株洲市第二中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份株洲市第二中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．集合,,则中的元素个数为( )
A.3个B.2个C.1个D.0个
2．函数的定义域为全体实数,则( )
A.RB.C.D.
3．若为的内角,且,则为( )
A.锐角B.直角C.钝角D.
4．已知函数,,的零点分别为p,q,r,则p,q,r的大小顺序为( )
A.B.C.D.
5．一段时间内,某养兔基地的兔子快速繁殖,兔子总只数的倍增期为21个月(假设没有捕杀与其他损耗).那么一万只兔子增长到一亿只兔子大约需要年( )
A.23B.22C.21D.20
6．若,则的值是( )
A.B.1C.D.2
7．若方程的实根在区间上,则( )
A.-1B.2C.-1或2D.1
8．若函数在区间内恰有一个零点,则( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．下列各命题中正确的是( )
A.与且互为反函数B.函数的定义域为
C.已知为第一象限的角,则是第一、三象限的角
D.时针转过4小时,则时针转过的弧度数为
10．以下结论正确的是( )
A.已知,,,则
B.的定义域为
C.的值域为
D.的值域为
11．函数部分图像如图所示,则( )
A.B.C.D.
12．下列命题中,正确的是( )
,其中,,函数的图像向右平移个单位长度后,得到为偶函数,则的最小值为4
D.方程的根的个数为12个
三、填空题
13．用二分法求函数在区间的零点,若要求精确度,则至少进行___________次二分．
14．的单调递减区间是_____________．
15．设,,利用三角变换,估计在,4,6时的取值情况,猜想对x取一般值时的取值范围是____________．
四、双空题
16．已知非直角三角形中,满足,,则_________,_________．
五、解答题
17．不通过画图,写出函数的振幅、周期、初相,并说明如何由正弦曲线得到它的图像．
18．已知,(为常数)．
(1)判断的奇偶性并证明;
(2)若,求的单调区间．
19．已知,且,求解下列问题．
(1)求的最值;
(2)求的最值;
(3)求的最小值．
20．已知函数在区间上的最大值6．
(1)求b的值;
(2)求在的对称轴方程;
(3)求在的单调递增区间．
21．如图所示,,角C和角D为直角,AC与BD交于点P且,记．
(1)写出的面积关于x的函数表达式;
(2)求的面积最大值．
22．在半径为R的半圆形空地上,某小区准备设计三个矩形地块栽种一种花草,三个扇形,,的圆心角均为,且矩形的地块具有对称性,按如图所示的方案,矩形分别内接于对应的扇形,分别求扇形和内接矩形的最大值．
参考答案
1．答案：D
解析：集合A表示数的集合,集合B表示点的集合,
故,即其元素个数为0个．
故选：D．
2．答案：C
解析：当时,显然符合题意,
当时,,解得,综上所述,．
故选：C．
3．答案：C
解析：由,得,
可得,又为的内角,
,,可得为钝角．
故选：C．
4．答案：B
解析：根据题意,对于,易得在R上为增函数,
由于,,则的零点在上,即,对于,易得在上为增函数,
,,则在零点在上,即,
对于,易得在R上为增函数,且,
即函数的零点为,即;
故有．
故选：B．
5．答案：A
解析：设兔子由一万只增长到一亿需要x期,
则,
即,两边取对数,得,
解得,
因为月年．
故选：A．
6．答案：D
解析：若,则,．
,
故选：D．
7．答案：C
解析：由于方程,显然,
所以,在同一平面直角坐标系中作出函数与的图象,
由图象上可得出：方程在区间和内各有一个实根．
所以或．
故选：C．
8．答案：D
解析：当时,,解得,符合题意;
当时,二次函数的判别式为：,
若,可得,此时函数的零点为,符合题意;
当,时,只需,所以且;
当时,,经验证符合题意;
当时,,经验证符合题意;
所以实数a的取值范围为．
故选：D．
9．答案：AC
解析：对于A：根据函数与函数且的性质,函数的图象关于直线对称,故这两个函数互为反函数,故A正确;
对于B：函数的定义域满足,整理得,故函数的定义域为,故B错误;
对于C：由于为第一象限的角,故,,整理得,,当即为偶数时,则是第一象限角,当即为奇数时,是第三象限角,故是第一、三象限的角,故C正确;
对于D：时针转过4小时,则时针转过的弧度数为,故D错误．
故选：AC．
10．答案：ACD
解析：对于A,或;①
又,,故;②
由①②得,A正确;
对于B,由,得的定义域为,B错误;
对于C,,故的值域为,C正确;
对于D,,
当时,取得最大值;
当时,取得最小值1,故的值域为,D正确．
故选：ACD．
11．答案：AB
解析： 根据函数部分图像,
可得,求得,故A正确．
根据五点法作图可得,
,,,故B正确．
根据,可得C错误．
根据五点法作图,可得,,故有,
,故D错误．
故选：AB．
12．答案：ABC
解析：对于A,,正确;
对于B,
,正确：
对于C,因为为偶函数,
所以,,
即,,则,,所以,
所以,
因为,所以,,
所以,
当且仅当,即时,等号成立,
所以的最小值为4,正确;
对于D,作出函数和的图象,
如图：
则方程的根的个数为函数和的图象交点个数,
而,,,,
结合图知,两函数共有10个交点,
故方程的根的个数为10个,错误．
故选：ABC．
13．答案：8
解析：根据题意,原来区间的长度等于2,
每经过二分法的一次操作,区间长度变为原来的一半,
则经过n次操作后,区间的长度为,
若要求精确度,即,解可得,
即至少进行8个二分．
故答案为：8．
14．答案：,
解析：函数的定义域满足,解得,,
所以函数的定义域为,,
的单调递减区间为,,
所以函数的单调递减区间为,．
故答案为：,．
15．答案：
解析：当时,;
当时,,
;
当时,,
;
由以上规律可以猜想：当时,的取值范围是;
故答案为：．
16．答案：;
解析：由题意知,,
所以,,
又,即,
所以,
所以,解得或,
又,
所以,所以,
所以,所以,所以．
故答案为：;.
17．答案：见解析
解析：函数的振幅为,周期为,初相为;
把正弦曲线向右平移个单位,得的图像;
再纵坐标不变,横坐标变为原来的倍,得的图像;
最后横坐标不变,纵坐标变为原来的倍,得的图像．
18．答案：（1）见解析
(2)
解析：（1）为奇函数,证明如下：
由可得或,,
则,
所以,
所以为奇函数;
(2)令,
则的单调递增区间为,,没有单调递减区间,
因为,
19．答案：（1）25
（2）10
(3)
解析：（1）因为,,,
当且仅当时取等号,
所以,即的最小值为25;
（2）由,当且仅当时取等号,
解得,(舍负),
所以的最小值为10;
(3)由可得,,所以,
当且仅当且,即,时取等号,
所以的最小值为．
20．答案：（1）
（2）,
（3）,
解析：（1）,
因为,所以,
所以当时,函数取到最大值,即,
解得;
（2）函数的对称轴方程满足,,解得,;
（3）函数的单调递增区间满足,,
解得,,
所以函数的单调递增区间为,．
21．答案：（1）
（2）
解析：（1）设,在中,因为,,
所以,又,所以,
所以,所以,
则,
所以,
又,所以,
所以的面积关于x的函数表达式为;
（2）由(1)知,令,则
,
当且仅当,即,
即时,等号成立,
故当时,的面积取到最大值为．
22．答案：
解析：在扇形中,其内接矩形为,如图1：
设,在直角中,由,可得,,
又,
所以
,
当,则时,则形内接矩形的面积最大,最大值为,在扇形中,其内接矩形为,取圆弧的中点为M,连接,
设,,,
如图2：
则,于是,
又,
所以
,
当时,即时,扇形内接矩形的面积最大,最大值为．