河北省邯郸市第二十五中学2024届九年级上学期第二次月考数学试卷(含解析)

这是一份河北省邯郸市第二十五中学2024届九年级上学期第二次月考数学试卷(含解析)，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共16小题，共38分．1—6小题各3分，7—16小题各2分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列我国著名企业商标图案中，是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
解析：A.不是中心对称图形,故此选项错误
B.是中心对称图形,故此选项正确;
C.不是中心对称图形,故此选项错误
D.不是中心对称图形,故此选项错误;
故选B
2. 函数y＝﹣2x2先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得函数解析式是（ ）
A. y＝﹣2（x﹣1）2+2B. y＝﹣2（x﹣1）2﹣2
C. y＝﹣2（x+1）2+2D. y＝﹣2（x+1）2﹣2
【答案】B
解析：解：抛物线y＝﹣2x2的顶点坐标为（0，0），把（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位所得对应点的坐标为（1，﹣2），所以平移后的抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣2．
故选：B．
3. 已知⊙O的半径为4，点O到直线m的距离为3，则直线m与⊙O公共点的个数为（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】C
解析：解：∵d=3＜半径=4,
∴直线与圆相交,
∴直线m与⊙O公共点个数为2个,
故选C.
4. 如图，直角坐标系中一条圆弧经过格点，，，其中点坐标为，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是．
故选：A．
5. 如图，在中，，，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
详解】解：连接，
∵在中，，
∴，则，
∵，
∴，
故选：A．
6. 如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE，点D恰好落在直线BC上，则旋转角的度数为( )
A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°
【答案】D
解析：∵将△ABC绕点A逆时针旋转，得到△ADE
∴△ABC≌△ADE
∴AB=AD
∴∠ADB=∠B=40°
∵∠ADB+∠B+∠BAD=180°
∴∠BAD=180°-40°-40°=100°
故选D
7. 如图，⊙O是∆ABC的外接圆，半径为，若，则的度数为（ ）

A. 30°B. 25°C. 15°D. 10°
【答案】A
解析：解：连接OB和OC，
∵圆O半径为2，BC=2，
∴△OBC为等边三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠A=30°，
故选A．

8. 如图，是的直径，若，∠D=60°，则长等于（ ）
A. 4B. 5C. D.
【答案】D
解析：解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
9. 已知，，是抛物线上的点．则、、的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
解析：解：∵，
∴对称轴是：，
则关于直线对称的点为，
∵，
∴当时，随的增大而增大，
∵，
∴；即：，
故选：B．
10. 某同学将如图所示的三条水平直线，，的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线，，的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数 的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：∵，
∴顶点坐标为，
∵，
∴抛物线与的交点为顶点，
∴为y轴，
∵二次函数与y轴的交点为，且，
∴为x轴，
故答案为：D．
11. 根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
解析：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到C选项作了两边的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心．
故选C．
12. 如图，一把直尺，的直角三角板和光盘如图摆放，为角与直尺交点，,则光盘的直径是( )
A. 3B. C. D.
【答案】D
解析：如图，设光盘圆心为O，连接OC，OA，OB，∵AC、AB都与圆O相切，
∴AO平分∠BAC，OC⊥AC，OB⊥AB，
∴∠CAO=∠BAO=60°，
∴∠AOB=30°，在Rt△AOB中，AB=3cm，∠AOB=30°，
∴OA=6cm，根据勾股定理得：OB=3，则光盘的直径为6，
故选：D.
13. 如图，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得△DBE，点C的对应点E恰好落在AB延长线上，连接AD．下列结论一定正确的是（ ）
A. ∠ABD＝∠EB. ∠CBE＝∠CC. AD∥BCD. AD＝BC
【答案】C
解析：根据旋转的性质得，∠ABD＝∠CBE=60°，∠E＝∠C，AB=BD，
则△ABD为等边三角形，
即 AD＝AB=BD,∠ADB=60°
因为∠ABD＝∠CBE=60°，
则∠CBD=60°，
所以∠ADB=∠CBD，
∴AD∥BC.
故选C.
14. 如图，已知的弦，以为一边作正方形，切点为E，则的半径为（ ）
A. 4B. 3C. 6D. 5
【答案】D
解析：解：连接并延长，交于F，连接，
设的半径为r，则，
边与相切，
，
四边形为正方形，
，
，
在中，，即，
解得：，
的半径为5，
故选：D．
15. 已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：
下列结论正确的是（ ）
A. 抛物线的开口向下
B. 抛物线的对称轴为直线x＝2
C. 当0≤x≤4时，y≥0
D. 若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1x2
【答案】B
解析：解：由表格可得，该抛物线的对称轴为直线x＝＝2，故选项B正确；
当x＜2 时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，所以该抛物线的开口向上，故选项A错误；
当0≤x≤4时，y≤0，故选项C错误；
由二次函数图象具有对称性可知，若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2或x2＜x1，故选项D错误；
故选：B．
16. 有一题目：“已知；点为的外心，，求．”嘉嘉的解答为：画以及它的外接圆，连接，，如图．由，得．而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是（ ）
A. 淇淇说的对，且的另一个值是115°
B. 淇淇说的不对，就得65°
C. 嘉嘉求的结果不对，应得50°
D. 两人都不对，应有3个不同值
【答案】A
解析：解：如图所示：
∵∠BOC=130°，
∴∠A=65°，
∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．
故∠A′＝180°−65°＝115°．
故选：A．
二、填空题（本大题共3小题，共10分．17小题2分，18—19小题各4分，每空2分）
17. 二次函数的最小值是_________．
【答案】3
解析：解：∵a＝1＞0，
∴当x＝2时，y有最小值3．
故答案为：3．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知，以点为圆心的圆与轴相切．点、在轴上，且．点为上的动点，，则长度的最大值为__________，此时长度为__________．
【答案】 ①. 8 ②. 16
解析：解：连接，，
∵已知，
∴，
又∵以点为圆心的圆与轴相切，
∴得半径为3，则，
由三角形三边关系可知：，当点在射线上时取最大值，如图，
即：长度的最大值为8，
又∵，，
则点为斜边的中点，
∴，
∴当长度为最大值时，，
故答案为：①8，②16．
19. 如图，中，，．为中点，将绕着点逆时针旋转至．
（1）当时，__________；
（2）当恰为等腰三角形时，的值为__________．
【答案】 ①. ②. 或或
解析：解：（1）∵为中点，
∴，
∵将绕着点逆时针旋转至，
∴，
∴，
∴，
∵，即：
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）如图1，连接，
∵为中点，，
∴，
∴，
而，
∴，
∴；
当时，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即；
当时，如图2，连接并延长交于，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
当时，如图3，连接并延长交于，连接，
∵，为斜边中点，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，即；
综上所述：当为等腰三角形时，的值为或或，
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共7个小题，共72分．解答应等出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 解方程：
（1）；
（2）
【答案】（1），
（2）
【小问1详解】
由题意得，，
则，
∴，
即，；
【小问2详解】
∴，
因式分解为，
∴，
∴
21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在格点上，且与关于原点成中心对称．
（1）画出；并写出各点坐标．
（2）是的边上一点．将平移后点的对应点，请画出平移后的；
（3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为__________．
【答案】（1）作图见解析，，，
（2）见解析 （3）
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，，；
∴即为所求；
【小问2详解】
∵，平移后点的对应点，
∴先向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度，
即：如图所示；
【小问3详解】
连接，相交于点，
则为对称中心，即：为的中点，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
故答案为：．
22. 如图，AB是的直径，弦于点M，连结CO，CB．
（1）若，，求CD的长度；
（2）若平分，求证：．
【答案】（1）8；（2）证明见详解
解析：解：（1）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴CM＝DM，
∵AM＝2，BM＝8，
∴AB＝10，
∴OA＝OC＝5，
Rt△OCM中，OM2+CM2＝OC2，
∴CM4，
∴CD＝8；
（2）过点O作ON⊥BC，垂足N，
∵CO平分∠DCB，
∴OM＝ON，
∵CO=CO
∴Rt△COM≌Rt△CON
∴CM=CN
∴CB＝CD．
23. 如图，，，直线经过点．设，于点，将射线绕点按逆时针方向旋转，与直线交于点．

（1）判断：__________；
（2）若，求的长；
（3）若的外心在三角形内部（不包括边上），直接写出的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
在四边形中，，
故答案是：；
【小问2详解】
由旋转可知，，
又∵，
∴，，
∴．
由（1）知，而，
∴．
又∵，
∴，
∴．
又∵，则是等腰直角三角形，
∴；
【小问3详解】
由（2）可知，
当时，则为直角三角形，外心在其斜边上，
当时，则为钝角三角形，外心在其外部，
当时，
∵，，，
∴，则，
∴，
，
则为锐角三角形，外心在其内部，
故：．
24. 随着城市的块速发展，人们的环保意识逐渐增强，对花木的需求量也逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图1所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；
（2）如果这位专业户计划以10万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
【答案】（1），
（2）他至少获得18万元利润，他能获取的最大利润是50万元
【小问1详解】
设，由图1所示，函数图象过，
∴
∴；
∵该抛物线的顶点是原点
∴设，
由图2所示，函数的图象过
∴，则，
∴；
【小问2详解】
设这位专业户投入种植花卉万元，则投入种植树木万元，他获得的利润是万元，根据题意得：
，
∴当时，的最小值是18
∵，
∴当时，的最大值是50．
∴他至少获得18万元利润，他能获取的最大利润是50万元．
25. 如图，AB是的直径，点D、E在上，连接AE、ED、DA，连接BD并延长至点C，使得．
（1）求证：AC是的切线；
（2）若点E是的中点，AE与BC交于点F，
①求证：CA=CF；
②若的半径为3，BF=2，求AC的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②8
解析：（1）∵AB是的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DBA+∠DAB=90°，
∵∠DEA=∠DBA，∠DAC=∠DEA，
∴∠DBA=∠DAC，
∴∠BAC=∠DAC+∠DAB=90°，
∵AB是的直径，∠BAC=90°，
∴AC是的切线；
（2）①∵点E是的中点，
∴∠BAE=∠DAE，
∵∠CFA=∠DBA+∠BAE，∠CAF=∠DAC+∠DAE，∠DBA=∠DAC，
∴∠CFA=∠CAF，
∴CA=CF；
②设CA=CF=x，则BC=CF+BF=x+2，
∵的半径为3，
∴AB=6，
在Rt△ABC中，CA2+AB2=BC2，
即：x2+62=(x+2)2，
解得：x=8，
∴AC=8．
26. 如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A（－1，0），与y轴交于点B（0，2），直线y＝x－1与y轴交于点C，与x轴交于点D，点P是线段CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF垂直x轴于点F，交直线CD于点E，

（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，当线段PE的长取最大值时，解答以下问题．
①求此时m的值．
②设Q是平面直角坐标系内一点，是否存在以P、Q、C、D为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）①m＝；②存在以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为
解析：解：（1）将A（﹣1，0），B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
，解得：b=1,c=2
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2．
（2）①∵直线y＝ x-1与y轴交于点C，与x轴交于点D，
∴点C的坐标为（0，-1），点D的坐标为（2，0），
∴0＜m＜2．
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为（m，﹣m2+m+2），点E的坐标为（m， m+3），
∴PE＝﹣m2+m+2﹣（ m+3）＝﹣m2+m+3＝﹣（m﹣）2+．
∵﹣1＜0，0＜＜2，
∴当m＝时，PE最长．
②由①可知，点P的坐标为（，）．
以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况（如图所示）：

①以PD为对角线，点Q的坐标为；

②以PC为对角线，点Q的坐标为；

③以CD为对角线，点Q的坐标为．
综上所述：在（2）的情况下，存在以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为.x
﹣1
0
2
3
4
y
5
0
﹣4
﹣3
0