新疆维吾尔自治区2024年1月普通高中学业水平模拟考试数学试题(原卷版+解析版)
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1. 已知F为椭圆的右焦点,P为C上的一点,若,则点P的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】设出点P的坐标,由两点间的距离公式及点在椭圆上,即求.
【详解】由题意,,设,则
,
解得,即.
故答案为:.
2. 一个袋子里装有4个红球3个白球3个蓝球,每次随机摸出1个球,摸出的球不再放回.则第一次摸到红球的概率是_______,第一次没有摸到红球且第二次摸到红球的概率是_______.
【答案】 ①. ## ②.
【解析】
【分析】第一空,根据古典概型的概率公式即可求得答案;第二空,根据全概率公式结合条件概率的计算即可求得答案.
【详解】设表示“第i次摸到红球”,表示“第i次摸到白球”,表示“第i次摸到蓝球”,,
则第一次摸到红球的概率为;
第一次没有摸到红球第二次摸到红球包括第一次摸到白球第二次摸到红球,和第一次摸到蓝球第二次摸到红球,
所以所求概率为 ,
故答案为:.
3. 冬奥会的两个吉祥物是“冰墩墩”和“雪容融”,“冰墩墩”将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合,体现了冰雪运动和现代科技特点,冬残奥会吉祥物“雪容融”以灯笼为原型进行设计创作,顶部的如意造型象征吉祥幸福,小明在纪念品商店买了3个“冰墩墩”和2个“雪容融”,随机选了3个作为礼物寄给他的好朋友小华,则小华收到的礼物中既有“冰墩墩”又有“雪容融”的概率为__________.
【答案】##09
【解析】
【分析】利用事件:小华收到的礼物中既有“冰墩墩”又有“雪容融”的对立事件:小华收到的礼物中只有“冰墩墩”的概率即可求解.
【详解】依题意,
设事件:小华收到的礼物中既有“冰墩墩”又有“雪容融”,
事件:小华收到的礼物中只有“冰墩墩”,
则事件与事件互为对立事件,
则有,.
故答案为:.
4. 在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,,则角A的大小为______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用三角恒等变换,已知三角函数值求角可得,然后利用正弦定理即求.
【详解】由,得,,
所以,
由正弦定理,得,又,
所以A= 或(舍去)
故答案为:.
5. 为圆:上任意一点,且点到直线:和:距离之和与点的位置无关,则的取值范围是_______.
【答案】
【解析】
【分析】作出图形,结合图形可知当圆位于直线与之间时即为所求,根据直线与圆相切时是临界值即可求解.
【详解】由图可知当圆位于两直线与之间时,
点到两直线和的距离之和即为与两平行直线间的距离,
即点到直线和的距离之和与点的位置无关,
当直线与圆相切时,,解得或(舍去),所以,
即的取值范围是,
故答案为:.
6. 三个顶点的坐标分别是,则外接圆的标准方程是__________.
【答案】
【解析】
【分析】设出圆的一般方程为,利用待定系数法,分别将三个点坐标代入圆的方程,解方程组求出,从而得出圆的一般方程,再根据圆的一般方程和标准方程的互化,即可得出答案.
【详解】设所求圆的一般方程为:,,
由圆经过三点,
,解得:,
则所求圆的一般方程为:,
所以的外接圆的标准方程是:.
故答案为:.
7. 以函数的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是正三角形,则__________.
【答案】##
【解析】
【分析】作出函数的大致图像,先由正弦函数的性质得,,再由正三角形的性质推得,从而利用三角函数的周期公式即可得解.
【详解】作出函数的大致图像,不妨取如图的相邻三个最值点,设其中两个最大值点为,最小值点为,过作交于,如图,
根据正弦函数的性质可知,,
因为是正三角形,所以,
故,则,
又,则,故,所以.
故答案为:.
二、选择题.(把正确答案的序号填在括号里)(30分)
8. 已知集合,,则集合中元素的个数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】利用交集的概念得出,从而得到集合元素个数.
【详解】∵集合,,
即集合中共有2个元素.
故选:A.
9. 已知集合,,则( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次不等式的解法求得集合,再根据交集定义求解.
【详解】由可得解得或,
所以或,
又因为,所以,
故选:B.
10. 已知集合,且,则集合( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据一元二次不等式的性质求出集合,然后再根据集合中元素的特征即可求解.
【详解】由题意可知:,
因为集合,集合,且,
所以,
故选:.
11. 若复数z的共轭复数是,且,,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的四则运算法则以及共轭复数的概念计算即可.
【详解】由题意,不妨假设 ,则 ,且 ,
, , ;
故选:C.
12. 十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”它在现代数学的发展过程中有着重要意义,若函数,则下列实数不属于函数值域的是( )
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知条件求出,利用分段函数分段处理及函数值域的定义即可求解.
【详解】由题意可知
所以,,,而无解.
故选:C.
13. 已知平面向量满足与的夹角为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平方的方法化简,由此求得与的夹角.
【详解】设与的夹角为,
由两边平方得,
即,
由于,所以.
故选:C
三.解答题:共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
14. 某学校为了解学生中男生的体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)是否存在较女线性关系,搜集了7位男生的数据,得到如下表格:
根据表中数据计算得到y关于x的线性回归方程为 ,求.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定数表,求出样本的中心点,再代入计算作答.
【详解】由题中数据可得:,
,于得,解得,
所以.
15. 在中,分别为内角的对边,.
(1)若,求的值;
(2)求的最大值.
【答案】(1)1 (2)
【解析】
【分析】(1)利用两角和与差的正弦公式化简得,则,则得到的值;
(2)利用余弦定理和辅助角公式得,则,解出,则得到最大值.
【小问1详解】
由得,
即,
即
即,因为,
所以,即,
由得,故.
【小问2详解】
由结合余弦定理得,
则,
于是,
即.
解得,
故当时,有最大值.
16. 如图,四边形中,,,,,.
(1)求的面积;
(2)求线段的长度.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据已知条件及同角三角函数的平方关系,利用三角形的内角的范围及三角形的面积公式即可求解;
(2)根据(1)的结论及余弦定理,利用正弦定理及三角函数的诱导公式即可求解.
【小问1详解】
因为,
所以,即.
因为为的内角,
所以.
又,
所以,
联立,得,,
所以的面积为.
【小问2详解】
由(1)知,,
由余弦定理,得.
设,由正弦定理,得,即,
所以.
在中,由余弦定理,得,
所以.
17. 在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为(其中).
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)若为曲线C上一点,当取得最大值时,求点M的坐标.
【答案】(1);
(2).
【解析】
【分析】(1)根据极坐标和直角坐标互化公式即可求出;
(2)设,,,可得,再利用三角函数的性质即得.
【小问1详解】
由得,
又,,
则,
即,
所以曲线C的直角坐标方程为.
【小问2详解】
设,,,
则,
其中满足,.
当时,取最大值.
此时,.
所以点M的坐标为.
18. 已知函数,,.
(1)判断的单调性;
(2)若有唯一零点,求的取值范围.
【答案】(1)在上单调递增.
(2).
【解析】
【分析】(1)求出函数的导数,判断其正负,即可确定函数单调性.
(2)求出函数的导数,对a分类讨论,判断函数单调性,结合函数最值以及零点存在定理判断函数零点个数,综合即可求得答案.
【小问1详解】
定义域 ,
记,
当时,;当时,,
∴在上单调递减,在上单调递增,
故,
∴在上单调递增.
小问2详解】
定义域为R,,
①当时,有唯一零点,符合题意;
②当时,,当时,在单调递减;
当时,在单调递增,
故,
若,则无零点,不符题意;
若,有唯一零点,符合题意;
若,则,又,
时,,,∴ ,
故在内各有一个零点,函数有两个零点,不符题意;
③当时,当时,
当时,
则在上单调递增,在上单调递减,
又,
时,令,令,
即在单调递增,故,
故在单调递增,则,
所以,故,则,
故此时在上有唯一零点,符合题意;
综上,a的取值范围为.
【点睛】方法点睛:解答本题第二问根据零点的个数求参数的范围时,综合性较强,计算量大,求出函数的导数后,对a分类讨论,判断函数的单调性,结合导数知识以及零点存在定理,判断零点个数,即可解决问题.序号
1
2
3
4
5
6
7
身高x(cm)
166
173
174
178
180
183
185
体重y(kg)
57
62
59
71
67
75
78
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