2022-2023学年辽宁省沈阳市沈河区八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市沈河区八年级下学期期中数学试题及答案，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


分式?+2有意义的条件是()
?−1
A.? = −2B.? ≠ −2C.? = 1D.? ≠ 1
下列疫情防控标识图案中，是中心对称图形的是()
B.C.D.
下面式子从左边到右边的变形是因式分解的是()
?2−?−2=?(?−1)−2B.(? + ?)(?−?) = ?2−?2
C.?2−4=(?+2)(?−2)D.?−1 = ?(1−1)
?
下列分式变形正确的是()
?2=?
2?=?
2? +1=?+1
?+ 2=?
?2?
2??
4?
2?
?+2?
3? −5 ≤ 1
将不等式组{1−4?<9的解集在数轴上表示出来，则下列选项正确的是()
A.
B.
C.
D.
如图，在3×3正方形网格中，点?，?在格点上，若点?也在格点上，且△ ???是等腰三角形，则符合条件的点?的个数为()
A.1
B.2
C.3
D.4
如图，在△???中，??是??边上的高，??平分∠???，交??于点?，已知，?? = 8，?? = 2，则△ ???的面积等于()
4
6
8
10
如图，?1：? = ? + 1和?2：? = ?? + ?相交于?(?,2)，则? + 1
≥ ?? + ?解集为()
? ≥ 1
? <1
? ≥ −1
? >?
如图在，△ ???中，?? = ??，?? ⊥ ??于点?，?? ⊥ ??于点
?，?? ⊥ ??于点?，?? = 5??，则?? = ()
8??
10??
12??
14??
如图，?? △ ???中，∠??? = 90°，?? = 6，?? = 8，点?为射线??上一点，若 △ ???是等腰三角形，则△ ???的面积不可能是
()
40
48
100
3
50
3
二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）
多项式−6?2?+12??2−3??提公因式−3??后，另一个因式为．
某蓄水池装有?，?两个进水管，每时可分别进水?立方米，?立方米.若单独开放?进水管，
?小时可将该水池注满，如果?，?两个进水管同时开放，将该蓄水池注满的时间能提前
小时．
若分式方程有2+3=?增根，则?的值是．
?−1?−1
如图，在平面直角坐标系???中， △ ?′?′?′由△ ???绕点?旋转得到，则点?的坐标为
．
{
2?≥ 3(? −2) + 5
?> 2? −315.已知关于?的不等式组有且仅有三个整数解，则?的取值范围是
．
如图等，边△???中，??=16，?为??的中点，?为△???内一动点，??=2，连接??，将线段??绕点?顺时针旋转60°得??，连接??，则线段??的最小值为．
三、解答题（本大题共 9 小题，共 82.0 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题8.0分)
(1)分解因式：?2−?? + 1?2；
4
(2)(2?+?)2−(?+2?)2．
(本小题10.0分)
(1)解不等式2?−3>3? + 1−1；
36
?≤ 3? −6
(2)解不等式组：{3? + 1>2(?−1)．
(本小题8.0分)
2?−6?+9
2
先化简，再求值：(1−)÷，并从1，2，3中选取一个合适的数作为?的值代入求
?−1?2−1
值．
(本小题8.0分)
如图，在 △ ???中，?? = ??，?为??边的中点，?? ⊥ ??于点?，?? ⊥ ??于点?，?? = ??.
求证： △ ???是等边三角形．
(本小题8.0分)
某花店计划购进一批康乃馨和百合花，已知每支康乃馨和百合花的价格分别是5元、10元.若该花店准备同时购进这两种花共300支，并且康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．
(本小题8.0分)
如图，长方形????各顶点的坐标分别为?(1,2)、?(3,4)、?(4,3)、?(2,1)，长方形????各顶点的坐标分别为?(2,5)、?(5,8)、?(7,6)、?(4,3).平移长方形????得到长方形?′?′?′?′，且点
?′的坐标为(7,8)．
画出长方形?′?′?′?′．
如果长方形????沿?→?的方向平移，至??与??重合停止，设平移过程中平移的距离为
?，长方形????与长方形????重叠的面积为?，请直接写出平移过程中?的最大值；此时?的取值范围为．
画出一条直线把原图长方形????与长方形????组成的复合图形分成面积相等的两部分．
(本小题10.0分)
一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上(不包括300支)，可以按批发价付款，购买300支以下(包括300支)，只能按零售价付款．小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需要120元．
这个八年级的学生总数在什么范围内？
若按批发价购买360支与按零售价购买300支的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
(本小题10.0分)
如图1，在平面直角坐标系???中，一次函数? = −2? + 2的图象与?轴交于点?，与?轴交于点?
.线段??的垂直平分线交?轴于点?．
点?的坐标为，点?的坐标为；
点?的坐标为；
如图2，作直线??，小明认为，直线??在第二象限的部分上存在一点?使得△ ???≌ △ ??
?，连接??，求证：??//??．
(本小题12.0分)
用如图1，图2所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出)，完成以下的探究问题：
探究一：将两个三角形如图3拼接(??和??重合)，在??边上有一动点?．
当点?运动到∠???的角平分线上时，连接??，则线段??的长为．
探究二：如图4，将 △ ???的顶点?放在△ ???的??边上的中点处，并以点?为旋转中心旋转
△ ???， △ ???的两直角边与△ ???的两直角边分别交于?，?两点，连接??．
在旋转△???的过程中，??的最小值为；
探究三：如图5，??和??重合，点?与点?在??同侧，设??中点为?， △ ???绕点?顺时针方向旋转．
在旋转△???的过程中，旋转角为?，当0°当△???旋转至?，?，?三点在一条直线上时，??的长为(结果保留根号)．
答案和解析
【答案】?
【解析】解：根据题意得：?−1 ≠ 0，解得? ≠ 1；
故选：?．
根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是解答本题的关键．
【答案】?
【解析】解：选项 A、?、?不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图形重合，所以不是中心对称图形；
选项 C 能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图形重合，所以是中心对称图形；故选：?．
一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图形重合．
【答案】?
【解析】解：选项 A、?中等式右边不是乘积的形式，故 A、?不是因式分解；
选项 D中等式右边1不是整式，故 D不是因式分解；
?
有选项 C中的等式的右边是最简整式的积的形式．故选：?．
判断因式分解有两点：①分解的对象是多项式；②分解的结果是?个整式的积的形式，对于?，等式的右边不是乘积的形式，据此即可判断正误．
本题考查因式分解概念，正确记忆因式分解的概念是解题关键．
【答案】?
【解析】解：?、分子分母开平方，等式不成立，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、分子分母都除以2，符合分式的基本性质，原变形正确，故此选项符合题意；
C、分子分母都除以2时，分子有一项没有除以2，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、分子分母都减去2，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意．故选：?．
根据分式的基本性质作答．
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘(除)分子、分母中的任何一项，且扩大(缩小)的倍数不能为 0．
【答案】?
【解析】解：{，
1−4?<9①
3? −5 ≤ 1②
解不等式①得：?>−2，解不等式②得：? ≤ 2，
∴ 原不等式组的解集为：−2 < ? ≤ 2，
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
故选：?．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
【答案】?
【解析】解：以??为腰的等腰三角形有两个，以??为底的等腰三角形有一个，如图：
所以符合条件的点?的个数为3个，故选：?．
分别画出以?点和?点为顶点的等腰三角形，再画出?为顶点的等腰三角形即可．
本题考查了等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．
【答案】?
【解析】解：作?? ⊥ ??交??于点?，
∵ ??是??边上的高，
∴ ?? ⊥ ??，
∵ ??平分∠???，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = 2，
∴ ?? = 2，
∵ ?? = 8，
∴?△???=??⋅??=8×2=8，
22
故选：?．
先作辅助线?? ⊥ ??交??于点?，然后根据角平分线的性质，可以得到?? = ??，再根据三角形的面积公式，即可求得△ ???的面积．
本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是作辅助线?? ⊥ ??，求出??的长．
【答案】?
【解析】解： ∵ 直线?1：? = ? + 1与直线?2：? = ?? + ?相交于点?(?,2)，
∴ ? + 1 = 2，解得：? = 1，
观察图象知：关于?的不等式? + 1 ≥ ?? + ?的解集为? ≥ 1，故选：?．
首先将已知点的坐标代入直线? = ? + 1求得?的值，然后观察函数图象得到在点?的右边，直线? = ?
+ 1都在直线? = ?? + ?的上方，据此求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象，比较函数值的大小，确定对应的自变量的取值范围，解此题需要有数形结合的思想．
【答案】?
【解析】解： ∵ ?? = ??，?? ⊥ ??于点?，
∴ 根据等腰三角形三线合一的性质，得△ ???≌ △ ???，
2
∴?△???=?△???=1?△???，
∵?△???=1??⋅??，?△???=1??⋅??，
22
∴1??⋅??×2=1??⋅??，
22
∴ ?? = 2??，
∵ ?? = 5??，
∴ ?? = 10??．
故选：?．
2
根据等腰三角形三线合一的性质，得△ ???≌ △ ???，从而得到?△ ??? = ?△ ??? = 1?△ ???，根
据面积公式?△ ??? = 1?? ⋅ ??，?△ ??? = 1?? ⋅ ??，变形计算即可．
22
本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的三线合一性质和面积公式是解题的关键．
【答案】?
【解析】解： ∵ ∠??? = 90°，?? = 6，?? = 8，
??2+??2
∴ ?? =
=
= 10，
62+82
∵ △ ???是等腰三角形，
∴ 存在三种情况，当?? = ??时，
△ ???的面积是：?? ⋅ ??= 10 × 8= 40；
22
当?? = ??时，?? = 2?? = 12，
△ ???的面积是：?? ⋅ ??= 12 × 8= 48；
22
当?? = ??时，
设?? = ?，则?? = ?? + ?? = 6 + ?，?? = ?? = 6 + ?，
∵∠??? = 90°，
∴ ??2 + ??2 = ??2，即82 + ?2 = (6 + ?)2，
解得? = 7，
3
∴ ?? = 6 + ? = 6 + 7
3
=25， 3
∴ △ ???的面积是：?? ⋅??
2
25× 8
=3=
2
100；
3
由上可得， △ ???的面积是40或48或100，
3
故选：?．
根据题意，可知分三种情况，然后分类求出△ ???的面积即可．
本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答．
11.【答案】2?−4? + 1
【解析】解：−6?2? + 12??2−3?? = −3??(2?−4? + 1)，
则多项式−6?2? + 12??2−3??提公因式−3??后，另一个因式为2?−4? + 1．故答案为：2?−4? + 1．
找出多项式的公因式−3??，提取公因式即可得到结果．
此题考查了因式分解−提公因式法，找出公因式是解本题的关键．
【答案】??
?+?
【解析】解：根据题意可得：??，
?+?
故答案为：??．
?+?
根据题意可得代数式关系，列出代数式解答即可．
本题考查了代数式，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的关系列代数式求解．
【答案】2
【解析】解：去分母，得：2 + 3(?−1) = ?，由分式方程有增根，得到?−1 = 0，即? = 1，把? = 1代入整式方程，可得：? = 2．
故答案为：2．
首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到?−1 = 0，据此求出?的值，代入整式方程求出?的值即可．
此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：(1)化分式方程为整式方程；(2)把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【答案】(1,−1)
【解析】解：如图，点?即为所求，?(1,−1)．
故答案为：(1,−1)．
对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
【答案】1≤ ? <1
2
【解析】
【分析】
本题考查了一元一次不等式组的整数解，利用不等式的解得出关于?的不等式是解题关键．根据解不等式组，可得不等式组的解，根据不等式组的解是整数，可得答案．
【解答】
解：解不等式2? ≥ 3(?−2) + 5，得：? ≤ 1，
∵ 不等式组有且仅有三个整数解，
∴ 此不等式组的整数解为1、0、−1，又? > 2?−3，
∴ −2 ≤ 2?−3 <−1，
解得：1≤ ? <1，
2
故答案为：1≤ ? <1．
2
【答案】83−2
【解析】解：如图，连接??，以??为边作等边三角形???，连接??，
∵ △ ???是等边三角形，点?是??的中点，
∴ ?? = ?? = 8，
∴ ?? = 83，
∵ 将线段??绕点?顺时针旋转60°得??，
∴?? = ??，∠??? = 60°，
∵ △ ???是等边三角形，
∴ ?? = ?? = 2 = ??，∠??? = ∠??? = 60°，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和△ ???中，
{
? ?= ? ?
∠ ? ? ?= ∠ ? ? ?，
? ?= ? ?
∴△???≌△???(???)，
∴ ?? = ??，
∵ 当点?在线段??上时，??有最小值为??−?? = 83−2，
∴ ??的最小值为83−2，故答案为：83−2．
由旋转的性质可得?? = ??，∠??? = 60°，由“???”可证△ ???≌ △ ???，可得?? = ??，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，添加恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．
17.【答案】解：(1)原式 = (?−1?)2；
2
(2)原式= [(2? + ?) + (? + 2?)] ⋅ [(2? + ?)−(? + 2?)]
= (3? + 3?)(?−?)
= 3(? + ?)(?−?)．
【解析】(1)直接利用完全平方公式进行计算即可；
(2)利用平方差公式进行计算即可．
本题考查公式法分解因式，掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
【答案】解：(1)去分母得，2(2?−3)>(3? + 1)−6，去括号得，4?−6 > 3? + 1−6，
{
移项得，4?−3?>1−6 + 6，合并同类项得，? > 1；
?≤ 3? −6①
(2)3?+ 1 > 2(? −1)②，
由①得：? ≥ 3，由②得：?>−3，
则不等式组的解集为? ≥ 3．
【解析】(1)根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
(2)分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小
找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
2?2−6?+9
【答案】解：(1−) ÷
?−1
?2−1
=
?−1−2
?−1⋅
(?+1)(?−1) (?−3)2
=?+1，
?−3
∵ (? + 1)(?−1) ≠ 0，?−3 ≠ 0，
∴ ? ≠± 1，3，
∴ ? = 2，
当? = 2时，原式= 2 + 1= −3．
2−3
?−3
=?−1⋅
(?+1)(?−1) (?−3)2
【解析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．
先将括号内的式子通分，再将除法转化为乘法，约分得出最简结果，然后从1，2，3中选取一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．
【答案】证明： ∵ ?为??的中点，
∴ ?? = ??．
∵ ?? ⊥ ??，?? ⊥ ??，
{
∴ ∠??? = ∠??? = 90°．在?? △ ???和?? △ ???中，
? ?= ? ?
? ?= ??，
∴??△???≌??△???(??)，
∴ ∠? = ∠?，
∴ ?? = ??，
∵ ?? = ??，
∴ ?? = ?? = ??
∴ △ ???是等边三角形．
【解析】证明?? △ ???≌?? △ ???得到∠? = ∠?，则?? = ??，然后根据等边三角形的判定方法得到结论．
本题考查了等边三角形的判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
【答案】解：最省钱的购买方案为：购进200支康乃馨，100支百合花，理由如下：设购进康乃馨?支，则购进百合花(300−?)支，
根据题意得：? ≤ 2(300−?)，解得：? ≤ 200．
设购进这两种花共花费?元，则? = 5? + 10(300−?)，即? = −5? + 3000，
∵ −5 <0，
∴ ?随?的增大而减小，
∴ 当? = 200时，?取得最小值，此时300−? = 300−100 = 200，
∴ 最省钱的购买方案为：购进200支康乃馨，100支百合花．
【解析】最省钱的购买方案为：购进200支康乃馨，100支百合花，设购进康乃馨?支，则购进百合花(300−?)支，根据购进康乃馨的数量不多于百合花数量的2倍，可得出关于?的一元一次不等式，解之可得出?的取值范围，设购进这两种花共花费?元，利用总价= 单价× 数量，可得出?关于?的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，根据各数量之间的关系，找出?关于?的函数关系式是解题的关键．
2
【答案】42
≤ ? ≤ 3
2
【解析】解：(1)由题意知，长方形????向右平移了四个单位长度，向上平移了四个单位长度得到长方形?′?′?′?′，作图如下：
．
(2)由题意知，?? =2，?? = 22，
2
当长方形????完全在长方形????中时，重合面积最大，为?? ⋅ ?? =
× 2
= 4；
2
当? = ?? = 22时，长方形????完全进入长方形????；当? > ?? = 32时，长方形????开始离开长方形????，
2
所以当2≤ ? ≤ 32时，?取最大值为4．
2
故答案为：4；2≤ ? ≤ 32．
(3)由题意知，?? = 22，?? = 32，
2
则复合图形的面积为?? ⋅ ?? + ?? ⋅ ?? =
× 2
+ 2
× 3
= 16，
2
2
2
所以复合图形面积的一半为8，
设过?点且平分复合图形面积的直线为?，则?与??的交点在线段??上，设为?，
?△ ??? = 1?? ⋅ ??，即8 = 1× 52??，解得?? = 82，
225
由于?? = 22，所以??= 4，即?点是最靠近?点的线段??的一个五等分点，则画图如下：
??5
通过?点和?′点的坐标，明确长方形平移的方式，从而可画出长方形?′?′?′?′．
通过分析可知当长方形????完全在长方形????中时，面积取到最大值，即可求出?最大和?
的取值范围．
先求出复合图形的总面积，设直线与??的交点为?，通过面积求出??的长度，从而可画出直线．
本题主要考查了图象的平移．解题的关键是明确平移的方式．另外，应区别开平移点和平移图形的规律．
【答案】解：(1)设这个学校八年级学生有?人，由题意得，
{
?≤ 300
?+ 60>300，
解得240答：这个八年级的学生总数在240(2)有如下数量关系：一是批发价购买6支与按零售价购买5支的款相同；二是用120元按批发价付款比按零售价付款可以多购买60支．
若设批发价每支?元，则零售价每支?元．由题意得，．解之得：? = ，
经检验，? =为原方程的解．
所以，．
答：这个学校八年级学生有300人．
【解析】(1)设这个学校八年级学生有?人，根据凡一次购买铅笔300支以上(不包括300支)，可以按批发价付款，购买300支以下(包括300支)，只能按零售价付款，列出不等式组，求解即可； (2)找出关系式：120元按批发价付款比按零售价付款可以多购买60支
【答案】(1,0)(0,2)(0,3)
4
【解析】(1)解：当? = 0时，−2? + 2 = 0，
∴ ? = 1，
∴ 点?(1,0)，
当? = 0时，? = −2 × 0 + 2 = 2，
∴ ?(0,2)，
故答案为：?(1,0)，?(0,2)；
(2)解：设?? = ?，则?? = 2−?，在?? △ ???中，
??2=??2+??2=?2+1，
∵ ??的垂直平分线交于点?，
∴ ?? = ??，
∴?2+1=(2−?)2，
∴ ? = 3，
4
∴ ?(0,3)，
4
故答案为：(0,3)；
4
(3)证明：当?? ⊥ ??时，即∠??? = 90°时， △ ???≌ △ ???，理由如下：
∵ ?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
在△ ???和△ ???中，
{
∠ ? ? ?= ∠ ? ? ?
∠ ? ? ?= ∠ ? ? ?= 90°，
? ?= ? ?
∴△???≌△???(???)，
∴ ?? = ??，
∴ ??−?? = ??−??
即：?? = ??，
∴ ∠??? = ∠???，
∵ ∠??? = ∠???，
∴ ∠??? + ∠??? = ∠??? + ∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴ ??//??．
(1)当? = 0时，可求得?的横坐标，当? = 0时，可求得?点纵坐标，进而求得结果；
(2)设?? = ?，根据??2 = ??2列出方程可求得??，从而求得点?坐标；
(3)可证得?? = ??，根据?? = ??证得?? = ??，进而求得∠??? = ∠???，从而命题得证．
本题考查了由一次函数的解析式求点的坐标，线段垂直平分线性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，根据数量关系列方程求解是解决问题的关键．
【答案】33
24
45°或90°或135°314−3
2
4
【解析】解：(1)如图1，
∵∠??? = 90°，∠??? = 30°，
∴∠??? = 60°，?? =?? ⋅ ???30° =3，
∵ ??是∠???的平分线，
∴∠???=1∠???=30°，
2
∴?? = ?? ⋅ ???30° = 3，
2
∴?? = ?? = 1??，
2
∵∠??? = 90°，
∴??=1??=3，
22
故答案为：3；
2
如图2，
连接??，作??′ ⊥ ??于?′，
∵ ∠??? = 90°，?? = ??，?是??的中点，
∴ ?? =?? =1??，∠? =∠??? = 45°，∠???= ∠???= 90°，
2
∴ ∠???−∠??? = ∠???−∠???，
∴ ∠??? = ∠???，
∴△???≌△???(???)，
∴ ?? = ??，
∴??2=??2+??2=2??2，
∴ 当?? ⊥ ??时，??最小，即??最小，
∴ 当点?在?′处时，??最小，
∵∠??? = 90°，?? = ??，
∴??′=1??=1×2??=32，
2224
4
∴??最小=2??′ = 3，
故答案为：3；
4
如图3，
当??旋转后的?′?′//??时，设?′?′交??于?，
∴∠???′ = ∠??? = 90°，
∵∠?′?′? = 45°，
∴∠???′ = 45°，
∴ 此时? = 45°，如图4，
当??旋转后的?′?′//??时，
? = 90°，如图5，
当??旋转后的?′?′//??时，
?= 135°，
综上所述：? = 45°或90°或135°，
故答案为：45°或90°或135°；
如图6，
连接??，作?? ⊥ ??于?，
在?? △ ???中，?? = 1?? = 3，∠? = 45°，
22
∴??=??=2??=32，
24
32−(32)2
4
在?? △ ???中，?? = 2?? = 3，
∴ ?? =
=314， 4
14
∴??=??+??=314+32=3
+32，
444
14
∴ ?? = ??−?? = 3
+ 32−32=314−32，
424
故答案为：314−32．
4
(1)可求得??的值，∠??? = 30°，进而求得??的值，从而得出?是??的中点，进而求得??；
连接??，判定 △ ???≌ △ ???，得到?? = ??，推出 △ ???是等腰直角三角形后得到??与?
?之间的数量关系，最后根据??的最小值即可求出??的最小值；
分三种情况进行分析，使△ ???的三边分别与??平行，求出每种情况下的旋转角?即可；
连接??，作?? ⊥ ??于?，解?? △ ???求得?? = ?? = 2?? = 32，解?? △ ???求得?? =
24
32−(32)2
4
= 314，进一步求得结果． 4
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是分类讨论，画出图形．