巴东县第三高级中学2022-2023学年高二下学期3月第二次月考数学试卷(含答案)

这是一份巴东县第三高级中学2022-2023学年高二下学期3月第二次月考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知双曲线C的左、右焦点分别为,,M是双曲线上一点且,则双曲线C的标准方程为( )
A.B.C.D.
3．若圆锥的轴截面为等边三角形,且面积为,则圆锥的体积为( )
A.B.C.D.
4．“”是“直线与直线平行”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5．已知,,实数a,,,b成等差数列,a,,,b成等比数列,则的最小值为( )
A.2B.4C.6D.8
6．已知木盒中有围棋棋子15枚(形状大小完全相同,其中黑色10枚,白色5枚),小明有放回地从盒中取两次,每次取出1枚棋子,则这两枚棋子恰好不同色的概率是( )
A.B.C.D.
7．已知数列满足,,设数列的前n项和为,若,则k的最小值是( )
A.16B.17C.18D.19
8．抛物线有如下光学性质:过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴;反之,抛物线内部平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为F,点A是抛物线C上一点,一条光线沿AF射出,经过抛物线C上的点B(异于点A)反射,反射光线经过点,若,则抛物线C的方程为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知函数若,则实数a的值可以是( )
A.1B.-1C.5D.-5
10．设为等差数列的前n项和，若，，，则( )
A.数列的公差小于0
B.
C.的最小值是
D.使成立的n的最小值是4045
11．已知函数,则( )
A.
B.是函数图象的对称轴
C.函数在上单调递减
D.若,则
12．“太极图”是中国传统文化之一,其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.整个图形是一个圆形,其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆.则下列命题正确的是( )
A.黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界所在圆的方程为
B.直线与白色部分有公共点
C.点是黑色阴影部分(包括黑白交界处)中一点,则的最大值为4
D.过点作互相垂直的直线,,其中与圆交于点A,C,与圆交于点B,D,则四边形ABCD面积的最大值是22
三、填空题
13．在复平面内,复数(其中i为虚数单位)对应的点位于第________象限.
14．在数列中,,,则________.
15．已知椭圆C的方程为,其左、右顶点分别为A,B,一条垂直于x轴的直线l交椭圆C于E,F两点,直线AE与直线BF相交于点M,则点M的轨迹方程为________.
16．已知数列的前n项和为,且,,若对任意恒成立,则实数k的取值范围是________.
四、解答题
17．已知直线l经过直线和的交点,且与直线垂直.
(1)求直线l的方程;
(2)若圆C过点,且圆心C在y轴的负半轴上,直线l被圆C所截得的弦长为,求圆C的标准方程.
18．已知数列是公差不为零的等差数列,且,,成等比数列.
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
19．在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求角A的大小;
(2)若,,点D在边BC上,,求AD的长.
20．如图,在四棱锥中,四边形ABCD为矩形,,为正三角形,平面平面ABCD,E,F分别是棱DC,BM的中点.
(1)求证:平面MAD;
(2)求平面MEF与平面AEF的夹角的余弦值.
21．在数列中,,,
（1）证明：是等比数列;
（2）若数列的前n项和,,求数列的前n项和.
22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点(A,B不在x轴上)，的周长为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点P在椭圆C上，且(O为坐标原点)，求的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：由,得或,则.故选B,
2．答案：D
解析：设双曲线C的方程为,半焦距为c,则,,故,,所以双曲线C的标准方程为.故选D.
3．答案：C
解析：设底面半径为r,由圆锥的轴截面是等边三角形且面积为,得,解得,圆锥的高,所以圆锥的体积为.故选C.
4．答案：C
解析：若，则两条直线分别为，，
显然两条直线相互平行，充分性成立；
若直线与直线平行，
则，且，
所以，必要性成立.
故选：C.
5．答案：B
解析：由题意得,,所以,当且仅当时等号成立,所以的最小值为4,故选B.
6．答案：A
解析：从盒中随机取出1枚棋子,“是黑棋子”记为事件A,“是白棋子”记为事件B,则,,两枚棋子恰好不同色包含:第一次取出黑棋子,第二次取出白棋子;第一次取出白棋子,第二次取出黑棋子.这两个事件是互斥事件.第一次取出黑棋子,第二次取出白棋子相互独立,概率为;第一次取出白棋子,第二次取出黑棋子也相互独立,概率为.所以这两枚棋子恰好不同色的概率是.故选A.
7．答案：B
解析：因为,所以数列是等差数列,且首项为,公差为3,则,即,所以,因此.由,得,解得,又,所以k的最小值为17.故选B.
8．答案：A
解析：因为过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴,所以由反射光线经过点,得,所以.又,所以直线,与抛物线联立,得,解得,所以点,所以,所以,即,解得,所以抛物线C的方程为.故选A.
9．答案：BC
解析：当时,,解得;当时,,解得,又,所以舍掉.综上所述,或.故选BC.
10．答案：BD
解析：由，得，整理可得，所以等差数列为递增数列，公差大于0，A错误；又，所以，即，所以，，的最小值是，所以B正确，C错误；因为，，所以使成立的n的最小值是4045，D正确.故选BD.
11．答案：BCD
解析：,因为,所以,故A错误;令,则,所以是函数图象的对称轴,故B正确;令,则,又,所以函数在上单调递减,故C正确;由,得,所以,故D正确.故选BCD.
12．答案：ABD
解析：对于A,黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界所在圆的圆心为,半径为2,所以圆的方程为,故A正确;对于B,白色部分包含左侧小半圆和右侧大半圆,直线的斜率大于0,且过点,所以直线与右侧大半圆无公共点,左侧小半圆的方程为,圆心为,半径为2,圆心到直线的距离为.所以左侧小半圆与直线有公共点,故B正确;对于C,黑色阴影部分小半圆的方程为,设,由题意知直线与圆有公共点,此时,解得,又黑色阴影部分小半圆在y轴右侧,故,故C错误;设原点O到直线,的距离分别为,,则,,且,四边形ABCD的面积为,当且仅当,即时等号成立,所以四边形ABCD面积的最大值是22,故D正确.故选ABD.
13．答案：四
解析：因为,所以复数z对应的点的坐标为,位于第四象限.
14．答案：2022
解析：因为,所以,所以,所以是常数列,又,所以.
15．答案：
解析：由题意知,,设直线l为,,,,由A,E,M三点共线及B,F,M三点共线,得,,两式相乘化简,得,又,所以,即,又,即,所以点M的轨迹方程为.
16．答案：
解析：当时,,所以,当时,,即,所以,所以数列是以1为首项,3为公比的等比数列,所以,所以,因为对任意恒成立,所以对任意恒成立,所以,又当时,取得最小值,所以实数k的取值范围是.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)由已知，得解得两直线交点为,设直线l的斜率为k,因为直线l与垂直,所以,解得,所以直线l的方程为,即.
(2)设圆C的标准方程为,则由题意,得,解得或(舍去),
所以,所以圆C的标准方程为.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)设等差数列的公差为,则,,,
因为,,成等比数列,所以,即,
解得(舍去)或,
所以.
(2)由(1)可知,
所以
.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1),
由正弦定理可得,
即,所以,
因为,故,又,故.
(2)在中,因为,
所以,
即,
解得.
20．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)证明:取MA的中点G,连接FG,DG,因为点F是棱BM的中点,所以,,因为四边形ABCD为矩形,E是棱DC的中点,所以,,所以,,所以四边形DEFG为平行四边形,所以,又平面,平面MAD,所以平面MAD.
(2)取AD,BC的中点分别为O,,连接,,因为为正三角形,所以,又平面平面ABCD,平面平面,平面MAD,所以平面ABCD,又平面ABCD,所以.因为O,分别为AD,BC的中点,四边形ABCD为矩形,所以.以O为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系,则,,,,,,,所以,,.设平面MEF的一个法向量为,则即令,则,设平面AEF的一个法向量为,则即令,则,设平面MEF与平面AEF的夹角为,所以,
即平面MEF与平面AEF的夹角的余弦值为.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为,所以,
又,所以,所以.所以是首项为1,公比为的等比数列.
（2）由（1）知,因为数列的前n项和,
所以当时,,当时,,满足上式,
所以,.所以.
,①
由①,得,②
①②相减得所以.
22．答案：(1)
(2)
解析：(1)由的周长为，得，即，
又离心率，，，
椭圆C的标准方程为.
(2)由(1)知的坐标为，
①当直线l的斜率不存在时，，，则；
②当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为且，
联立，得，
设，，
，，
，
设点，则，即，代入椭圆方程得，
解得，，，
，又，的取值范围是，
综上所述，的取值范围是.