2022-2023学年山东省济南市长清区八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2022-2023学年山东省济南市长清区八年级下学期期中数学试题及答案，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

民族图案是数学文化中的一块瑰宝．下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
B．C．D．
已知 xy，则下列不等式不成立的是（）
x2y2
3x3y
5x5y
x4y4
下列等式，从左到右的变形是因式分解的是（）
xx2x22x
C．x24x2x2
6x2y6xxy
D．x2x12
x

在数轴上表示不等式2x15的解集，正确的是（）
B．
C．
D．
如图，将一个含30角的直角三角板 ABC绕点A逆时针旋转，点C的对应点为点C，若点C落在 BA 延长线上，则三角板 ABC 旋转的度数是（）
A．60B．90C．120D．150
m2n22m
计算

mmn
的结果是（）
A．2mn2
2m2n2
2mn
2mn
若一次函数yaxb的图象如图所示，则不等式axb0的解集是（）
A．x2
ax
xy
B．x2
ab
C．x4
a2b2
D．x4
分式 ax， x2y2， a22abb2，
ab
中最简分式的个数为()．
A．1B．2C．3D．4
小颖家每月水费都不少于 15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超
过 5立方米，则每立方米收费 1.8元；若每户每月用水超过 5立方米，则超过部分每立方米收费 2 元，小颖家每月用水量至少是（）
6立方米B．7立方米C．8立方米D．9立方米
3
如图，P是等边三角形ABC内一点，且PA4，PB2，PC 2，以下4 个结
3
论：① BPC150；② APC120；③ S△ ABC 7
；④若点 P到ABC三边的距离
分别为 PE， PF， PG．则有 PEPFPG
3AB，其中正确的有（）
2
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题
因式分解：a29 
若分式
x
x3
有意义，则x的取值范围是．
如图，A，B的坐标分别为2,1，0,1．若将线段AB平移至A1B1，A1，B1的坐标分别为a,3，3,b，则a b 的值为．
若xy3，xy5，则x2yxy2的值为．
如图，在ABC中，C90，ACBC2，将ABC绕点A逆时针方向旋转60
到△ABC的位置，则图中阴影部分的面积是．
如图，一次函数 y5x10的图像交 x轴于点 A，交 y轴于点 B，点 P在线段OA
4
上，在y轴上有一点C0，2，线段CP绕点C逆时针旋转90，点P恰好落在直线AB上的点P处，则点P所在位置的坐标是．
三、解答题
因式分解： 4ax28axy4ay2．
3(x1)2x5,①

解不等式组： 
2x

x3,②
2
并写出它的所有整数解．
如图，在Rt△ABC中，C90，把Rt△ABC绕点 B逆时针旋转，得到RtDBE，点 E 在 AB 上，若 BC 8， AC 6 ，求 DE 及 BD的长．
化简：
m22m1
(1)
m1
；
m1
(2)x2
x2x
x24x4
．
x1
2xx24
先化简，再求值： (2x2) x24x4，其中 x4．
如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1个单位的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，ABC的顶点都在格点上，建立如图所示的平面直角坐标系，点 A，B，C的坐标分别为(1，1)，(4，2)，(2，3)．
画出ABC向左平移 4个单位，再向上平移 1个单位后得到的A1B1C1；
画出ABC关于原点 O对称的A2B2C2；
求ABC面积．
已知：如图一次函数 y1＝﹣x﹣2与 y2＝x﹣4的图象相交于点 A．
求点 A的坐标；
若一次函数 y1＝﹣x﹣2与 y2＝x﹣4的图象与 x轴分别相交于点 B、C，求△ABC
的面积．
结合图象，直接写出 y1≥y2时 x的取值范围．
某健身房训练的费用为 20元/次，为回馈客户，现推出如下活动方案，方案一：购
买一张会员卡，卡费为 40元，每次训练费用按六折优惠；方案二：不购买会员卡，每次训练费用按八折优惠．设某客户健身训练 x（次），按照方案一所需费用为 y1（元）；
按照方案二所需费用为 y2（元）．
请分别写出 y1， y2与 x之间的关系式；
小李计划前往该健身房训练5到20次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由． 25．（1）【知识再现】在研究平方差公式时，我们在边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形（如图1），把余下的阴影部分再剪拼成一个长方形（如图2），根据图 1、图2 阴影部分的面积关系，可以得到一个关于a，b 的等式①．
【知识迁移】在边长为 a的正方体上挖去一个边长为 b的小正方体后，余下的部分
（如图3）再切割拼成一个几何体（如图4）．根据它们的体积关系得到关于a，b的等式为②a3b3．（结果写成整式的积的形式）
【知识运用】已知ab4， ab3，求a3b3的值．
26．【背景】如图1-1所示，点B在线段AC上，分别以AB，CB为一边，在线段AC的上方作等边三角形ABD和等边三角形CBE，连接AE，CD，它们交于点F，容易判断， AE 与CD 的数量关系为，它们所夹锐角AFD的大小为度．
【探究】把图 1-1中的等边三角形CBE绕点 B 逆时针旋转一定角度，变成图 1-2，线段 AE的延长线与CD交于点 F．请你判断 AE与CD的数量关系及AFD的大小，并给出证明过程．
【应用】如图 1-3 所示，点 P 在线段 AN上， PA3， PN2，在 AN的上方作等边三角形 PQT （△PQT 的大小和位置可以改变），连接 AQ， NT．请直接写出 AQNT的最小值，不用表述理由．
参考答案：
1．D
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】A．不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误； C．不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误； D．是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 2．C
【分析】根据不等式的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A.∵ xy，∴ x2y2，故该选项正确，不符合题意；
B. ∵ xy，∴ 3x3y，故该选项正确，不符合题意；
C.∵xy，∴
5x5y，故该选项不正确，符合题意；
D.∵ xy，∴ x4y4，故该选项正确，不符合题意；故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．C
【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种多项式的变形叫做因式分解）逐项判断即可得．
【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
B、是同底数幂乘法的逆运算，不是因式分解，不符合题意；
C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；
D、 2不是整式，故不是因式分解，不符合题意；
x
故选：C．
【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，解题的关键是掌握把一个多项式化成几个最简整式的乘积的形式，这种多项式的变形叫做因式分解．
4．D
【分析】先求出不等式的解集，再进行判断即可．
【详解】解：∵ 2x15，
∴2x4，
∴x2，
数轴表示如图：
故选 D．
【点睛】本题考查用数轴表示不等式的解集．正确的求出不等式的解集，是解题的关键．
5．D
【分析】根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，即可求解．
【详解】解：∵将一个含30角的直角三角板 ABC绕点A逆时针旋转，点C的对应点为点C，若点C落在 BA 延长线上，
∴旋转角是CAC18030150．故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质．掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．
6．C
【分析】根据分式的乘法进行计算即可求解．
m2n22m
【详解】解：

mmn
mnmn2m
mmn
2mn，故选：C．
【点睛】本题考查了分式的乘法运算，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键．
7．A
【分析】利用函数图象，写出函数图象在 x 轴下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：如图所示：不等式axb0的解集是： x2．故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y kxb的值大于（或小于）0 的自变量 x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线 y kx b 在 x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
8．B
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
ax
【详解】
ax
的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；
xy x2y2
=xy
(xy)(xy)
1
xy；
abab
=
1；
a22abb2(ab)2
a2b2
ab
ab
故选 B.
的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式.
【点睛】本题考查了最简分式的定义的应用．分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
9．C
【分析】设小颖每月用水量是 x立方米，根据小颖家每月水费都不少于 15元及超过 5立方米与不超过 5 立方米的水费价格列出不等式，求解即可得答案．
【详解】设小颖每月用水量是 x立方米，根据题意得：1.8×5+2（x-5）≥15，
解得，x≥8，
∴小颖家每月用水量至少是8立方米．故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，列出不等关系式即可求解．
10．A
【分析】将BPC绕点 B逆时针旋转60到BDA，得到BDP是等边三角形，根据
AD2DP2PC2PB2AP2，得到直角三角形 ADP，且BDPBPD60，APD30，
ADP90，从而得到ADBBPC150； APB90， APC120；根据勾股定
理， AB
AP2PB2

42(23)2
7
2
，根据等边三角形面积等于
3AB2得到
4
SABC
=73，利用同一图形的面积不变性， PEPFPG
3AB，选择即可．
2
【详解】如图，将BPC绕点 B逆时针旋转60到BDA ，
BDP是等边三角形， ADPC2，
BDPBPD60，PDPB23，
AD2DP2PC2PB222(23)21642AP2，
ADP是直角三角形，且APD30， ADP90，
ADB BPC150；APB 90，
APC360BPC
APB
120；
故①②都正确；
AP2PB2
根据勾股定理，得AB
如图，作 AMBC于点 M，
ABC 是等边三角形，
AB2BM2
BMMC1BC1AB，AM
22
2，
42(23)2
7
AB2(1AB)2
2

3AB
2
11
S=BC•AMAB
3AB 
3AB2=73，
ABC2
224
故③正确；
SABC=SAPBSBPCSAPC，
3
1BCAB=1BC·PE1AC·PF1AB·PG，
22222
ABBCAC ，
31，
1BCAB=BC·PEPFPG
222
PEPF PG 
故④正确，故选 A．
3AB，
2
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握等边的性质，灵活运用勾股定理及其逆定理是解题的关键．
(a3)(a3)
【分析】a2-9可以写成 a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可．
【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3），故答案为：（a+3）（a-3）．
点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键．
x3
【分析】根据分式的分母不能为 0即可得．
【详解】解：由分式的分母不能为 0得： x30，解得x 3，
故答案为： x3．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为 0是解题关键．
2
【分析】由已知得出线段 AB 向右平移了 3个单位，向上平移了 2个单位，即可得出 a、b的值，从而得出答案．
【详解】解：由2,1的对应点 A1的坐标为a, 3知，线段 AB向上平移了 2 个单位，由 B0, 1的对应点 B1的坐标为3, b知，线段 AB 向右平移了 3 个单位，
则a231， b121，
∴ ab 11 2，故答案为： 2 ．
【点睛】本题主要考查图形的平移及平移特征．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
15
【分析】先将代数式因式分解，然后将已知式子的值整体代入即可求解．
【详解】解：∵ xy3， xy5，
∴ x2yxy2xyxy3515，故答案为： 15．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的的方法是解题的关键．
3
【分析】过点 B作 BDAB于点 D，根据旋转的性质可得到ABB是等边三角形，
S△ ABCS△ABC，进而得到阴影部分的面积等于 S△ABB，再由勾股定理求出 AB，继而得到
S△ABB，即可求解．
【详解】解：如图，过点 B作 BDAB于点 D，
∵将ABC绕点 A逆时针方向旋转60到△ABC的位置，
∴AB AB,BAB60，△ABC≌△ABC，
∴ABB是等边三角形， S△ ABCS△ABC，
∴ ABBB，阴影部分的面积等于 S△ABB，
∵ACBC
AC2BC2
∴AB
2，C90，
2，
∴BB2,BD1，
∴BD
∴SABB
，
BB2BD2
3
3
3
1ABBD12，
22
3
即阴影部分的面积是 3．故答案为：
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．
215
，
2
【分析】过点 P作 PEOB 于 E，则 PE∥OA，根据旋转的性质可得CPCP，根据同角的余角相等求出OPCECP，再利用“角角边”证明△OCP和EPC全等，根据全等三
角形对应边相等可得 PEOC2，把 x 2代入 y5x10得 y15 ， 即可求解．
42
【详解】解∶如图，过点 P作 PEOB 于 E，则 PE∥OA，
∵线段CP绕点 C逆时针旋转90，点 P恰好落在直线 AB上的点 P处，
∴CPCP，PCP90，
∴ ECPOCP  90，又∵ PEOB，x轴y轴，
∴OPCOCP90，CEPPOC90，
∴ OPC ECP，在△OCP和EPC中，
OPCECP

COPPEC，

CPCP
∴OCP≌EPCAAS，
∴EPOC2，
把 x 2代入 y5
4
∴P215 
x10得 y521015，
42
，，
2
故答案为215．
，
2
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质以及一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化与旋转，证明三角形全等是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形．
4axy2
【详解】解：原式4ax22xyy2
4axy2．
【点睛】本题主要考查了用提取公因式法和公式法进行因式分解，解题的关键是正确找出公因式，以及掌握完全平方公式a2 2abb2a b2．
-2£
x<1；2,1,0
【分析】分别解不等式①，②，进而求得不等式组的解集，根据不等式组的解集写出所有整
数解即可．
3(x1)2x5,①

【详解】2xx3, ②
2
解不等式①得： x2
解不等式②得： x1
不等式组的解集为：- 2£
它的所有整数解为： 2, 1, 0
x<1
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确的计算是解题的关键．
BD10，DE6
【分析】根据勾股定理求出 AB的长度，根据旋转的性质得出 BDAB， DEAC．
【详解】解：∵在Rt△ABC中， BC8， AC6，
AC2BC2
∴AB10，
∵ Rt△ABC绕点 B逆时针旋转，得到RtDBE，
∴BDAB10，DEAC6．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边相等．
20．(1)m1
(2)
1
x22x
【分析】（1）先按照同分母分式加减运算法则计算，然后再根据分式的性质化简即可；
（2）直接运用分式的混合运算法则计算即可
m22m1
【详解】（1）解：
m22m1
m1
，
m1
m1，

m22m1
，
m1
，
m12
m1
m1．
（2）解： x2
x2x
x24x4
，
x1
x2
xx1
x22
，
x1
x2x1
xx1x22，
1
xx2，
1
x22x．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算、分式的四则混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键．
21．
4,2
x23
【分析】小括号内先通分计算，将除法变成乘法并因式分解，根据乘法法则即可化简，再代
值计算即可．
【详解】解：原式
(2x4 2x)
(x2)2
4
x2
x2
x2
x2
x2(x2)(x2)
4
x2
42
当x4时，原式．
423
【点睛】本题考查分式的化简求值，难度不大，属于基础题型．解题的关键在于熟悉运算法则和因式分解．
22．(1)见解析 (2)见解析
(3)5
2
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
直接利用中心对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
利用割补法求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
解：如图所示：△A2B2C2即为所求；
解： ABC面积= 2�3
1创13112112= 5 ，
答： ABC面积为 5 ．
2
-创-创
2222
【点睛】此题主要考查了中对称变换以及平移变换和三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
23．（1）（1，﹣3）；（2）9；（3）x≤1
yx2

【分析】（1）将两个函数的解析式联立得到方程组yx4
，解此方程组即可求出点 A
的坐标；
先根据函数解析式求得 B、C两点的坐标，可得 BC的长，再利用三角形的面积公式可得结果；
根据函数图象以及点 A坐标即可求解．
yx2

【详解】解：（1）把两个函数解析式联立方程组得， yx4，
x1

解得y3，
所以点 A坐标为（1，﹣3）；
（2）当 y1＝0时，﹣x﹣2＝0，x＝﹣2，则 B 点坐标为（﹣2，0）；当 y2＝0 时，x﹣4＝0，x＝4，则 C 点坐标为（4，0）；
∴BC＝4﹣（﹣2）＝6，
∴△ABC的面积＝1×6×3＝9；
2
（3）根据图象可知，y1≥y2时，在点 A的左侧，所以 x的取值范围是 x≤1．
【点睛】本题考查了一次函数图形上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，一次函数与方程（组）的关系等知识点，能求出 A、B、C 的坐标是解此题的关键．
24．(1)y112x40，y216x
(2)当小李前往该健身房训练 5 到 9次时，方案二所需费用更少；当小李前往该健身房训练，
10次时，两种方案费用一样多；当小李前往该健身房训练 11到 20次时，方案一所需费用更少．
【分析】（1）根据两种方案分别列出函数关系式，即可求解；
（2）分别求出选择不同方案时，x的取值范围，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得： y10.620x4012x40，
y20.820x16x，
即 y1， y2与 x之间的关系式分别为 y112x40， y216x；
（2）解：当16x12x40，即 x10时，两种方案费用一样多；当16x 12x  40，即 x 10时，方案二所需费用更少；
当16x 12x40，即 x10时，方案一所需费用更少；
∴当小李前往该健身房训练 5到 9次时，方案二所需费用更少；当小李前往该健身房训练，
10次时，两种方案费用一样多；当小李前往该健身房训练 11到 20次时，方案一所需费用更少．
【点睛】本题主要考查了列函数关系式，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
【知识再现】a2b2abab；【知识迁移】aba2abb2；【知识运用】100．
【分析】（1）由题意可知，图 1阴影面积为大正方形面积减小正方形面积，图 2剪拼后一个长方形长为a b，宽为a b，据此列等式即可得到答案；
由题意可知，图 3的体积为大正方形体积减小正方形体积，图 4切割拼成的几何体正面面积为a2abb2，高为ab，据此列等式即可得到答案；
先利用完全平方公式求出a2b222，再根据结论对a3b3进行变形，即可计算求值．
【详解】（1）【知识再现】解：根据题意可得： a2b2abab，
故答案为： a2b2abab；
【知识迁移】解：根据题意可得： a3b3aba2abb2 ，故答案为： aba2abb2；
【知识运用】ab4， ab3，
a2b2ab22ab16622，
a3b3aba2abb24223425100．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，利用数形结合的方法解决问题是解题关键．
26．[背景] AECD；60；[探究]： AECD， AFD60；[应用]： AQNT的最小值为
19
【分析】[背景]：根据等边三角形的性质可得 ABBD， ABDEDB 60， CB BE ，进而得到ABEDBC，证明ABEDBC即可得到结论，根据全等三角形的性质可以得到BAEDBC，推出BAEDAEBDCDAE60，即可得出锐角AFD 的大小；
[探究]：△ABD和△CBE是等边三角形，得出 BABD， BEBC， ABDEBC60，
推出ABDDBEEBC DBE ，即EBACBD，进而证明△EBA≌△CBD(SAS) ，得到 AECD ， EAB CDB；设 BD与 AG交于点O，则AOB DOF，得到
AFDABD60，即可得出结论；
[应用]：将PNT绕点 P逆时针旋转60得到△PRQ，连接 AR，过点 R作 RHAN，则
∠NPR  60， PNPR  2， 先证明QPR TPN，进一步证明QPR≌TPN，得到 QRNT，再根据 AQQRAR（当且仅当点Q在线段 AR上时等号成立）得到 AQNT的最小值 AR ，最后依次计算 PH 、 RH、 AH和 AR 即可；
【详解】[背景]：
∵△ABD和△CBE是等边三角形，
∴ABBD，ABDEBC60，CB BE，
∴ABDDBEEBCDBE，
∴ABEDBC，
∴ABEDBC，
∴AECD，BAEDBC，
∴BAEDAEBDCDAE60，
∵DAEBDCADBAFD180，
∴AFD60，
故答案为： AECD ；60．
[探究]：
AECD；AFD 60．
证明：∵△ABD和△CBE是等边三角形，
∴BABD，BEBC，ABDEBC60．
∴ ABDDBEEBCDBE，即EBACBD．
∴△EBA≌△CBD(SAS)．
∴ AECD ，且EAB CDB．
设 BD与 AG交于点O，则AOBDOF，
∴180CDBDOF180EABAOB，即AFD ABD  60，
∴AECD ，AFD60
[应用]：
将PNT 绕点 P 逆时针旋转60得到△PRQ，连接 AR，过点 R作 RHAN，则∠NPR60，
PNPR2，
∵△PQT是等边三角形，
∴PQPT，QPTNPR 60，
∴QPTTPRNPRTPR，
∴ QPR TPN，在QPR和△TPN中，
PQPT

QPRTPN，

PRPN
∴QPR≌TPN(SAS)，
∴QRNT，
∵ AQQRAR（当且仅当点Q在线段 AR上时等号成立），
∴AQNTAR，
∴ AQNT的最小值 AR，
∵RHAN，∠NPR60，
∴PRH90NPR906030，
∴PH1PR1，
2212
3
2
PR2PH2
42(3)2
∴RH

，AHPAPH314，
AH2RH2
∴AR

19，
∴ AQNT的最小值为 19．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．