇数时,由(1)中的抛物线平移可得3条抛物线,如图1;当n为偶数时,由(2)中的抛物线平 移可得3条抛物线,如图2.共8条. 图1 图2
考点3 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系1.(2018河北,16,2分)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.若c为整数,确定所有c的值.”甲的结果是 c=1,乙的结果是c=3或4,则( D )A.甲的结果正确B.乙的结果正确C.甲、乙的结果合在一起才正确D.甲、乙的结果合在一起也不正确
解析 抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)可以看作是抛物线y=-x(x-3)(0≤x≤3)沿y轴向上平移c个单位 长度得到的,一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点可以看作直线l:y=x+2 沿y轴向下平移c个单位长度得到的直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x-3)(0≤x≤3)有唯一公共点.如图,当 直线y=x+2-c(即l2)经过原点时,得0+2-c=0,解得c=2;当直线y=x+2-c(即l3)经过点A(3,0)时,得3+2-c=0, 解得c=5.根据图象可得当22.(2023湖北随州)如图,已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(6,0),对称轴为直线x=2,则
下列结论正确的有 ( B ) ①abc<0;②a-b+c>0;③方程cx2+bx+a=0的两个根为x1= ,x2=- ;④抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1<24,则y1
解析 ∵抛物线开口向下,∴a<0.
∵方程ax2+bx+c=0的两个根为-2,6,∴- =4, =-12,∴- = =- , =- ,若方程cx2+bx+a=0的两个根为x1= ,x2=- ,则- = - = , = × =- ,故③错误.若x1<24,则x2-2>2-x1,即点P(x1,y1)到对称轴的距离小于点Q(x2,y2)到对称轴的距离,又∵抛物线开口向下,∴y1>y2,故④错误.综上,结论正确的有2个,故选B.
考点4 二次函数与方程、不等式的关系1.(2022内蒙古呼和浩特)在平面直角坐标系中,点C和点D的坐标分别为(-1,-1)和(4,-1),抛物线y=mx2-2mx+2(m≠0)与线段CD只有一个公共点,则m的取值范围是 -1
解析 (1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(1,-2)和B(0,-5),∴ 解得 ∴该二次函数的表达式为y=x2+2x-5=(x+1)2-6,图象的顶点坐标为(-1,-6).(2)-3≤x≤1.提示:当y=-2时,(x+1)2-6=-2, ∴(x+1)2=4,解得x1=1,x2=-3. 如图,当y≤-2时,-3≤x≤1.
教材延伸(北师九下P41数学理解T2改编)已知二次函数的图象经过点P(2,2),顶点为O(0,0).将该图象向右平移,当它再次经过点P时,所得抛 物线的函数表达式为 y= (x-4)2 .
知识拓展 (1)抛物线上两点若关于直线x=- 对称,则这两点的纵坐标相同,横坐标与- 的差的绝对值相等.(2)若二次函数的图象与x轴有两个交点,则这两个交点关于直线x=- 对称.
2.二次函数的另外两种表达方式(1)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0,a,h,k为常数);(2)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0,a,x1,x2为常数),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.
1.将二次函数y=2x2-8x-1化成y=a(x-h)2+k的形式,结果为 ( C )A.y=2(x-2)2-1 B.y=2(x-4)2+32C.y=2(x-2)2-9 D.y=2(x-4)2-33
2.关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是 ( D )A.图象的对称轴在y轴的右侧B.图象与y轴的交点坐标为(0,8)C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)D.y的最小值为-9
3.二次函数y=(x+m)2+n的图象如图所示,则一次函数y=mx+n的图象经过 ( D ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
4.已知抛物线y=x2-4x+c经过点A(-1,y1)和B(1,y2),比较y1与y2的大小:y1 > y2.(填“>”“<”或 “=”)
5.(2022吉林长春)已知二次函数y=-x2-2x+3,当a≤x≤ 时,函数值y的最小值为1,则a的值为 -1- .
6.已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,则该抛物线的顶点坐标是 (1,4) .
考点2 二次函数图象的平移保持抛物线y=ax2的形状不变,将其顶点平移到(h,k)处,具体平移方法如下:
注意事项 二次函数图象的平移主要看顶点坐标的变化,因此在抛物线的平移过程中,先将二次函数表达式转化为顶点式,然后按照“横坐标左加右减”“纵坐标上加下减”的方法将抛物线进行平移.
7.若要得到函数y=(x+1)2+2的图象,只需将函数y=x2的图象 ( B )A.先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度B.先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度C.先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度D.先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
8.(1)将抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得抛物线的解析式为 y=-2x2+4x-4 .(2)将抛物线y=x2+bx+c先向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得抛物线的解析式为y =(x-1)2-4,则b= 2 ,c= 0 .
考点3 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系
9.已知二次函数y=ax2+bx-c(a≠0),其中b>0,c>0,则该函数的图象可能为 ( C )
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①b2-4ac>0;②abc<0;③4a+b=0;④4a-2b+c>0.其中正确结论的个数是 ( B ) A.4 B.3 C.2 D.1
考点4 二次函数与方程、不等式的关系
1.二次函数与方程的关系二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 实数根.(1)当b2-4ac>0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,方程ax2+bx+c=0有两个⑦ 不相等 的实数根.(2)当b2-4ac=0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点,方程ax2+bx+c=0有⑧ 两个相等 的实数根.(3)当b2-4ac<0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点,方程ax2+bx+c=0⑨ 没有 实数根.(4)直线y=k与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=k(a≠0)的实数根.
2.二次函数与不等式的关系(1)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象位于x轴上方的点的横坐标的取值范围⇔ax2+bx+c>0的解集;(2)函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象位于x轴下方的点的横坐标的取值范围⇔ax2+bx+c<0的解集.
11.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,根据图象解答下列问题:(1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根;(2)写出不等式ax2+bx+c>0的解集;(3)写出y随x的增大而减小时自变量x的取值范围;(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围.
解析 (1)x1=1,x2=3.(2)1
一、利用抛物线的平移规律解题的方法例1 (2021山西)抛物线的函数表达式为y=3(x-2)2+1,若将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平 移3个单位长度,则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为 ( )A.y=3(x+1)2+3 B.y=3(x-5)2+3C.y=3(x-5)2-1 D.y=3(x+1)2-1答案 C解题思路
解析 将x轴向上平移2个单位长度,将y轴向左平移3个单位长度相当于将抛物线向下平移2个单位长 度,向右平移3个单位长度,则平移后的抛物线的函数表达式为y=3(x-2-3)2+1-2,即y=3(x-5)2-1,故选C.
方法归纳 二次函数图象的平移规律:将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向上平移k(k>0)个单位所得的函 数图象的关系式为y=ax2+bx+c+k,向下平移k(k>0)个单位所得的函数图象的关系式为y=ax2+bx+c-k; 向左、右平移应该先将二次函数解析式化为顶点式,即y=a(x-h)2+m的形式,向左平移k(k>0)个单位 所得的函数图象的关系式为y=a(x-h+k)2+m,向右平移k(k>0)个单位所得的函数图象的关系式为y=a (x-h-k)2+m.以上规律可简记为“上加下减,左加右减”.(1)在判断平移后的图象对应的函数解析式时,可以用平移规律“上加下减,左加右减”直接写出; (2)给出两条抛物线,判断平移的方式时,要把二次函数解析式化为顶点式,根据顶点坐标的变化情 况写出平移方式.
变式1(2022江苏无锡)把二次函数y=x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度,再向右平移3个单位长 度,如果平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点,那么m应满足条件: m>3 .
解析 y=x2+4x+m=(x+2)2+m-4,把二次函数y=x2+4x+m的图象向上平移1个单位长度,再向右平移3个 单位长度,平移后所得抛物线的解析式为y=(x+2-3)2+m-4+1=(x-1)2+m-3.如果平移后所得抛物线与 坐标轴有且只有一个公共点,那么m-3>0,即m>3.
易错警示 若平移后所得抛物线与坐标轴有且只有一个公共点,且a>0,则顶点纵坐标大于0;若平 移后所得抛物线与x轴有且只有一个公共点,则顶点纵坐标等于0.一定注意条件中坐标轴与x轴的 区别.
二、二次函数函数值大小的判断方法例2 (2021福建)二次函数y=ax2-2ax+c(a>0)的图象过A(-3,y1),B(-1,y2),C(2,y3),D(4,y4)四个点,下列说 法一定正确的是 ( )A.若y1y2>0,则y3y4>0B.若y1y4>0,则y2y3>0C.若y2y4<0,则y1y3<0D.若y3y4<0,则y1y2<0答案 C解析 ∵y=ax2-2ax+c,∴图象的对称轴为直线x=- =1.∵a>0,∴抛物线开口向上.
∵点A(-3,y1)到直线x=1的距离为4,点B(-1,y2)到直线x=1的距离为2,点C(2,y3)到直线x=1的距离为1, 点D(4,y4)到直线x=1的距离为3,∴y3
方法归纳 (1)利用二次函数的增减性比较函数值的大小时,首先要确定二次函数的图象的对称 轴,然后判断所给点是否在对称轴的同一侧,若在同一侧,可根据函数的性质比较函数值的大小;若 不在同一侧,可根据对称性转化到同一侧,然后比较函数值的大小.(2)对于二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象上的两点A(x1,y1),B(x2,y2),当a>0时,若|x1-h|<|x2-h|,则y1
变式2(2022陕西)已知二次函数y=x2-2x-3的自变量x1,x2,x3对应的函数值分别为y1,y2,y3.当-1
对称轴为直线x=-1,∴当x=-1时,y有最小值,∴a-b+c≤am2+bm+c(m为任意实数),∴a-b≤m(am+b)(m 为任意实数),故⑤错误; ∵|3-(-1)|>|-4-(-1)|>|-2-(-1)|,∴y2
变式3(2022湖北武汉)已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数)开口向下,过A(-1,0),B(m,0)两点,且1
解析 ∵抛物线开口向下,∴a<0.∵抛物线过A(-1,0),B(m,0)两点,且1
∴b=- a,∴a- +c=0,整理得3a+2c=0,故②错误.y1-y2=a +bx1+c-(a +bx2+c)=a( - )+b(x1-x2)=(x1-x2)[a(x1+x2)+b].∵-1,m是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根,∴-1+m=- ,∵1
∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=1有两个交点.∴当a≤-1时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=1必有两个不相等的实数根,故④正确.综上,正确的是①③④.
四、二次函数与方程、不等式的综合考查例4 已知抛物线C1:y=x2-2x如图1所示. 图1
图2(1)求抛物线C1的顶点A的坐标;(2)若方程x2-2x=k有两个不相等的实数根,求k的取值范围;(3)如图2,抛物线y=x2-2x与直线y=-x+2相交于D,B两点,请结合图象,求出不等式-x+2≥x2-2x的解集.解析 (1)∵抛物线C1:y=x2-2x=(x-1)2-1,∴顶点A的坐标为(1,-1).(2)∵顶点A(1,-1),∴二次函数y=x2-2x的最小值为-1,
若方程x2-2x=k有两个不相等的实数根,则k必须大于y=x2-2x的最小值,∴k>-1.(3)令x2-2x=-x+2,解得x1=-1,x2=2,∴点D的横坐标为-1,点B的横坐标为2,由图象可得-1≤x≤2时,-x+2≥x2-2x.
方法归纳 对形如ax2+bx+c=mx+n(a≠0)的方程,方程有两个不同的实数根⇔y=ax2+bx+c与y=mx+n 的图象有两个交点;方程有两个相同的实数根⇔y=ax2+bx+c与y=mx+n的图象有一个交点;方程没有 实数根⇔y=ax2+bx+c与y=mx+n的图象没有交点.
变式4一题多问例4中,把抛物线C1沿y轴翻折,得到抛物线C2,抛物线C1与抛物线C2合称图象C3,如图.(1)求C2的函数解析式;(2)当直线y=x+b与图象C3有两个交点时,求b的取值范围.
解析 (1)∵C1的顶点坐标为(1,-1),∴由翻折的性质知C2的顶点坐标为(-1,-1),∴设C2的函数解析式为y=a(x+1)2-1,将(0,0)代入得0=a(0+1)2-1,解得a=1,∴C2的函数解析式为y=(x+1)2-1=x2+2x.(2)联立得 把①代入②,整理得x2-3x-b=0,令Δ=9+4b=0,解得b=- .令Δ=9+4b>0,解得b>- .
联立得 把③代入④,整理得x2+x-b=0,若直线y=x+b与C2相切,则Δ=1+4b=0,解得b=- .令Δ=1+4b<0,解得b<- .∴当直线y=x+b与图象C3有两个交点时,b的取值范围为-
1.(2023河北,16,2分)已知二次函数y=-x2+m2x和y=x2-m2(m是常数)的图象与x轴都有两个交点,且这四 个交点中每相邻两点间的距离都相等,则这两个函数图象对称轴之间的距离为 ( A )A.2 B.m2 C.4 D.2m
解析 由两个函数图象与x轴都有两个交点,知m≠0.如图,令y=-x2+m2x=0,解得x1=0,x2=m2,则点A的 坐标为(m2,0);令y=x2-m2=0,解得x3=-m,x4=m,则OB=OC=|m|.因为四个交点中每相邻两点间的距离都 相等,所以m2=2|m|,解得|m|=2或m=0(舍去).又因为函数y=-x2+m2x的图象的对称轴为直线x= ,函数y=x2-m2的图象的对称轴为y轴,所以两个函数图象对称轴之间的距离为 =2.故选A.
2.(2020河北,15,2分)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值,所找点P的个数,三 人的说法如下,甲:若b=5,则点P的个数为0;乙:若b=4,则点P的个数为1;丙:若b=3,则点P的个数为1.下列判断正确的是 ( C ) A.乙错,丙对 B.甲和乙都错C.乙对,丙错 D.甲错,丙对
解析 y=x(4-x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,抛物线的顶点坐标为(2,4).若b=5,则点P的个数为0,甲正确;若b=4, 则点P的个数为1(只能是顶点),乙正确;若b=3,根据二次函数图象的对称性,可知点P的个数为2,丙 错误,故选C.
考点2 二次函数图象的平移
1.(2022河北,23,10分)如图,点P(a,3)在抛物线C:y=4-(6-x)2上,且在C的对称轴右侧. (1)写出C的对称轴和y的最大值,并求a的值;(2)坐标平面上放置一透明胶片,并在胶片上描画出点P及C的一段,分别记为P',C'.平移该胶片,使C' 所在抛物线对应的函数恰为y=-x2+6x-9.求点P'移动的最短路程.
解析 (1)∵y=4-(6-x)2=-(x-6)2+4.∴抛物线C的对称轴为直线x=6,y的最大值为4. (2分)把P(a,3)代入y=4-(6-x)2,得3=4-(6-a)2.解得a=5或a=7.又∵a>6,∴a=7. (4分)(2)y=-x2+6x-9=-(x-3)2.∴y=-x2+6x-9的顶点为N(3,0). (6分)如图,过抛物线C的顶点M(6,4)作MA⊥x轴于点A.连接MN,PP'. (8分)由平移的性质可知,PP'=MN.∴点P'移动的最短路程是PP'=MN= = =5. (10分)
2.(2014河北,24,11分)如图,2×2网格(每个小正方形的边长为1)中有A,B,C,D,E,F,G,H,O九个格点.抛 物线l的解析式为y=(-1)nx2+bx+c(n为整数).(1)n为奇数,且l经过点H(0,1)和C(2,1),求b,c的值,并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点;(2)n为偶数,且l经过点A(1,0)和B(2,0),通过计算说明点F(0,2)和H(0,1)是否在该抛物线上;(3)若l经过这九个格点中的三个, 写出所有满足这样条件的抛物线条数.
解析 (1)当n为奇数时,y=-x2+bx+c.∵点H(0,1)和C(2,1)在该抛物线上,∴ 解得 (4分)格点E是该抛物线的顶点. (5分)(2)当n为偶数时,y=x2+bx+c.∵点A(1,0)和B(2,0)在该抛物线上,∴ 解得 ∴y=x2-3x+2. (7分)当x=0时,y=2≠1.
∴点F(0,2)在该抛物线上,而点H(0,1)不在该抛物线上. (9分)(3)所有满足条件的抛物线共有8条. (11分)提示:当n为奇数时,由(1)中的抛物线平移可得3条抛物线,如图1;当n为偶数时,由(2)中的抛物线平 移可得3条抛物线,如图2.共8条. 图1 图2
考点3 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系1.(2018河北,16,2分)对于题目“一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点.若c为整数,确定所有c的值.”甲的结果是 c=1,乙的结果是c=3或4,则( D )A.甲的结果正确B.乙的结果正确C.甲、乙的结果合在一起才正确D.甲、乙的结果合在一起也不正确
解析 抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)可以看作是抛物线y=-x(x-3)(0≤x≤3)沿y轴向上平移c个单位 长度得到的,一段抛物线L:y=-x(x-3)+c(0≤x≤3)与直线l:y=x+2有唯一公共点可以看作直线l:y=x+2 沿y轴向下平移c个单位长度得到的直线y=x+2-c与抛物线y=-x(x-3)(0≤x≤3)有唯一公共点.如图,当 直线y=x+2-c(即l2)经过原点时,得0+2-c=0,解得c=2;当直线y=x+2-c(即l3)经过点A(3,0)时,得3+2-c=0, 解得c=5.根据图象可得当2
解析 ∵抛物线开口向下,∴a<0.
∵方程ax2+bx+c=0的两个根为-2,6,∴- =4, =-12,∴- = =- , =- ,若方程cx2+bx+a=0的两个根为x1= ,x2=- ,则- = - = , = × =- ,故③错误.若x1<2
考点4 二次函数与方程、不等式的关系1.(2022内蒙古呼和浩特)在平面直角坐标系中,点C和点D的坐标分别为(-1,-1)和(4,-1),抛物线y=mx2-2mx+2(m≠0)与线段CD只有一个公共点,则m的取值范围是 -1
解析 (1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(1,-2)和B(0,-5),∴ 解得 ∴该二次函数的表达式为y=x2+2x-5=(x+1)2-6,图象的顶点坐标为(-1,-6).(2)-3≤x≤1.提示:当y=-2时,(x+1)2-6=-2, ∴(x+1)2=4,解得x1=1,x2=-3. 如图,当y≤-2时,-3≤x≤1.
教材延伸(北师九下P41数学理解T2改编)已知二次函数的图象经过点P(2,2),顶点为O(0,0).将该图象向右平移,当它再次经过点P时,所得抛 物线的函数表达式为 y= (x-4)2 .
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