专题03 三角函数与解三角形 专练-2024届高考数学二轮复习（老高考适用）（含解析）

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(2023·全国乙卷·理科)在中，已知，，．
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积．
(2022·高考全国乙卷·理)记的内角的对边分别为，已知．
(1)证明：；
(2)若，求的周长．
（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，.
(1)求的取值范围；
(2)若，求三角形ABC面积的取值范围.
（2023·全国·校联考模拟预测）在中，对应的边分别为，且．且
(1)求；
(2)若，上有一动点（异于B、C），将沿AP折起使BP与CP夹角为，求与平面所成角正弦值的范围．
（2023·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积记为S，已知，．
(1)求A；
(2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长．
（2023·陕西商洛·山阳中学校联考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，，，，.

(1)求；
(2)若，求BC.
（2023·四川绵阳·校考阶段练习）如图，在平面四边形中，，，，，．

(1)求的值；
(2)求的长．
（2023·云南·联考模拟预测）的内角的对边分别为，且.
(1)求角；
(2)若，求周长的取值范围.
（2023·河南开封·统考三模）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．
(1)求角B；
(2)若，的内切圆半径，求的面积．
（2023·海南海口·校联考模拟预测）在 中，角 A、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）在中，角的对边分别为，且.
(1)求的值；
(2)若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积.
条件①：；条件②：；条件③：的周长为9.
（2023·河南·模拟预测）设中，、、所对的边分别为、、，且有.
(1)若，证明：；
(2)若，比较和的大小关系，说明理由.
（2023•云南曲靖•麒麟区模拟）在锐角△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，从条件①：，条件②：，条件③：2acsA﹣bcsC＝ccsB这三个条件中选择一个作为已知条件．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，求△ABC周长的取值范围．
（2023·云南大理·校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；
（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求．
（2023·山西运城·校考阶段练习）中，内角的对边分别为的外接圆半径为，已知.
(1)求；
(2)已知的平分线交于点，从以下三个条件中选择两个，使唯一确定，并求和的长度.
条件①：；条件②：；条件③：.
题型训练
答案&解析
【1】
【答案】(1)；
(2)．【解析】(1)由余弦定理可得：
，
则，，
．
(2)由三角形面积公式可得，
则．
【2】
【答案】(1)见解析 (2)14
【解析】【小问1详解】
证明：因为，
所以，
所以，
即，所以；
【小问2详解】
解：因为，
由(1)得由余弦定理可得，
则，所以，
故，所以，所以的周长为．
【3】
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为，且都为锐角，所以，
，
所以，由正弦定理可得，
又，所以，
整理得，即有，
所以，即，所以.
在锐角三角形中，,且，所以；
令，则，，
令，则，
因为，所以，所以为增函数，
又，所以，即的取值范围是.
（2）由（1）得.
因为，由，得；
设三角形ABC的面积为,则
，
因为，所以，
设，，，，为减函数，
所以，所以.
【4】
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）方法一：由，结合二倍角公式可得，，
即.
若，则，于是，
根据正弦函数在上递增可得，
，类似的有，
于是，
这与矛盾；
若，则，于是，
根据正弦函数在上递增可得，
，
类似的有，于是，
这与矛盾；
若，即，此时确实成立.
综上所述，.
方法二：将代入可得
，
再利用两角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，化简即可得
所以，
即，
再由和差化积公式可得：
，
所以
不妨设，则，
所以，
即，又，所以，
可得，所以.
（2）
由题意，折叠后的几何体如下，设，则
在中，若，由余弦定理得，.
下以为原点，分别为轴，过垂直于平面的直线为轴.
设，则，，由
①
②
③，
由①②解得：，
由①③解得：，
根据线面角的定义，（不妨取是正数），
则与平面所成角正弦值为.
记，则，
注意到，于是，
又
，而，
故，故，
根据多项式除法，约去因式，
得到，即，
根据求根公式可得，的正实根为，
故在上递增，在上递减，
经计算得到，故在上的值域为，注意到，
故，于是，故，即，
于是直线与平面所成角正弦值的范围是.
在中，若，同理可得，直线与平面所成角正弦值的范围是.
方法二：
作底面，垂足为，连接，设到平面的距离为，到平面的距离为，，由题意知.
先说明和平面不可能垂直，否则由平面可得，由，可得，这与矛盾，于是是平面的斜线，即.
由可得，，即.
设，根据线面角的定义，即为与平面所成角.
于是，即.
【5】
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，所以，即，
由正弦定理可得，即
所以．
因为，所以．
（2）设AE为BC边上的中线，可得，
如下图所示：

则，
所以，解得．
因为，
所以，
所以；由可得，
利用余弦定理可得，
所以．
【6】
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在中，由正弦定理得，即，
所以.由题设知，所以.
（2）由题设及（1）知，，
在中，由余弦定理得
，
所以.
【7】
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：在中，，，，
由余弦定理可得，
整理可得，，解得，则，
故为等腰三角形，故.
（2）解：由（1）知，，又因为，则，
因为，则为锐角，
且，
所以，
，
在中，由正弦定理，
可得.
【8】
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，可得，
所以由正弦定理可得，
又为三角形内角，，
所以，
因为，
所以，可得，所以.
（2）由（1）知，又，
由正弦定理得，
则，
，
【9】
【答案】(1)(2)
【解析】（1）因为，
由余弦定理得，即，所以．
又，所以
（2）由余弦定理得：，则，
由三角形面积公式，，即，
则，
所以，解得，
所以.
【10】
【答案】(1)2(2)12
【解析】（1）由可得，
，
因为，所以可得，
解得.
（2）由（1）知，所以，
又因为，所以，
所以，
即，又，
所以，
由正弦定理可得，，
所以，
所以，
所以的面积.
【11】
【答案】(1)2
(2)答案见解析
【解析】（1）解：因为，
由正弦定理得，
即，
又因为，可得，
所以，可得.
（2）解：由（1）得，由正弦定理得，
若选条件①：由余弦定理得，即，
又由，解得，则，此时存在且唯一确定，
因为，则，可得，
所以；
若选条件②：由，因为，即，
若为锐角，则，
由余弦定理，即，
整理得，且，解得，则；
若为钝角，则，
由余弦定理得，即，
整理得，且，解得，则；
综上所述，此时存在但不唯一确定，不合题意；
若条件③：因为，即，解得，则，
所以此时存在且唯一确定，
由余弦定理得，
因为，可得，
所以．
【12】
【答案】(1)证明见解析
(2)，理由见解析
【解析】（1）证明：因为，要证，即证，即证，
因为，则，解得，则，
所以，
，
故原不等式得证.
（2）解：因为，
设外接圆半径为，则
，
因为，则，
又因为，
又因为，即，
所以，所以.
【13】
【解答】解：（1）选条件①：因为，所以，即，
又因为△ABC为锐角三角形，所以，
∵，所以；
选条件②：因为，所以，所以，
又因为，所以；
选条件③：由正弦定理可得2sinAcsA﹣sinBcsC＝sinCcsB，
即2sinAcsA＝sinBcsC+sinCcsB＝sin（B+C）＝sinA，
又因为sinA≠0，所以，
∵，所以；
（2）
＝，
∵，∴，
所以，即，
又a＝2，
∴△ABC周长的取值范围为（2+2，6]．
【14】
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）据图象可得，故，
由得：．
由得：．
由知，，
，解得，
；
（2），，
，，
，，
由题意得的面积为，解得，
由余弦定理得，解得：.
【15】
【答案】(1)
(2)选择条件②和③；，
【解析】（1）由已知得，
得，
即，即，
又因为，故；
（2）由（1）得中，
由余弦定理得，
所以，
而条件①中，所以，显然不符合题意，即条件①错误，
由条件②，条件③，解得，
由余弦定理可得，
所以，所以，
在中，因为为的平分线，
所以，
又因为，所以，
在中，，
所以.