甘肃省天水一中2019-2020学年高一（下）期中数学试题（解析版）

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这是一份甘肃省天水一中2019-2020学年高一（下）期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(满分100分，时间90分钟)
一、选择题(共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 设a=sin1,b=cs1,c=tan1,则a,b,c的大小关系是（）
A. a【答案】C
【解析】
由于，结合三角函数线的定义有：，
结合几何关系可得：，即.
本题选择C选项.
2. 已知角是第三象限的角,则角是( )
A. 第一或第二象限的角B. 第二或第三象限的角
C. 第一或第三象限的角D. 第二或第四象限的角
【答案】D
【解析】
【分析】
可采取特殊化的思路求解，也可将各象限分成两等份,再从x轴正半轴起,逆时针依次将各区域标上一､二､三､四，则标有三的即为所求区域.
【详解】(方法一)取,则,此时角为第二象限的角;取,则,此时角为第四象限的角.
(方法二)如图,
先将各象限分成两等份,再从x轴正半轴起,逆时针依次将各区域标上一､二､三､四,
则标有三的区域即为角的终边所在的区域,
故角为第二或第四象限的角.
故选：D
【点睛】本题主要考查了根据所在象限求所在象限的方法，属于中档题.
3. 如果弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
设圆的半径为，则有，可得，所以这个圆心角所对的弧长为，故选A．
4. 若函数局部图象如图所示，则函数的解析式为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由的部分图象可求得A，T，从而可得，再由，结合的范围可求得，从而可得答案.
【详解】由图可知，，，，
；
，
，，
∴当时，可得：，此时，可得：.
故选：D.
【点睛】本题考查由三角函数的部分图象求函数解析式，属于基础题.
5. 若函数为上的奇函数，且在定义域上单调递减，又，，则的取值范围是（）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
分析：由奇函数的性质把不等式化为，再由函数的单调性得，结合正弦函数性质可得结论．
详解：∵函数为上的奇函数，又，
∴，
∴，
又在定义域上单调递减，
∴，
∴，
又，
∴．
故选．
点睛：已知函数的奇偶性与单调性结合的解不等式问题中，一般都是由奇偶性化不等式为形式，然后由单调性化为，最后再求解．这是一种套路．同样如果是偶函数，则可化为．
6. 函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
利用排除法：
由函数的解析式可得：，函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误，
本题选择A选项.
点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．
7. 若函数是定义在上的减函数，又是锐角三角形的两个内角，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
依题意只需判断各选项中自变量的大小，由已知可得，根据正弦函数的单调性，得出的大小关系，即可求解.
【详解】是锐角三角形的两个内角，，
在为增函数，
，
又函数是定义在上的减函数，
.
故选：D.
【点睛】本题考查抽象函数的函数值大小关系，利用函数的单调性，以及判断锐角三角形中角的三角函数大小是解题的关键，属于中档题.
8. 已知函数，则下列说法正确的是（）
A. 的最小正周期是
B. 的值域是
C. 直线是函数图像的一条对称轴
D. 的递减区间是，
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的解析式，得到其最小正周期，值域，对称轴和递减区间，然后对四个选项分别进行判断，得到答案.
【详解】函数
所以函数的最小正周期，所以选项A错误；
由解析式可知，所以的值域为，所以选项B错误；
当时，，，
不是函数图像的对称轴，所以选项C错误.
令，，
可得，，
的递减区间是，，所以选项D正确.
故选：D.
【点睛】本题考查正切型函数的周期、值域、对称性和单调区间，属于简单题.
9. 已知函数的两条对称轴之间距离的最小值为4，将函数的图象向右平移1个单位长度后得到函数的图象，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
函数两条对称轴之间距离的最小值为4，可求出周期及，写出，再根据平移得出，根据三角函数的周期可知，即可求解.
【详解】依题意，，，所以，故，，因为，所以.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用周期性解决求值问题，属于中档题.
10. 已知，顺次连接函数与的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
当正弦值等于余弦值时，函数值为，故等边三角形的高为，由此得到边长为，边长即为函数的周期，故.
【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质.首先大致画出正弦函数图像和余弦函数图像，通过观察可知可知，三角形左右两个顶点之间为一个周期，故只需求出等边三角形的边长即可.再根据可知等边三角形的高，由此求得边长即函数的周期，再由周期公式求得的值.
二、填空题（共4小题，每小题4分，共16分）
11. 若点在函数的图像上，则___.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据对数函数的性质得，再根据同角三角函数关系求解即可得答案.
【详解】解：∵ 点在函数的图像上，
∴ ，
∴
故答案为：
【点睛】本题考查对数函数，同角三角函数关系，考查运算能力，是基础题.
12. 将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则的最小值为_________.
【答案】
【解析】
试题分析：左移得到，是奇函数，故，最小值为.
考点：三角函数图象与性质.
【思路点晴】本题主要考查三角函数图象与性质，考查三角函数的奇偶性.第一部分考查三角函数图象变换，根据左加右减，图象向左平移个单位，即，此时由于函数为奇函数，根据三角函数诱导公式奇变偶不变，符号看象限可知，，由于是正数，所以的最小值为.
13. 住在同一城市的甲、乙两位合伙人,约定在当天下午4.00-5：00间在某个咖啡馆相见商谈合作事宜，他们约好当其中一人先到后最多等对方10分钟,若等不到则可以离去,则这两人能相见的概率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
将甲、乙到达时间设为（以为0时刻，单位为分钟）.则相见需要满足：画出图像，根据几何概型公式得到答案.
【详解】根据题意：将甲、乙到达时间设为（以为0时刻，单位为分钟）
则相见需要满足：画出图像：
根据几何概型公式：
【点睛】本题考查了几何概型的应用，意在考查学生解决问题的能力.
14. 关于下列命题：
①若是第一象限角，且，则；
②函数是偶函数；
③函数的一个对称中心是；
④函数在上是增函数，
所有正确命题的序号是_____．
【答案】②③
【解析】
【分析】
结合相关知识对给出的每个选项分别进行分析、判断可得正确的命题．
【详解】对于①，若α，β是第一象限角，且α>β，可令α=390°，β=30°，则sin α=sin β，所以①错误；
对于②，函数y=sin=-cs πx，f(x)=-cs(πx)=f(x)，则为偶函数，所以②正确；
对于③，令2x-=kπ，解得x=(k∈Z)，所以函数y=sin的对称中心为，
当k=0时，可得对称中心为，所以③正确；
对于④，函数，当时，，所以函数在区间上单调递减，所以④不正确．
综上，命题②③正确．
【点睛】本题综合考查三角函数的有关内容，考查综合运用和解决问题的能力，解题时可根据题中的要求分别进行求解，但由于涉及的内容较多，所以解题时要注意结果的正确性．
三、解答题（共4小题，44分，请在答题卡上写清必要的解题过程）
15. (1)化简
(2)已知为第二象限角，化简
【答案】(1)1；(2).
【解析】
试题分析：
(1)由题意结合同角三角函数基本关系化简可得三角函数式的值为1；
(2)由题意结合诱导公式化简可得三角函数式的值为.
试题解析：
(1)原式
(2)原式
.
16. 近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的分类垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：
(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率P；
(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；
(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为a、b、c，其中a＞0，a＋b＋c＝600. 当数据a、b、c的方差s2最大时，写出a、b、c的值(结论不要求证明)，并求出此时s2的值．
【答案】（1）；（2）；（3）80 000
【解析】
试题分析：（1）根据古典概型概率公式求厨余垃圾投放正确的概率（2）先求对立事件概率，再根据对立事件概率关系求生活垃圾投放错误的概率；（3）先根据方差公式确定s2最大时a、b、c的值，再计算平均值，最后根据方差公式求方差
试题解析： (1)厨余垃圾投放正确的概率为
P＝＝＝．
(2)设“生活垃圾投放错误”为事件A，则事件表示“生活垃圾投放正确”．事件的概率为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()＝＝，
所以P(A)＝1－P()＝1－＝．
(3)当a＝600，b＝0，c＝0时，方差s2取得最大值．
因为＝ (a＋b＋c)＝200，
所以s2＝ [(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]
＝80 000．
点睛：古典概型中基本事件数的探求方法
(1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.
(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
17. 已知函数为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为.
（1）求的值；
（2）求函数对称轴方程；
（3）当时，求函数的值域.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
(1)由为偶函数，可求出的值，由条件可得的最小正周期为，从而求出答案.
(2) ,则由可求出对称轴方程.
(3) 函数，令t=2x，，则，根据余弦函数的单调性可得答案.
【详解】（1）是偶函数，则=+kπ（k∈Z），
解得φ=+kπ（k∈Z），又因为0＜φ＜π，所以φ=，
所以=2csωx；
由函数图象的两相邻对称轴间的距离为，则的最小正周期为.
所以=，所以ω = 2；故，因此=2cs=；
（2）由，得=，
，即，
所以函数的对称轴方程为；
（3）函数，令，则
则在上单调递减，在上单调递增，
所以在上的值域为
所以函数值域为
【点睛】本题考查根据三角函数的图象性质求解析式，求函数的对称轴方程，求三角函数的值域问题，属于中档题.
18. 函数（其中）部分图象如图所示，把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数的图像.
（1）当时，若方程恰好有两个不同根，求的取值范围及的值；
（2）令，若对任意都有恒成立，求最大值.
【答案】（1）的取值范围；时，；时，；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据给出的图像求出解析式，再根据平移得到解析式，由的范围求出的单调区间和值域，结合图像，分析出的范围及的值.
（2）令，得到，是关于的二次函数，利用二次函数的保号性，得到答案.
【详解】（1）根据图像可知
，
代入得，，，
把函数的图像向右平移个单位长度，再向下平移个单位，得到函数
在单调递增，在单调递减，在单调递增，
且，
，
方程恰好有两个不同的根，
的取值范围
令
对称轴为，
或
时，；时，.
（2）由（1）可知
，对任意都有恒成立
令，即在上恒成立，
是关于的二次函数，开口向上，则恒成立
而的最大值，在或时取到最大值
则，解得
所以，则的最大值为.
【点睛】本题考查利用函数图像求函数的解析式，正弦型函数图像的平移变换、图像与性质、对称轴、值域，二次函数保号性等，题目涉及知识点多，比较综合，属于难题.
本试卷的题干、答案和解析均由组卷网（）专业教师团队编校出品。
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