2024春八年级数学下册第17章一元二次方程综合素质评价试卷附解析（安徽专版沪科版）

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第17章综合素质评价一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的．1．下列方程中，一定是一元二次方程的是(　　)A．x2－2＝0 B．x2＋y＝1 C．x－eq \f(1,x)＝1 D．x2＋x＝x2＋12．【2023·石家庄第四十二中学期中】关于x的方程x(x－1)＝3(x－1)的解是(　　)A．x＝3 B．x＝1 C．x＝3或x＝1 D．无实数解3．【2023·合肥包河大地中学阶段性检测】已知方程x2－ax＋3＝0可转化为(x－3)2＝b的形式，则a，b的值分别是(　　)A．6，6 B．－3，6 C．3，12 D．－3，124．已知实数a，b满足(a2＋b2)2－2(a2＋b2)＝8，那么a2＋b2的值是(　　)A．－2 B．4 C．4或2 D．4或－25．在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为(　　)A．a(1－x)2＝70%a B．a(1＋x)2＝70%a C．a(1－x)2＝30%a D．30%(1＋x)2a＝a6．若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是(　　)7．若关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根同为负数，则(　　)A．p>0且q>0 B．p>0且q<0 C．p<0且q>0 D．p<0且q<08．【母题：教材P44练习T1】如果两个连续奇数的积是143，则这两个数的和为(　　)A．24 B．－24 C．24或－24 D．无法确定9．若a，b是关于x的方程x2＋(m－5)x＋7＝0的两根，则(a2＋ma＋7)(b2＋mb＋7)的值是(　　)A．365 B．210 C．175 D．24510．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列说法中：①若 b＝2eq \r(ac)，则此方程一定有两个相等的实数根；②若此方程有两个不相等的实数根，则方程x2－bx＋ac＝0也一定有两个不相等的实数根；③若a－b＋c＝0，则此方程一定有两个不相等的实数根；④若x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，则b2－4ac＝(2ax0＋b)2，其中正确的有(　　)个．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．【2023·怀化改编】关于x的方程x2＋mx＝0的一个根是－2，则m的值为________．12．关于x的方程(m－3)x|m|－1＋mx＋1＝0是一元二次方程的条件是________．13．【原创题】若平面上有n个点，任意3点都不共线，这些点共能确定21条直线，则n的值是________．14．观察下列方程：①x＋eq \f(2,x)＝3；②x＋eq \f(6,x)＝5；③x＋eq \f(12,x)＝7，可以发现它们的解分别是①x＝1或x＝2；②x＝2或x＝3；③x＝3或x＝4.利用上述材料所反映出来的规律，解答下列问题．(1)方程x＋eq \f(42,x)＝13的解为________；(2)关于x的方程x＋eq \f(n2＋n,x－3)＝2n＋4(n为正整数)的解为________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．【2023·六安裕安区期中】解方程：x(x＋2)＝3x＋6.16．已知关于x的一元二次方程mx2－4x＋2＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．若一个等腰三角形的三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，求n的值．18．定义新运算“★”如下：当a≥b时，a★b＝ab＋b；当a0，b>0)的方程的图解法是：如图，以eq \f(a,2)和b为两直角边作Rt△ABC，再在斜边上截取BD＝eq \f(a,2)，则AD的长就是所求方程的解．(1)请用含字母a，b的代数式表示AD的长；(2)请利用你已学的知识说明该图解法的正确性，并说说这种解法的遗憾之处．六、(本题满分12分)21．【2023·合肥蜀山区期中】改编已知x1，x2是关于x的方程(x－2)(x－m)＝(p－2)(p－m)的两个实数根．(1)求x1，x2的值；(2)若x1，x2是某直角三角形的两直角边的长，当实数m，p满足什么条件时，该直角三角形的面积最大？并求出其最大值．七、(本题满分12分)22．随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，某省电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了2.88万辆．(1)求前三季度销售量的平均增长率；(2)某厂家目前只有1条生产线，经调查发现，1条生产线最大产能是6 000辆/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少200辆/季度．①现该厂家要保证每季度生产电动汽车2.6万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下(生产线越多，投入成本越大)，应该再增加几条生产线？②是否能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆，若能，应该再增加几条生产线？若不能，请说明理由．八、(本题满分14分)23．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD＝6 cm，AD＝BC＝12 cm，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点P从点B出发沿线段BC，CD以2 cm/s的速度向终点D运动；同时，点Q从点C出发沿线段CD，DA以1 cm/s的速度向终点A运动(P，Q两点中，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止)．(1)运动停止后，哪一点先到终点？此时另一点离终点还有多远？(2)在运动过程中，△APQ的面积能否等于22 cm2？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．答案一、1．A　【点拨】A.是一元二次方程，故本选项符合题意；B.含有两个未知数，故本选项不符合题意；C.不是整式方程，故本选项不符合题意；D.方程整理得x＝1，是一元一次方程，故本选项不符合题意； 2．C　【点拨】x(x－1)＝3(x－1)，整理得(x－3)(x－1)＝0，得x1＝3，x2＝1.3．A　【点拨】将(x－3)2＝b化成一般式为x2－6x＋9－b＝0，与原式对比可得a＝6，b＝6.4．B　【点拨】设a2＋b2＝x，则原式可化为x2－2x－8＝0，可得x1＝4，x2＝－2.∵a2＋b2是非负值，∴a2＋b2＝4.5．C　【点拨】∵每半年平均每周作业时长的下降率为x，去年上半年平均每周作业时长为a分钟，∴去年下半年平均每周作业时长为a(1－x)分钟，今年上半年平均每周作业时长为a(1－x)2分钟．∵现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，∴a(1－x)2＝(1－70%)a.∴a(1－x)2＝30%a.6．B　【点拨】∵x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，故Δ＝b2－4ac＝4－4(kb＋1)＝－4kb＞0，即kb＜0，说明k，b是异号，故选B.7．A　【点拨】因为一元二次方程有两根，所以根据韦达定理可得，x1＋x2＝－eq \f(b,a)＝－p，x1x2＝eq \f(c,a)＝q.又因为两根同负，所以x1＋x2＝－eq \f(b,a)＝－p＜0，即p＞0；x1x2＝eq \f(c,a)＝q＞0.8．C　【点拨】设其中一个奇数是x，另一个是x＋2.∵x(x＋2)＝143，解得x1＝11，x2＝－13，故这两个奇数为11，13或 －11，－13，∴和为24或－24.9．C　【点拨】∵a，b是方程x2＋(m－5)x＋7＝0的两根，∴ab＝7，将a，b分别代入方程可得a2＋(m－5)a＋7＝0，b2＋(m－5)b＋7＝0，化简可得a2＋ma＋7＝5a，b2＋mb＋7＝5b.∴故(a2＋ma＋7)(b2＋mb＋7)＝5a·5b＝25×7＝175.10．C 　【点拨】①当b＝2 eq \r(ac)时，则b2－4ac＝0，故方程一定有两个相等的实数根；②方程有两个不相等的实数根，即b2－4ac＞0，对于方程x2－bx＋ac＝0也有b2－4ac＞0，所以也一定有两个不相等的实数根；③由a－b＋c＝0，得b＝a＋c，所以Δ＝b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝a2－2ac＋c2＝(a－c)2≥0.所以方程可能有两个不相等的实数根，可能有两个相等的实数根；④由公式可知x0＝eq \f(－b±eq \r(b2－4ac),2a) ，得2ax0＋b＝±eq \r(b2－4ac)．等号两边平方，得(2ax0＋b)2＝b2－4ac.二、11．2　【点拨】∵关于x的方程x2＋mx＝0的一个根是－2，∴(－2)2－2m＝0，解得m＝2.12．m＝－3　【点拨】由题意得，︳m︳－1＝2，且m－3≠0，所以m＝－3.13．7　【点拨】由题意得eq \f(n(n－1),2)＝21，解得n1＝7，n2＝－6.又∵n＞0，∴n＝7.14．(1)x＝6或x＝7(2)x ＝n＋3或x ＝n＋4【点拨】将方程x＋eq \f(n2＋n,x－3)＝2n＋4两边同时减3，得(x－3)＋eq \f(n2＋n,x－3)＝2n＋1，根据规律得：x－3＝n或x－3＝n＋1，即方程的解为x＝n＋3或x＝n＋4.三、15．【解】 x(x＋2)＝3x＋6，x(x＋2)＝3(x＋2)，x(x＋2)－3(x＋2)＝0，(x－3)(x＋2)＝0，∴x＋2＝0或x－3＝0.∴x1＝－2，x2＝3.16．【解】∵关于x的一元二次方程mx2－4x＋2＝0有两个不相等的实数根，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≠0，, 16－8m＞0，))解得m＜2且m≠0.四、17．【解】当腰长为2时，a或b等于2，∵a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，∴x＝2是该方程的一个根.将x＝2带入方程可得22－6×2＋n－1＝0，解得n＝9，将n＝9代入原方程得x2－6x＋8＝0，解得x1＝2，x2＝4，不满足三角形的三边关系，故n＝9不合题意；当底边为2时，a，b为腰长，即a＝b，此时方程有两个相等的实数根，∴Δ＝36－4(n－1)＝0，∴n＝10，将n＝10代回原方程得x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3，满足三角形的三边关系，∴n＝10.18．【解】当2 x－1≥x＋2，即x≥3时，根据定义，得(2 x－1) ★(x＋2) ＝(2 x－1) (x＋2) ＋x＋2＝0，即2 x2＋4 x＝0，解得x1＝0，x2＝－2.∵x≥3，∴x1＝0，x2＝－2均舍去；当2 x－1＜x＋2，即x＜3时，根据定义，得(2 x－1) ★(x＋2) ＝(2 x－1) (x＋2) －(2 x－1)＝0，即2 x2＋x－1＝0，解得x1＝－1，x2＝eq \f(1,2).这两个解均符合题意.综上所述，x的值为－1或eq \f(1,2).五、19．【解】(1)根据题意得S=ab.∵a＝5，边AD减少1m，∴变化后长方形的面积为(5＋1)(b－1) ＝6(b－1) (m2).∴6(b－1) ＝5b，解得b＝6.(2)根据题意得变化后长方形的面积为(a＋1)▪(b＋2) m2，∴2 S=(a＋1)( eq \f(S, a)＋2)，∴Δ=(2－S)2－8S＝0，∴S2－12S ＋4=0，解得S1=6+4eq \r(2)，S2=6－4eq \r(2)(舍去).故S的值为6+4eq \r(2).20．【解】(1)∵∠C＝90°，BC＝eq \f(a,2)，AC＝b，∴AB＝eq \r(AC2＋BC2)＝eq \r(b2＋\f(a2,4)).∴AD＝AB－BD＝eq \r(b2＋\f(a2,4))－eq \f(a,2)＝eq \f(\r(4b2＋a2)－a,2).(2)用求根公式，得x1＝eq \f(－\r(4b2＋a2)－a,2)，x2＝eq \f(\r(4b2＋a2)－a,2).正确性：AD的长就是方程的正根．遗憾之处：图解法不能表示方程的负根．六、21．【解】(1)原方程变形为x2－(m＋2)x＋2m＝p2－(m＋2)p＋2m，所以x2－p2－(m＋2)x＋(m＋2)p＝0，即(x－p)(x＋p－m－2)＝0，解得x1＝p，x2＝m＋2－p.(2)由(1)可得，该直角三角形的面积为：eq \f(1,2)x1·x2＝eq \f(1,2)p(m＋2－p)＝－eq \f(1,2)p2＋eq \f(1,2)(m＋2)p＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(p2－(m＋2)p＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m＋2,2)))\s\up12(2)－\f((m＋2)2,4)))＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(p－\f(m＋2,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f((m＋2)2,8).∴当p＝eq \f(m＋2,2)且m＞－2时，以x1，x2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为eq \f((m＋2)2,8).七、22．【解】(1)设前三季度销售量的平均增长率为x，由题意得：2(1＋x)2＝2.88，解得x＝0.2＝20%或x＝－2.2＜0(不符合题意，舍去)．答：前三季度销售量的平均增长率为20%.(2)①设应该再增加y条生产线，则每条生产线的最大产能为(6 000－200y)辆/季度，由题意得：(y＋1)(6 000－200y)＝26 000，整理得：y2－29y＋100＝0，解得y＝4或y＝25.∵在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，∴y＝4.答：应该再增加4条生产线．②设再增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为(6 000－200m)辆/季度，由题意得：(m＋1)(6 000－200m)＝60 000，整理得：m2－29m＋270＝0，此方程根的判别式为Δ＝(－29)2－4×1×270＝－239＜0，所以此方程没有实数根．所以不能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆．八、23．【解】(1)点P从开始到运动停止用的时间为：(12＋6)÷2＝9 (s)，点Q从开始到运动停止用的时间为：(6＋12)÷1＝18 s．∵9＜18，只要有一点到达终点，则另一点运动立即停止，∴点P先到终点，此时点Q离终点的距离是：(6＋12)－1×9＝9 (cm)．(2)在运动过程中，△APQ的面积能等于22 cm2.如图①，当P点从点B运动到点C的过程中，设点P运动时间为a s． ∵△APQ的面积等于22 cm2，S四边形ABCD－S△ABP－S△PCQ－S△QDA＝S△APQ，∴12×6－eq \f(2a×6,2)－eq \f((12－2a)×a,2)－eq \f((6－a)×12,2)＝22，此方程无解；如图②，当点P从点C到点D的过程中，易知点Q在AD上，设点P运动的时间为(b＋6)s.∵△APQ的面积等于22 cm2，S四边形ABCD－S梯形ABCP－S△PQD＝S△APQ，∴12×6－eq \f((6＋2b)×12,2)－eq \f(b(6－2b),2)＝22，解得b1＝1，b2＝14(舍去)，∴运动时间为6＋1＝7 (s)，△APQ的面积能等于22 cm2.