河南省郑州市二七区2023-2024学年下学期八年级数学第一次月考模拟卷

这是一份河南省郑州市二七区2023-2024学年下学期八年级数学第一次月考模拟卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各式：①；②；③；④；⑤．其中是一元一次不等式的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC工程人员这种操作方法的依据是（ ）
A．等边对等角B．等角对等边
C．垂线段最短D．等腰三角形“三线合一”
4．如图，一块直尺与一个直角三角形如图放置，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
5．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，首先应该假设这个三角形中（ ）
A．每一个内角都大于60°B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°D．有一个内角小于60°
7．三角形三边长为、、，满足，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．直角三角形
8．如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，，．以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点D；再分别以点C和点D为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线交于点F，则的长为（ ）

A．5B．6C．7D．8
10．在矩形中，，，点P是线段上一个动点，若将沿折叠，使点B落在点E处，连结、，若P、E、D三点在同一条直线上，则的长度是（ ）
A．1B．1.5C．2D．0.5
二、填空题（每题3分，共15分）
11．如图，在四边形中，，若根据“”判定，则需要添加的条件是 ．
12．命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是 ，
它是 (填真/假)命题．
13．如图，在中，是的平分线，于E，，则的长为 ．
14．若关于x的不等式组有且只有3个整数解，则a的取值范围是 ．
15．如图，已知中，，，直角的顶点P是的中点，两边分别交于点E、F，当在内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出下列四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④，上述结论中始终正确的有 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16．（8分）解下列不等式并把解集表示在数轴上．
(1)； (2)．
17．下面是某同学解不等式组的过程，请阅读并完成相应的任务．
解：由不等式①，得．第一步
解得．第二步
由不等式②，得．第三步
移项，得．第四步
解得 第五步
所以，原不等式组的解集是．第六步
(1)任务一：小明的解答过程中，第______步开始出现错误，错误的原因是______．
(2)任务二：请你求出这个不等式组正确的解集．
18．已知：如图，在中，于点D，E为AC上一点，且，．
(1)求证：；
(2)已知，，求AF的长．
19．电信公司要修建一座电视信号发射塔P，按照设计要求，发射塔P到两城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．请在图中作出发射塔P的位置．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

20．已知关于x、y的方程组．
(1)若此方程组的解满足，求a的取值范围；
(2)在（1）的条件下，若关于的不等式的解集为，求满足条件的a的整数值．
21．习近平总书记指出：“扶贫先扶志，扶贫必扶智”．某企业扶贫小组准备在端午节前夕慰问贫困户，为贫困户送去温暖，该扶贫小组购买了一批慰问物资并安排两种货车运送．据调查得知，1辆大货车与5辆小货车一次可以满载运输650件；2辆大货车与3辆小货车一次可以满载运输600件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)计划租用两种货车共10辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元．若运输物资不少于1300件，且总费用不超过4600元．请你计算该扶贫小组共有几种运输方案？并计算哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？
22．定义运算：当时，；当时，．如：；；．根据该定义完成下列问题：
(1)_________，当时，_________；
(2)若，求x的取值范围；
(3)如图，已知直线与相交于点，若，结合图象，直接写出x的取值范围；
23．阅读理解，自主探究：“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
(1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，求证：；
(2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，，，求的长；
(3)拓展延伸：在平面直角坐标系中，，点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，为等腰直角三角形；
①如图3，当时，求点C的坐标；
②直接写出其他符合条件的C点的坐标．
2023-2024学年下学期八年级数学第一次月考模拟卷参考答案：
1．A
【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式，其中只含有一个未知数，且未知数的最高次为1的不等式叫做一元一次不等式．解答此类题关键是会识别常见的不等号：．
【思路点拨】解：①未知数的次数不是1，不是一元一次不等式，不符合题意；
②含有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意；
③是一元一次不等式，符合题意；
④不是不等式，不符合题意；
⑤是一元一次不等式，符合题意；
∴一元一次不等式一共有2个，
故选：A．
2．D
【分析】
本题考查在数轴上表示一元一次不等式的解集，解不等式求得其解集，然后在数轴上表示出其解集即可，熟练掌握解一元一次不等式及正确在数轴上表示解集．
【思路点拨】
解：，
两边同乘得：，
那么在数轴上表示其解集如图所示：
，
故选：．
3．D
【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【思路点拨】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．
4．B
【分析】
本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，根据平行线的性质求出，然后根据邻补角的定义求出，最后根据直角三角形两个锐角互余求出即可．准确识图是解题的关键．
【思路点拨】解：如图，
直尺的两边互相平行，
，
，
故选：．
5．B
【分析】
本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键；因此此题可根据不等式的性质进行排除选项．
【思路点拨】解：A、由可得，故不符合题意；
B、由可得，故符合题意；
C、由，但的大小不确定，所以不一定成立，故不符合题意；
D、由，当时，则，所以不一定成立，故不符合题意；
故选B．
6．A
【分析】本题考查的是反证法的运用，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判定．
【思路点拨】解：反证法证明命题“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，
首先应假设这个三角形中每一个内角都大于60°．
故选：A．
7．D
【分析】由非负数的性质可求得、、的值，再利用勾股定理的逆定理进行判断即可．
【思路点拨】解：，
，，，
，，，
，，
，
由勾股定理的逆定理可知，是直角三角形．
故选：D．
【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，利用非负数的性质求得、、的值是解题的关键．
8．D
【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合是解题关键．直接利用图象得出不等式的解集．
【思路点拨】解：如图所示：
一次函数与一次函数的图象交于点，
关于的不等式的解集是：．
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了作图-基本作图，根据直角三角形的性质和特殊角的三角函数即可得到结论．
【思路点拨】解：由作图知，，
∵．
∴,
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10．C
【分析】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，根据矩形的性质和折叠的性质得到，利用勾股定理算出，设，则，，在中，根据勾股定理建立方程求解，即可解题．
【思路点拨】解：当P、E、D三点在同一条直线上，如图所示：
在矩形中，，，，
根据折叠的性质，可得，，，
，
在中，根据勾股定理，得，
设，则，，
在中，根据勾股定理，得，
解得，
，
故选：C．
11．或
【分析】本题考查用“”证明三角形全等． 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键．
根据已知条件分析还缺少一对对应直角边相等，据此便可知晓需要添加的条件．
【思路点拨】，
和是直角三角形，
在和中
或
故答案为：或
12． 两个锐角互余的三角形是直角三角形． 真
【分析】根据给出的命题将其结论与条件互换即得到其逆命题，然后分析其真假即可．
【思路点拨】解：逆命题为：如果三角形有两个角互余，则三角形为直角三角形．
因为符合三角形内角和定理，故是真命题．
故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形．真
【点睛】此题主要考查学生对逆命题的掌握及对命题真假的判定能力．
13．2
【分析】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
先根据角平分线的性质得出，再由即可得出结论．
【思路点拨】解：是的平分线，且,
是等腰直角三角形，
故答案为∶3．
14．
【分析】本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集，然后根据不等式组有且只有3个整数解，即可得到a的取值范围．
【思路点拨】
解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得： ，
∴该不等式组的解集是，
∴不等式组有且只有3个整数解，
∴这三个整数解是3，4，5，
∴，
解得，
故答案为：．
15．①②④
【分析】本题以旋转为背景考查了全等三角形的判定和性质，解题时需要运用等腰直角三角形的判定及性质，根据题意得出是解答此题的关键环节．
利用证明，根据全等三角形对应边相等可得，，根据全等三角形的面积相等，推出，即可求解．
【思路点拨】解：解：、都是的余角，
，
，且P是的中点，
，
在和中，
，
，故结论①正确；
，
，
又，
是等腰直角三角形，故结论②正确；
随着点E的变化而变化，
，故结论③错误；
，
，
，
故结论④正确；
则正确的选项有：①②④，
故答案为：①②④
16．(1)，数轴见解析；
(2)，数轴见解析．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题根据是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤．
（1）根据解一元一次不等式的一般步骤，移项，合并同类项，系数化1,求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可．
（2）根据解一元一次不等式的一般步骤，确保正确无误分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1,求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可．
【思路点拨】（1）解：
∴解集在数轴上表示为：
（2）解：
，
∴解集在数轴上表示为：
17．(1)五，没有改变符号；
(2)
【分析】
本题考查了解一元一次不等式组；
（1）根据等式的性质可判断第五步错误；
（2）通过解一元一次不等式得到这个不等式组正确的解集．
【思路点拨】（1）
明的解答过程中，第五步开始出现了错误，产生错误的原因是没有改变符号；
故答案为：五，没有改变符号；
（2）
不等式组正确的解集是．
解：由不等式①，得．
解得．
由不等式②，得．
移项，得．
解得
所以，原不等式组的解集是．
故答案为：．
18．(1)见解析
(2)2
【分析】（1）由可得和都是直角三角形，已经给出一条直角边和斜边对应相等，直接用“HL”证明全等即可；
（2）由可得对应边相等，通过勾股定理求出BD，进而求出AF的长．
【思路点拨】（1）证明：∵于点，
∴，
在与中，
∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质，解题的关键在于利用全等三角形的性质将相等的边进行转化．
19．见解析
【分析】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的性质，根据题意，点既在线段的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上．得到两线交点即为发射塔的位置是解决问题的关键．
【思路点拨】解：设两条公路相交于O点．P为线段的垂直平分线与的平分线交点或是与的平分线交点即为发射塔的位置．
如图，满足条件的点有两个，即P、．
20．(1)
(2)、0
【分析】本题考查解二元一次方程组和一元一次不等式；
（1）根据列出关于的不等式，可解得的范围；
（2）结合（1），由为整数，可得的值．
【思路点拨】（1），
①②得：，
，
，
，
解得；
（2）关于的不等式的解集为，
，
，
，
，
满足条件的的整数值是、0．
21．(1)1辆大货车一次满载运输150件物资，1辆小货车一次满载运输100件物资
(2)一共有3种租车方案，租用大货车6辆，小货车4辆，所需费用最少，最少费用是4200元
【分析】
本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的应用．
（1）假设出1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输的件数，列出二元一次方程组即可；
（2）先根据运输物资和费用求出大小货车的辆数，再求出费用比较即可．
【思路点拨】（1）设1辆大货车一次满载运输件物资，1辆小货车一次满载运输件物资，
根据题意得
解得
1辆大货车一次满载运输150件物资，1辆小货车一次满载运输100件物资；
（2）设租用大货车辆，租车费用为元，则租用小货车辆，
运输物资不少于1300件，且总费用不超过4600元
解得
为整数
可取6，7，8
一共有3种租车方案
根据题意得
随的增大而增大
当时，取最小值
此时．
租用大货车6辆，小货车4辆，所需费用最少，最少费用是4200元．
22．(1)-3，2
(2)
(3)
【分析】（1）由定义可知：的值就是取−3和2的最小值，即−3；同理可得另一个式子的结果；
（2）由定义列不等式解出即可；
（3）根据图象可知：当时，有；
【思路点拨】（1）解：，当 时，；
故答案为：−3，x；
（2）由题意得：，
，
；
（3）∵，
∴，
由图象得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式以及新定义的理解，此类题目要认真阅读并理解新定义的内含：结果取最小值，第三问利用数形结合的思想求解更简便．
23．(1)见解析
(2)
(3)①；②，，
【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答．
（2）因为，，得，因为，即可通过证明，再运用全等三角形的性质，即可作答．
（3）①过点B作轴，过点A作的延长线，易得，通过证明，再设点B的坐标为，，根据，进行列式作答即可；②分类讨论，当，，和分别作图，接着证明相应三角形全等，根据全等三角形的对应边相等，列式作答即可．
【思路点拨】（1）解：∵于D，，
∴
即，
∵
∴
∵
∴
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∵
∴
则
∵
∴
即；
（3）解：①过点B作轴，过点A作的延长线，如图：
因为过点A作的延长线
∴
∵过点B作轴，
∴
∵
∴
∴
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为，
∵，
∴，
解得，
故点C的坐标为；
②，，过点B作轴，过点A作射线轴，且过点B作，如图：
易知
因为
∴
∵过点B作轴，过点B作
∴
∵
∴
∴
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为，
∵，
∴，
此时无解，
当，，过点A作直线轴，与轴交于点D，过点B作于点E，如图：
∵，
∴
即
∵
∴
∴
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为，
∵，
∴，
解得
故点C的坐标为；
当，，过点A作直线轴，过点B作于点E，过点C作于点D，如图：
∵，
∴
即
∵
∴
∴
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为，
∵，
∴，
解得
故点C的坐标为；
当时，，过点C作直线轴，过点B作于点E，过点A作于点D，如图：
∵，
∴
即
∵
∴
∴
∵点B在第一、第三象限的角平分线l上．点C在y轴上，
∴设点B的坐标为，
∵，
∴，
解得
故点C的坐标为；
综上，其他符合条件的C点的坐标为，，
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平角的定义，直角三角形的两个锐角互余，“一线三直角”的模型，综合性较强，难度较大，灵活使用分类讨论思想以及正确掌握作辅助线是解题的关键．