甘肃省顶级名校2019-2020学年高一下学期期中考试——数学试题

这是一份甘肃省顶级名校2019-2020学年高一下学期期中考试——数学试题，共13页。试卷主要包含了下列说法正确的个数是，已知角α的终边经过点，已知sin，已知函数y＝Asin等内容，欢迎下载使用。

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列角中终边与330°相同的角是（ ）
A．﹣30°B．30°C．﹣630°D．630°
2．下列说法正确的个数是（ ）
①小于90°的角是锐角；
②钝角一定大于第一象限角；
③第二象限的角一定大于第一象限的角；
④始边与终边重合的角为0°．
A．0B．1C．2D．3
3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）
A．2B．C．2sin1D．sin2
4．已知tanx，且x在第三象限，则csx＝（ ）
A．B．C．D．
5．已知角α的终边经过点（，），若α，则m的值为（ ）
A．27B．C．9D．
6．下列能使csθ＜sinθ＜tanθ成立的θ所在区间是（ ）
A．B．C．D．
7．已知sinα•csα，且0＜α，则sinα﹣csα＝（ ）
A．B．C．D．﹣
8．已知sin（α+75°），则cs（α﹣15°）＝（ ）
A． B．C．D．
9．已知函数y＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的部分图象如图所示，则 （ ）
A．ω＝1，φB．ω＝1，φC．ω＝2，φD．ω＝2，φ
10．根据如下样本数据，得到回归方程，则（ ）
A．B．C． D．
11．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y＝f（x）的图象（ ）
A．关于点（，0）对称B．关于直线x对称
C．关于点（，0）对称D．关于直线x对称
12．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的图象过点B（0，﹣1），且在（，）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当x1，x2∈（，），且x1≠x2时，f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（ ）
A．B．﹣1C．1D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．315°＝ 弧度，弧度＝ ．
14．当0＜x＜π时，使tanx＜﹣1成立的x的取值范围为 ．
15．函数的定义域是 ．
16．函数在上单调递减，则正实数ω的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题10分）
△ABC中，，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于
点N，设，，用、分别表示向量、．
18．（本小题12分）
已知角α的终边经过点，且α为第二象限角．
（1）求实数m和tanα的值；
（2）若，求的值．
19．（本小题12分）
如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝8，M、N、P是将半圆圆周四等分的三个分点
（1）从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；
（2）在半圆内任取一点S，求三角形SAB的面积大于8的概率．
20．（本小题12分）
某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：
经过长期观测，y＝f（t）可近似的看成是函数y＝Asinωt+b
（1）根据以上数据，求出y＝f（t）的解析式；
（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？
21．（本小题12分）
为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上
随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将
每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产
品为一等品．
（1）求图中a的值；
（2）求综合评分的中位数；
（3）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽
取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中至多有一个一等品的概率．
22．（本小题12分）
已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点
之间的距离为，且图象过点M（）
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k＝0，在区间[0，]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．

2019-2020-2学期高一年级期中考试试题
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，
考试时间120分钟. 请将答案填在答题卡上.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题: 本大题共12小题，每小题5分，共60分.
A 2．B 3．A 4．C 5．D 6．B 7．C 8．A 9．C 10．D 11．D 12．B
二、填空题（共4小题）
13．， 105° 14．（，） 15．[﹣4，﹣π]∪[0，π] 16．[，]
三、解答题（共6小题）
17．△ABC中，，DE∥BC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM与DE相交于点N，设，，用、分别表示向量、．
【解答】解：如图，△ABC中，
∵，DE∥BC，且与边AC相交于点E，
△ABC的中线AM与DE相交于点N，
∴，
．
∵，，
，．
18．已知角α的终边经过点，且α为第二象限角．
（1）求实数m和tanα的值；
（2）若，求的值．
【解答】解：（1）由三角函数定义可知，解得m＝±1，∵α为第二象限角，∴m＝﹣1，
所以．
（2）原式．
19．如图，已知AB是半圆O的直径，AB＝8，M、N、P是将半圆圆周四等分的三个分点
（1）从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率；
（2）在半圆内任取一点S，求三角形SAB的面积大于8的概率．
【解答】解：（1）从A、B、M、N、P这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM、ABN、ABP、AMN、AMP、ANP、BMN、BMP、BNP、MNP，其中是直角三角形的只有ABM、ABN、ABP3个，
所以这3个点组成直角三角形的概率P．
（2）连接MP，取线段MP的中点D，则OD⊥MP，
易求得OD＝2，
当S点在线段MP上时，S△ABS28＝8，
所以只有当S点落在阴影部分时，三角形SAB面积才能大于8，而
S阴影＝S扇形OMP﹣S△OMP4242＝4π﹣8，
所以由几何概型公式得三角形SAB的面积大于8的概率P．
20．某港口的水深y（米）是时间t（0≤t≤24，单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深的关系表：
经过长期观测，y＝f（t）可近似的看成是函数y＝Asinωt+b
（1）根据以上数据，求出y＝f（t）的解析式；
（2）若船舶航行时，水深至少要11.5米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港？
【解答】解：（1）由表中数据可以看到：水深最大值为13，最小值为7，
∴10，
且相隔9小时达到一次最大值说明周期为12，
因此，，
故（0≤t≤24）
（2）要想船舶安全，必须深度f（t）≥11.5，即
∴，
解得：12k+1≤t≤5+12k k∈Z
又0≤t≤24
当k＝0时，1≤t≤5；
当k＝1时，13≤t≤17；
故船舶安全进港的时间段为（1：00﹣5：00），（13：00﹣17：00）．
21．为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地抽查产品进行检测，现在某条生产线上随机抽取100个产品进行相关数据的对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图．记综合评分为80分及以上的产品为一等品．
（1）求图中a的值；
（2）求综合评分的中位数；
（3）用样本估计总体，以频率作为概率，按分层抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中至多有一个一等品的概率．
【解答】解：（1）由频率和为1，得（0.005+0.010+0.025+a+0.020）×10＝1，a＝0.040；
（2）设综合评分的中位数为x，则（0.005+0.010+0.025）×10+0.040×（x﹣80）＝0.5，
解得x＝82.5所以综合评分的中位数为82.5．
（3）由频率分布直方图知，一等品的频率为（0.040+0.020）×10＝0.6，即概率为0.6；
所以100个产品中一等品有60个，非一等品有40个，则一等品与非一等品的抽样比为3：2；
所以现抽取5个产品，一等品有3个，记为a、b、c，非一等品2个，记为D、E；
从这5个产品中随机抽取2个，基本事件为：ab、ac、aD、aE、bc、bD、bE、cD、cE、DE共10种；
抽取的这2个产品中恰有一个一等品的事件为：aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE共7种，
所以所求的概率为P．
22．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象过点M（）
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间；
（3）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k＝0，在区间[0，]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）由题意：图象与x轴的交点，相邻两个交点之间的距离为，即，即T；
∵T，解得：ω＝4，那么：f（x）＝sin（4x+φ）．
∵0＜φ．图象过点M（）带入可求得φ，
∴解析式；
（2）由正弦函数的性质可知：∈[2kπ，2kπ]，（k∈Z）是单调递增区间，即：2kπ2kπ]，解得：kπxkπ]，（k∈Z）
∴函数f（x）的单调递增区间为：；
（3）由（1）可知：；将f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象．即g（x）＝sin（2x）
∵
∴2x
g（x）+k＝0在[0，]上只有一个实数解，即图象g（x）与y＝﹣k，只有一个交点，
当x时，g（x）图象取得最低点，即g（）．由正弦函数图象可知：时只有一个交点，以及k＝﹣1时，也有一个交点．即实数k的取值范围为：或k＝﹣1
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x
3
4
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6
7
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y
4.0
2.5
﹣0.5
0.5
﹣2.0
﹣3.0
t
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10
13
9.9
7
10
13
10.1
7
10
t
0
3
6
9
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24
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13
9.9
7
10
13
10.1
7
10