6.3　图形的相似 习题精练+知识讲解 2024年河北版中考数学一轮复习课件

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解析　如图,设AD交BE于K. ∵AD∥BC,∴△EKD∽△EBC,∴ = ,∴ = ,故选A.
2.(2023河北邢台一模)如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠BAC,添加下列条件后,不能判定△ADC 和△BAC相似的是 (    C    ) A.CA平分∠BCD　    B.∠DAC=∠ABCC. = 　    D. = 
3.(2023河北邢台一模)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△FED关于原点O位似,且OB=2OE,若S △ABC=4,则S△FED为 (    A    ) A.1　    B.2　    C. 　    D. 
4.新情境·伸缩折叠晾衣架(2023河北保定一模)图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图,图2是它的 侧面示意图,AD与CB相交于点O,AB∥CD,根据图2中的数据可得x的值为 (    B    )  图1 图2  
A.0.8　    　    C.1　    
解析    ∵AB∥CD,∴△COD∽△BOA,由相似三角形对应高的比等于相似比,得 = ,∴ = ,∴x=0.96.故选B.
5.(2023河北唐山一模)如图,在等边△ABC中,直尺的一边与BC重合,另一边分别交AB,AC于点D,E. 点B,C,D,E处的读数分别为18,14,1,3,则:(1)等边△ABC的边长为    4    cm;(2)直尺的宽为         cm. 
解析    (1)由题意得BC=18-14=4(cm),∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC=4 cm,∴等边△ABC的边长为4 cm.(2)过点A作AG⊥BC,垂足为G,交DE于点F,如图, 
∵△ABC是等边三角形,AG⊥BC,∴BG= BC=2 cm,∵AB=4 cm,∴AG= =2  cm,由题意得DE=3-1=2(cm),DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ = ,∴ = ,∴AF=  cm,∴FG=AG-AF=  cm,∴直尺的宽为  cm.
6.(2023河北衡水模拟)将边长为2的正六边形按照如图所示的方式向外扩张,得到新的六边形,它们 的对应边的距离均为 .(1)新的六边形与原六边形　相似    ;(填“相似”或“不相似”)(2)扩张后六边形的周长比原来增加了    12    . 
解析    (1)∵新的六边形与原六边形的对应角相等,对应边成比例,∴新的六边形与原六边形相似.(2)如图,A1B1是AB的对应边,点O为正六边形的中心,则点A在OA1上,点B在OB1上,过O点作OH1⊥A1B 1交AB于点H,则HH1= ,∵AB=2,∠AOB=60°,∴∠AOH=30°,AH=BH=1,∴OH= AH= ,∴OH=HH1,∵AB∥A1B1,∴ = = ,∴A1B1=2AB=4,
∴A1B1-AB=2,即扩张后六边形的边长比原来的边长增加了2,∴扩张后六边形的周长比原来增加了12. 
7.(2023河北石家庄模拟)如图,某校宣传栏BC后面12米处种有一排与宣传栏平行的树,即BC∥ED, 且相邻两棵树的间隔为2米,一人站在宣传栏前面的A处正好看到两端的树干,其余的树均被宣传 栏挡住.已知AF⊥BC,AF=3米,BC=10米,求该宣传栏后DE处共有多少棵树.(不计宣传栏的厚度) 
解析　延长AF交DE于点G,如图,∵AF⊥BC,BC∥ED,∴AG⊥DE,△ABC∽△ADE,∴ = ,又BC=10米,AF=3米,FG=12米,∴AG=AF+FG=15米,即 = ,∴DE=50米,50÷2+1=26(棵).答:DE处共有26棵树.
8.(2023河北秦皇岛一模)如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°, △DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E在线段BC上方旋转,在旋转过程中, 线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.  图1 图2
(1)如图1,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;(2)如图2,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ.
解析    (1)证明:∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠B=∠C=45°,AB=AC.∵AP=AQ,∴BP=CQ.∵E是BC的中点,∴BE=CE.在△BPE和△CQE中, ∴△BPE≌△CQE(SAS).(2)∵∠BEF=∠C+∠CQE=∠BEP+∠DEF,且∠C=∠DEF=45°,∴∠BEP=∠CQE,又∵∠B=∠C, ∴△BPE∽△CEQ.
1.(2023河北石家庄模拟)如图,若△ABC与△A1B1C1是位似图形,则位似中心的坐标为     (    D    ) A.(1,0)　    B.(0,1)C.(-1,0)　    D.(0,-1)
解析　如图所示,位似中心的坐标为(0,-1).故选D. 
2.(2023河北邢台一模)已知部分题干:“如图,在矩形ABCD中,AB=9,BC=15,P,Q分别是BC,CD上的 点.”张老师要求添加条件后,编写一道题目,并解决.甲、乙两人的做法如下.甲:若CQ=4,则在BC上存在2个点P,使△ABP与△PCQ相似;乙:若AP⊥PQ,则CQ的最大值为 .下列判断正确的是 (    B    ) A.甲对乙错　    B.甲错乙对C.甲、乙都对　    D.甲、乙都错
解析　甲:∵△ABP与△PCQ相似,∠B=∠C=90°,∴分两种情况求解:①当△ABP∽△PCQ时,设BP=x,则PC=15-x,∴ = ,即 = ,解得x=3或x=12.②当△ABP∽△QCP时,设BP=x,则PC=15-x,∴ = ,即 = ,解得x= .综上所述,当CQ=4时,在BC上存在3个点P,使△ABP与△PCQ相似,故甲错误.
乙:∵AP⊥PQ,∴∠APQ=90°,∴∠APB+∠CPQ=90°,又∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠BAP=∠CPQ,∴△ABP∽△PCQ,∴ = ,设BP=x,则PC=15-x,即 = ,∴CQ= x(15-x)=-  + .∵- <0,
∴当x= 时,CQ的值最大,且CQ的最大值为 ,故乙正确.故选B.
3.(2023河北邯郸摸底)对于题目:“在长为6宽为2的矩形内,分别剪下两个小矩形,使得剪下的两个 小矩形均与原矩形相似,请设计一个方案使剪下的两个小矩形的周长和最大,并求出这个最大 值.”两名同学分别设计了自认为满足条件的方案,并求出了周长和的最大值.甲方案:如图1所示, 最大值为16;乙方案:如图2所示,最大值为16.下列选项中说法正确的是 (    D    ) A.甲方案正确,周长和的最大值错误B.乙方案错误,周长和的最大值正确C.甲、乙方案均正确,周长和的最大值正确D.甲、乙方案均错误,周长和的最大值错误
解析　由题意知,如图, 一个小矩形的长为2,则宽为 ,在这个小矩形的旁边剪下另一个小矩形,则该小矩形的长最大为6- = ,则宽为 ,则这两个小矩形的周长和为2× +2× =16+ >16,所以甲、乙方案均错误,周长和的最大值错误.故选D.
4.传统文化(2022陕西中考)在20世纪70年代,我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种 “优选法”,在全国大规模推广,取得了很大成果.如图,利用黄金分割法所作的EF将矩形ABCD分 为上下两部分,其中E为边AB的黄金分割点,即BE2=AE·AB.已知AB为2米,则线段BE的长为    ( -1)  米. 
解析    设BE为x米,则AE=AB-BE=(2-x)米,所以x2=2(2-x),解得x= -1或x=- -1(舍去).故线段BE的长为( -1)米.
5.(2023河北邢台一模)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.过点O作BD的垂线,交 BA的延长线于点E,交AD于点F,交BC于点N.若EF=OF,∠CBD=30°,BD=6 ,则:(1) =         ;(2)AF的长为    2    . 
解析    (1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,AD∥BC,∴∠FAO=∠NCO.在△AFO和△CNO中, ∴△AFO≌△CNO(ASA),∴FO=NO,∵EF=OF,∴EF=OF=ON,∴ = .
(2)∵AF∥BC,∴△EAF∽△EBN,∴ = = .∵四边形ABCD是平行四边形,∴BO=OD= BD=3 ,NO⊥BO.∵∠CBD=30°,∴cs∠CBD= = = ,∴BN=6,∴ = ,∴AF=2.
6.(2023河北唐山模拟)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,M是斜边AB的中点,MD∥BC,且MD=CM,DE ⊥AB于点E,连接AD,BD.(1)求证:△MED∽△BCA;(2)当S△BDM= S△ABC时,求S△BED∶S△MED的值;(3)在(2)的条件下,求cs∠ABC的值. 
解析    (1)证明:∵MD∥BC,∴∠DME=∠ABC,∵∠MED=∠BCA=90°,∴△MED∽△BCA.(2)∵∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,∴MB=MC=AM= AB,∵MC=MD,∴MD= AB,∵△MED∽△BCA,∴ = = ,
又∵S△BDM= S△ABC,∴ = ,∴S△BED∶S△MED=1∶3.(3)∵ = ,∴ = ,∵MD=MB,∴ = ,∴cs∠DME= = ,又∵∠DME=∠ABC,∴cs∠ABC= .
7.(2022河北唐山二模)如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,把AB绕点B顺时针旋转α(0°<α<180°)得到 A'B,连接AA',过点B作BE⊥AA'于点E,延长BE交矩形ABCD的边于点F,连接DA'.(1)直接写出DA'的最小值;(2)若点A所经过的路径长为2π,求点A'到直线AD的距离;(3)若CF=4,连接CE,求tan∠ECB的值;(4)当△AA'D是以AA'为腰的等腰三角形时,直接写出点A'到直线AD的距离.  
解析    (1)4.提示:如图1,连接BD,  图1∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,∵AB=6,AD=8,
∴BD= =10,由旋转得A'B=AB=6,当点A'落在BD上时,DA'的值最小,最小值为10-6=4.(2)由题意得, π×6=2π,∴α=60°,∵AB=A'B,∴△ABA'是等边三角形,∴∠BAA'=60°,AB=A'B=AA'=6,∴∠DAA'=30°,如图2,过点A'作A'Q⊥AD于点Q,∴A'Q=3,∴点A'到直线AD的距离为3.
  图2(3)∵BC=8,CF=4,∴BF= =4 ,∵∠BAE+∠ABE=90°,∠FBC+∠ABE=90°,∴∠BAE=∠FBC,∵∠AEB=∠BCF=90°,
∴△ABE∽△BFC,∴ = ,即 = ,∴BE= ,如图3,过点E作EH⊥BC于点H, 图3
∴EH∥CD,∴ = = = ,∴EH= ,BH= ,∴CH= ,∴tan∠ECB= = = .(4)6-2 或6+2 或 .
提示:①若AA'=A'D,如图4,作AD的垂直平分线A1'A',交AD,BC于点M,N,根据题意得点A'在以点B为 圆心,6为半径的圆上,  图4则符合题意的点A'为AD的垂直平分线与☉B的交点,
∴△AA'D和△AA1'D是等腰三角形,∵A'A1'所在直线是AD的垂直平分线,∴BN= BC=4,∵AB=A'B=6,∴A'N= =2 ,∴A'M=6-2 .∵BN⊥A'A1',∴A1'N=A'N=2 ,∴A1'M=MN+A1'N=6+2 ,∴当AA'=A'D时,点A'到直线AD的距离是6-2 或6+2 .
②若AA'=AD,如图5,过点A'作A'G⊥AD于点G,  图5由题意可知AB=A'B=6,AD=AA'=8,∵BE⊥AA',∴AE= AA'=4,∵A'G⊥AD,BA⊥AD,
∴AB∥A'G,∴∠BAE=∠AA'G,又∵∠AEB=∠A'GA=90°,∴△BAE∽△AA'G,∴ = ,∴ = ,∴A'G= .综上所述,当△AA'D是以AA'为腰的等腰三角形时,点A'到直线AD的距离是6-2 或6+2 或 .
解题关键　当△AA'D是以AA'为腰的等腰三角形时,要注意分AA'=A'D,AA'=AD两种情况讨论,根据 题意画出图形是解决此类问题的关键.
8.(2022湖南长沙中考)如图,四边形ABCD内接于☉O,对角线AC,BD相交于点E,点F在边AD上,连接 EF.(1)求证:△ABE∽△DCE;(2)当 = ,∠DFE=2∠CDB时, - =　　　    ; + =　　　    ; + - =　　　    ;(3)①记四边形ABCD,△ABE,△CDE的面积依次为S,S1,S2,若满足 = + ,试判断△ABE,△CDE的形状,并说明理由;②当 = ,AB=m,AD=n,CD=p时,试用含m,n,p的式子表示AE·CE.
解析    (1)证明:∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠EBA=∠ECD,又∵∠AEB=∠DEC,∴△ABE∽△DCE.(2)0;1;0.提示:∵△ABE∽△DCE,∴ = ,∴ = ,∴ - =0.如图所示,设∠CDB=α, 
∵  = ,∠DFE=2∠CDB,∴∠DAC=∠BAC=∠CDB=α,∴∠DAB=2∠CDB=∠DFE=2α.∴EF∥AB,∴△DFE∽△DAB,∠FEA=∠BAC=∠DAC=α,∴FA=FE, = .∴ + = + = + = =1.∴AF =1,∴ + = ,∴ + - =0.(3)①△ABE,△CDE都是等腰三角形.
理由:记△ADE,△BCE的面积分别为S3,S4,∵ = = ,∴S2S1=S3S4.由 = + 两边平方得S=S1+S2+2 ,∴S=S1+S2+S3+S4=S1+S2+2 ,∴S3+S4=2 =2 ,配方得( - )2=0,∴ = ,∴S3=S4,又∵∠DAE=∠CBE,∠ADE=∠BCE,∴△ADE∽△BCE.∴ = = =1,∴AE=BE,DE=CE,
∴△ABE,△CDE都是等腰三角形.②∵ = ,∴∠CAD=∠CAB,∴∠EAB=∠DAC,又∠EBA=∠DCA,∴△ABE∽△ACD.∴ = ,又∵AB=m,AD=n,CD=p,∴AC·AE=AB·AD=mn.?又∵∠DAC=∠EDC,∠ACD=∠DCE,∴△ADC∽△DEC.∴ = ,∴AC·CE=DC2=p2.??+?可得AC2=mn+p2.
微专题　常见的相似模型
1.(2023河北石家庄二模,★☆☆)如图,平行于地面的圆桌正上方有一个灯泡(看成一个点),它发出 的光线照射桌面后,在地面上形成圆形阴影,经测量地面上阴影部分的边缘超出桌面0.5米,桌面的 直径为2米,桌面到地面的高度为1.5米,则灯泡到桌面的高度为 (    D    ) A.1米　    米　    C.2米　    D.3米
解析　构造几何模型如图,依题意知DE=2米,BC=2+0.5×2=3(米),FG=1.5米,△DAE∽△BAC, 故 = ,即 = ,∴AF=3米,故选D.
2.(2023河北衡水三模,★☆☆)如图,已知CA是∠BCD的平分线,AC和BD交于点E,AB=BC.求证:△ABE∽△CDE.证法Ⅰ:∵CA平分∠BCD,∴∠1=∠2,∵AB=BC,∴∠1=∠3,∴∠3=∠2,又∵∠AEB=∠CED,∴△ABE∽△CDE.证法Ⅱ:∵CA平分∠BCD,∴∠1=∠2=45°,∵AB∥BC,AB=BC,
∴∠2=∠3=45°,又∵∠AEB=∠CED,∴△ABE∽△CDE.对于证法Ⅰ、证法Ⅱ,说法正确的是 (    B    ) A.Ⅰ、Ⅱ都正确B.Ⅰ正确、Ⅱ不正确
C.Ⅰ不正确、Ⅱ正确D.Ⅰ、Ⅱ都不正确
解析　证法Ⅰ:∵CA平分∠BCD,∴∠1=∠2,∵AB=BC,∴∠1=∠3,∴∠3=∠2,又∵∠AEB=∠CED,∴△ABE∽△CDE.故证法Ⅰ正确.证法Ⅱ:∵CA平分∠BCD,∴∠1=∠2,但∠BCD的度数未知,故∠1=∠2=45°这一步错误,AB∥BC也是错误的,故证法Ⅱ不正 确,故选B.
3.(2022河北石家庄模拟,★☆☆)如图,已知点A(0,4)、B(4,1),BC⊥x轴于点C,P为线段OC上一点,且 PA⊥PB,则点P的坐标为 (    D    ) A.(1,0)　    B.(1.5,0)C.(1.8,0)　    D.(2,0)
解析　如图所示: ∵PA⊥PB,∴∠2+∠3=90°.∵AO⊥x轴,∴∠POA=90°,∠1+∠3=90°,∴∠2=∠1.∵BC⊥x轴,∴∠BCP=∠POA=90°,∴△BCP∽△POA,∴ = .
∵点A(0,4)、B(4,1),∴AO=4,BC=1,OC=4,∴ = ,∴PO=2.∴P(2,0).故选D.
4.(2023河北秦皇岛一模,★☆☆)如图,在△ABC中,D、E为边AB的三等分点,EF∥DG∥AC,H为AF 与DG的交点.若AC=6,则DH= (    B    ) A.2　    B.1　    C.0.5　    D.1.5
解析　∵D、E为边AB的三等分点,EF∥DG∥AC,∴BE=DE=AD,AH=HF,∴AB=3BE,DH是△AEF的中位线,∴DH= EF,∵EF∥AC,∴△BEF∽△BAC,∴ = ,即 = ,解得EF=2,∴DH= EF= ×2=1.故选B.
5.(2023河北石家庄一模,★☆☆)在△ABC中,AB=4,BC=6,AC=5,点D,E分别在边BC,AC上,且BD=4. 若以C,D,E为顶点的三角形与△ABC相似,则AE的长度为 (    C    )A. 　    B. C. 或 　    D. 或 
解析　当△CDE∽△CBA时, = ,∵BC=6,BD=4,∴CD=BC-BD=2,∴ = ,∴CE= ,∴AE=AC-CE= ;当△CDE∽△CAB时, = ,∴ = ,∴CE= ,∴AE=AC-CE= .
综上,AE的长度为 或 .故选C.
6.跨学科·物理(2023河北邯郸模拟,★☆☆)凸透镜成像的原理的示意图如图所示,AD∥l∥BC.若物 体到焦点F1的距离与焦点F1到凸透镜中心线DB的距离之比为5∶4,则物体被缩小到原来的(    A    ) A. 　    B. 　    
解析　∵BC∥l,CG⊥l,BO⊥l,∴四边形OBCG为矩形,∴OB=CG,∵AH⊥HO,BO⊥HO,∴△AHF1∽△BOF1,∴ = = ,∴ = ,∴物体被缩小到原来的 .故选A.
7.(2023河北石家庄晋州模拟,★★☆)如图所示,点E是▱ABCD的边AD的中点,连接CE,点F是CE的 中点,BF的延长线分别交CD和AD的延长线于点T,G.若△DGT的面积为1,则四边形ABFE的面积为  (    C    ) A.4　    B.5　    C.6　    D.7
解析　∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC,∴∠GEF=∠BCF,∠EGF=∠CBF,∵点F是CE的中点,∴EF=CF,∴△GEF≌△BCF(AAS),∴EG=CB,∴EG=AD,∴AE+DE=DE+DG,∵点E是AD的中点,∴AE=DE,∴AE=DE=DG= AD= BC,
∴ = ,∵AB∥CD,∴△DGT∽△AGB,∴ = = ,∵△DGT的面积为1,∴S△AGB=9,∴S四边形ABTD=S△AGB-S△DGT=8,∵AD∥BC,∴△DGT∽△CBT,∴ = = ,∴S△CBT=4,∴S▱ABCD=S四边形ABTD+S△CBT=12,设▱ABCD中AD边上的高为h,
则S▱ABCD=AD·h=12,∴S△EFG= EG· = AD·h= ×12=3,∴S四边形EFTD=S△EFG-S△DGT=3-1=2,∴S四边形ABFE=S四边形ABTD-S四边形EFTD=8-2=6.故选C.
8.(2023河北保定模拟,★☆☆)如图,AF与BE相交于点G,点C,D分别在AG,BG上,AB∥CD∥EF.(1)若 = ,则 =         ;(2)若 = ,则 =         . 
解析    (1)∵AB∥EF,∴ = = ,∴ = .(2)∵AB∥CD,∴△CDG∽△ABG,∴ = = ,∴ = .
9.(2023河北石家庄质检,★★☆)如图,等边△ABC的边长为16,动点P从点B出发沿BC运动到点C,连 接AP,作∠APD=60°,PD交AC于点D.(1)若PC=12,则CD的长为    3    ;(2)动点P从点B运动到点C的过程中,点D的运动路径长为    8    . 
解析    (1)∵△ABC是等边三角形,且边长为16,∴∠C=∠B=60°,AB=BC=16,∵∠APC=∠APD+∠DPC=∠B+∠PAB,∠APD=60°,∴∠DPC=∠PAB,∴△PCD∽△ABP,∴ = ,∵PC=12,∴PB=BC-PC=16-12=4,∴ = ,∴CD=3.(2)设PB=x,CD=y,∵△PCD∽△ABP,∴ = ,∵PC=BC-PB=16-x,∴ = ,∴y= (16-x)x=- (x-8)2+4,∴当x=8时,y最大,最大值为4,
∴点P从点B运动到BC中点的过程中,CD的长从0变为4,即运动路径长为4,易知点P从BC中点运动到点C的过程中,运动路径长也为4,∴点D的运动路径长为4+4=8.
10.(2023河北石家庄模拟,★☆☆)如图,在平行四边形ABCD中,AB=8.在BC的延长线上取一点E,使 CE= BC,连接AE,AE与CD交于点F.(1)求证:△ADF∽△ECF;(2)求DF的长. 
解析    (1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD∥BC,即AD∥BE,∴∠DAF=∠CEF,∠ADF=∠ECF,∴△ADF∽△ECF.(2)∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD=BC,AB=CD=8,∴CE= AD,即 =3.∵△ADF∽△ECF,∴ = =3.∵CD=DF+CF=8,∴DF= CD=6.
11.(2023河北石家庄一模,★★☆)问题提出如图1,在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=90°,BC=AC,EC=DC,点E在△ABC内部,直线AD与直 线BE交于点F,连接CF.线段AF,BF,CF之间存在怎样的数量关系?(无需作答)问题探究(1)先将问题特殊化,如图2,当点D,F重合时,直接写出一个等式,表示AF,BF,CF之间的数量关系;(2)再探究一般情况,如图1,当点D,F不重合时,证明(1)中的结论仍然成立.问题拓展如图3,在△ABC和△DEC中,∠ACB=∠DCE=90°,BC=kAC,EC=kDC(k是常数),点E在△ABC内部,直 线AD与直线BE交于点F,连接CF.直接写出一个等式,表示线段AF,BF,CF之间的数量关系.
图1   图2 图3
解析    (1)BF-AF= CF.提示:如题图2,∵∠ACD+∠ACE=90°,∠ACE+∠BCE=90°,∴∠BCE=∠ACD,∵BC=AC,EC=DC,∴△BCE≌△ACD(SAS),∴BE=AD,∵点D、F重合,∴BE=AD=AF,∵△CDE为等腰直角三角形,∴DE=EF= CF,
∴BF=BE+EF=AF+ CF,即BF-AF= CF.(2)证明:如图,过点C作CG⊥CF交BF于点G,与(1)同理可知,△ACD≌△BCE(SAS), ∴∠CAF=∠CBG,∵∠ACF+∠ACG=90°,∠ACG+∠GCB=90°,
∴∠ACF=∠BCG,又∵∠CAF=∠CBG,AC=BC,∴△ACF≌△BCG(ASA),∴FC=GC,BG=AF,∴△GCF为等腰直角三角形,∴GF= CF,∴BF=BG+GF=AF+ CF,∴BF-AF= CF.(3)BF-kAF= ·CF.提示:与(1)同理可知,∠BCE=∠ACD,∵BC=kAC,EC=kDC,
∴ = =k,∴△BCE∽△ACD,∴∠CBE=∠CAF,如图,过点C作CG⊥CF交BF于点G, 与(2)同理可知,∠BCG=∠ACF,
∴△BGC∽△AFC,∴ = =k= ,∴BG=kAF,GC=kFC,∴在Rt△CGF中,GF= = = ·FC,∴BF=BG+GF=kAF+ ·FC,即BF-kAF= ·CF.
12.(2023河北邯郸模拟,★★☆)问题背景:如图1,在四边形ABCD中,P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°,求证:AD·BC=AP·BP.(无需证明)(1)探究:如图2,在四边形ABCD中,P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论是否依然成立?请说明 理由.(2)应用:请利用(1)获得的经验解决问题:如图3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5,点P以每秒1个单位长度的速度由点A出发,沿边AB向点B运动, 且满足∠DPC=∠A,设点P的运动时间为t秒,当以点D为圆心,以DC的长为半径的圆与AB相切时,求 t的值.
(3)拓展:在(2)的条件下,点P从开始运动至运动到第4秒的过程中,直接写出点C在边BD上所走的总路程为 多少.  图1 图2 图3     
解析    (1)结论依然成立.理由如下:∵∠BPD=∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP,∠DPC=∠A=∠B=θ,∴∠ADP=∠BPC,∴△ADP∽△BPC,∴ = ,∴AD·BC=AP·BP.(2)过点D作DE⊥AB于点E,如图,
 ∵AD=BD=5,AB=6,∴AE=BE=3,∴DE= =4.∵以点D为圆心,以DC的长为半径的圆与AB相切.∴DC=DE=4,∴BC=5-4=1,
∵AD=BD,∴∠A=∠B,∴∠DPC=∠A=∠B,与(1)同理可知AD·BC=AP·BP,∵点P的运动时间为t秒,∴AP=t,∴BP=AB-AP=6-t,∴5×1=t(6-t),解得t1=1,t2=5,∴t的值为1或5.
(3)2.提示:∵点P的运动时间为t秒,∴AP=t,∴BP=AB-AP=6-t,∵AD·BC=AP·BP,∴5BC=t(6-t),∴BC=- t2+ t=- (t-3)2+ .∵- <0,对称轴为直线t=3,∴当0≤t≤4时,BC的值先增大,再减小,即点C从点B出发,当t=3时,BC的值达到最大,此时点C运动 的总路程为 ,接着点C向点B返回,当t=4时,BC=- ×(4-3)2+ = ,