2024年河南省部分学校九年级中考一模考试数学模拟试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟．
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效．
一、选择题（每小题3分、共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 下列各数中，最小的数是（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】D
【解析】
【分析】估算的范围，根据负数的比较规则（绝对值大的反而小）进行比较．
【详解】解：，即，
，
，
最小，
故选：D．
【点睛】此题考查实数大小的比较；无理数的估算．
2. 记者从河南省文化和旅游厅获悉：2024年元旦假日期间，全省统计接待游客万人次，旅游收入亿元．数据“亿”用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】亿，
故选：A．
3. 在学习数与代数领域知识时，小明对代数式做如图所示的分类，下列选项符合的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查代数式的分类，根据多项式的定义求解即可．
【详解】A.是分式，故A选项不符合题意；
B.是多项式，故B选项符合题意；
C.是无理式，故C选项不符合题意；
D是单项式，故D选项不符合题意；
故选：B．
4. 由6个相同的正方体组成的立体图形如图所示，它的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】解：左视图有2列，每列小正方形数目分别为3，1，即为，
故选：C．
5. 图1是一位同学抖空竹时的一个四间，数学老师把它抽象成图2所示的数学问题：已知，，，则的度数是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”及三角形的外角性质是解题的关键．
【详解】解：如图所示：延长交于点F，

∵，，
∴，
由∵，
∴，
故选：C．
6. 开展活动前，学校对学生的活动意向进行了调查（每人限选一项），得到的统计图如图所示．若九年级共有学生750人，则选择科技制作的人数比选择园艺设计的人数多（ ）
A. 160B. 210C. 340D. 450
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图，熟练理解扇形统计图是解题的关键．用总人数乘以择科技制作的人数所占的百分比比选择园艺设计的人数所占的百分比多的百分比求解即可．
【详解】（人）．
∴选择科技制作的人数比选择园艺设计的人数多210人．
故选：B．
7. 为培养青少年科技创新能力，科技制作实践活动设置了无人机、3D动画、计算机编程三个项目组，若小明和小红都选择了科技制作活动，则他们被抽到同一个项目组的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了用树状图法求概率，树状图可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，准确画出树状图是解题的关键．
画树状图，共有9种等可能性的结果，其中小明和小红恰好选择同一个项目组的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】解：把无人机、3D动画、计算机编程分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小红恰好选择同一个项目组的结果有3种，
∴他们被抽到同一个项目组的概率为，
故选：B．
8. 小明同学设置了一个数值转换机，其原理如图所示，如果第一次输入x的值为2，可以发现第一次输出的结果是1，第二次输出的结果是4，…，那么第2024次输出的结果是（ ）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了代数式求值，根据数值转换机中的规律，确定出第2024次输出的结果即可．
【详解】把代入程序中得：；
把代入程序中得：；
把代入程序中得：；
把代入程序中得：；
把代入程序中得：；
故输出的结果是、、循环，
依此类推，
，
第2024次输出的结果为．
故选：D．
9. 点，是抛物线上的两个点，且，则m的值可以是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质，求出和，再根据求解即可．
【详解】方法一：∵点，是抛物线上的两个点，
∴，，
∵，
∴，
解得，
故选：A；
方法二：由题意得，抛物线的对称轴为直线．
∵抛物线的开口向上，且，
∴易得抛物线的对称轴在直线的右侧．
∴m的取值范围是．
故选：A．
10. 如图，在中，，直线经过点且垂直于．现将直线以的速度向右匀速平移，直至到达点时停止运动，直线与边交于点，与边（或）交于点．设直线移动的时间是，的面积为，若关于的函数图象如图所示，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的知识点是动点问题的函数图象、勾股定理，解题关键是掌握如何从图像中获取信息．
根据函数图像得到的值及的面积最大时的值，再结合勾股定理即可求解．
【详解】解：依题得：直线运动到点停止，且当直线运动到点时，的面积最大，
，且当时，，
，
，
时，，
中，，
，
．
故选：．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 已知满足方程组，则的值是__________．
【答案】3
【解析】
【分析】把两个方程相加，再两边都除以，可得答案．
【详解】解：
①＋②得：


故答案为：
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组时，整体思想的应用，掌握解方程组组时整体的应用是解题的关键 ．
12. 请写出一个y随x的增大而减小的函数的表达式：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了函数的增减性，结合一次函数的性质解答即可．
【详解】根据题意，得，
故答案为：．
13. 如图，切于点A，交于点C，点D在上，若，则的度数是______．
【答案】##26度
【解析】
【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，首先根据圆周角定理得到，然后根据切线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】∵
∴
∵切于点A，
∴
∴．
故答案为：．
14. 如图，在扇形中，，点C，D分别在，上，连接，，点D，O关于直线对称，的长为，则图中阴影部分的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查轴对称的性质，弧长的计算以及扇形和三角形面积计算，连接；根据轴对称得出，即可得到是等边三角形．，再利用弧长公式求出半径，最后根据扇形面积和三角形面积公式求出答案即可．
【详解】如图，连接交于．
∵点D，O关于直线对称，
∴．
∴是等边三角形．
∴，
∵点D，O关于直线对称，
∴，，，
∴，
∵的长为，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
15. 如图，在中，，，，的垂直平分线交于，交于点，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为点，连接，．当为直角三角形时，F的长为______．

【答案】2或
【解析】
【分析】在中，，，，则，根据垂直平分线的性质得出，，继而根据勾股定理以及含30度角的直角三角形的性质得出，，根据旋转的中得出，进而在中，，，分为直角边和斜边，分别讨论，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵的垂直平分线交于，交于点，
∴，，
在中，，
∴，，
∴，，
∵由线段绕点顺时针旋转得到，
∴，
在中，，，
当为直角边时，，
当为斜边时，，
故答案为：2或．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算：；
（2）下图是小航同学化简分式解题过程，他的解答正确吗?如果正确，请予以评价；如果不正确，请写出正确的解题步骤．
解：
．
【答案】（1）；（2）不正确，见解析
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算；
（1）根据二次根式性质，特殊角度的三角函数值，负整数指数幂化简后计算即可；
（2）先算括号，再算分式除法计算即可．
【详解】解：（1）
．
（2）不正确．
．
17. 为了解双减政策实施以来学生的作业时长，某学校数学兴趣小组调查了七、八年级部分学生完成作业的时间情况，并对其调查数据进行整理和分析，共分四个时段（x表示作业完成时间，单位：min，x取整数）：A．；B．；C．；D．．完成作业时间不超过的学生为时间管理优秀者．现将调查数据绘制成统计表和如图所示的不完整的统计图．
（1）表中______，______，______，补全频数分布直方图；
（2）此次调查中，大多数学生完成作业的时间段是______；
（3）这所学校七、八年级共有2200人，试估算七、八年级时间管理优秀的学生共有多少人？
【答案】（1），27，50，图见解析
（2）
（3）1936人
【解析】
【分析】本题考查了统计表和条形统计图，样本估计总体，熟练掌握众数等相关概念解题关键．
（1）用总的百分比减去其他时段的百分比即可求出a的值；用时段的人数除以所占的百分比即可求出c的值；用总人数乘以时段所占的百分比即可求出b的值，进而补全统计图即可；
（2）根据众数的概念求解即可；
（3）求出七，八年级时间管理优秀的人数所占的百分比，再乘以2200即可．
【小问1详解】
；
（人）
；
补全频数分布直方图如下：
故答案为：，27，50
【小问2详解】
∵时段的人数最多，
∴此次调查中，大多数学生完成作业的时间段是；
故答案为：
【小问3详解】
（人）
∴七、八年级时间管理优秀的学生共有1936人．
18. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1．
（1）在图1中作等腰，满足条件的格点C有______个，请在图中画出其中一个．
（2）在图2中，只用一把无刻度直尺，在线段上求作一点D，使得，并保留作图痕迹．
【答案】（1）4，见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查无刻度直尺作图，等腰三角形的判定与性质；
（1）分别以、为圆心，长为直径画圆以及画的垂直平分线，找到与格点的交点即为所求；
（2）构造相似比为2的两个相似三角形即可．
【小问1详解】
当以为底边时，点C应在线段的中垂线上，显然易找出点C，如图1、图2；
当以腰时，如图3、图4．（画出其中一个即可）
故答案为：4；
【小问2详解】
如图5，D即为所求作的点．
提示：∵，
∴与相似．
又∵，
∴．
19. 宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为.
（1）求坐垫到地面的距离；
（2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长．
（结果精确到，参考数据：，，）
【答案】（1）99.5（2）3.9
【解析】
【分析】（1）作于点，由可得答案；
（2）作于点，先根据求得的长度，再根据可得答案
【详解】（1）如图1，过点E作于点，
由题意知、，
∴，
则单车车座到地面的高度为；
（2）如图2所示，过点作于点，
由题意知，
则，
∴.
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．
20. 如图，点，在反比例函数的图象上，连接．
（1）求反比例函数的解析式和m的值．
（2）在直线l（直线l上各点的纵坐标均为）上是否存在一点P，使得？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标．
【答案】（1），
（2）存在，
【解析】
【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点、待定系数法，三角形的面积公式．
（1）把点，代入计算即可；
（2）根据可得，据此求解即可．
【小问1详解】
∵点，在反比例函数的图象上，
∴．
∴．
∴．
【小问2详解】
存在．
由（1）可得，，．
设经过点A，B的直线的解析式为．
则
解得
∴直线的解析式为．
过点O作，交直线于一点，则这个点即为点P．
由平行线之间的距离处处相等，可以得出．
∴直线的直线解析式为．
∴当时，，
此时点．
21. 2023年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计120万元．
（1）求A，B型新能源汽车每辆进价分别是多少万元．
（2）公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1182万元，那么该公司最多购买A型新能源汽车多少辆？
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型新能源汽车可获利9000元，销售1辆B型新能源汽车可获利4000元，在（2）的条件下，若汽车全部销售完毕，那么销售A型新能源汽车多少辆时获利最大？
【答案】（1）A型新能源汽车每辆进价25万元，B型新能源汽车每辆进价为10万元
（2）12辆 （3）12辆
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式；（3）利用利润1辆车的利润数量求解．
（1）设A型新能源汽车每辆进价为a万元，B型新能源汽车每辆进价为b万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设购买A型新能源汽车m辆，则照买B型新能源汽车辆，根据题意列出一元一次不等式求解即可；
（3）设销售A型新能源汽车x辆，所获利润为W万元，根据题意得到，然后利用一次函数的性质求解即可．
【小问1详解】
设A型新能源汽车每辆进价为a万元，B型新能源汽车每辆进价为b万元．
由题意，得 解得
答：A型新能源汽车每辆进价为25万元，B型新能源汽车每辆进价为10万元．
【小问2详解】
设购买A型新能源汽车m辆，则照买B型新能源汽车辆．
由题意，得．
解得．
∵m为正整数，
∴m的最大值为12．
∴该公司最多购买A型新能源汽车12辆．
【小问3详解】
设销售A型新能源汽车x辆，所获利润为W万元．则
．
∵，
∴W随x的增大而增大．
∴当时，W有最大值，即当销售A型新能源汽车12辆时获利最大．
22. 根据以下素材，探索完成任务．
【答案】任务1：；任务2：能，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质；
（1）利用待定系数法，把，代入，即可求出a、b的值；
（2）将抛物线解析式化为顶点式，得到绳子甩到最高处时的高度为1.8米，据此即可得到答案；
【详解】任务1 由题意可知，，，．
把，代入，得

解得，
任务2 能．理由如下：
由任务1知，该抛物线的解析式为．
∵，
∴抛物线的顶点坐标为，即绳子甩到最高处时最高点的高度为1.8米．
∵，
∴绳子能顺利从他头顶越过．
23. （1）张老师在活动课上出示了如下一道探究题：
如图1，在和中，，，B，C，E三点在同一条直线上，A，D两点在BE同侧，若，求证：．
张老师从条件出发：如图2，过点A作交BE于点M，过点D作交BE于点N，依据等腰三角形“三线合一”的性质分析BM与BN之间的关系，可证得结论．
请你运用张老师的方法解决上述问题．
（2）小明同学经过对探究题及张老师分析方法的思考，提出以下问题：
如图3，在中，，在中，，B，C，E三点在同一直线上，A，D两点在BE同侧，且A，D，E三点在同一直线上，若，，的面积为7，求BE的长．
（3）在小明同学的问题得到解决后，张老师针对之前的解题思路，提出了如下问题：
如图4，在四边形中，，，E为CD的中点，连接AE，若，，，请直接写出CD的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）6
【解析】
【分析】（1）证明四边形为矩形，得出，则可得出结论；
（2）过作交于，过作交于，过作交于，求出，证明四边形为矩形，得出，设，则，根据三角形的面积求出，则可得出答案；
（3）延长与延长线交于点，过作交于，过作交于，证明，，证出，设，则，证明，得出，由勾股定理可得出答案．
【详解】解：（1）如图1，
∵，，，，
∴，，．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴四边形为矩形．
∴．
∴．
（2）如图2，过A作于点M，过D作于点N，过D作交于点P．
∵，，，，
∴，，．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
在中，，
∴．
∴．
∵，
∴四边形为矩形．
∴．
∴．
设，则．
∴．
∵，．
∴．
∴．
∴．
∴．
∴．
解得，（不合题意，舍去）．
∴．
∴．
（3）如图3，延长，与延长线交于点F，过A作于点G，过B作于点H．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，．
∵，，
∴，．
∵E为的中点，
∴．
∵，
∴．
又∵，
∴．
设，则．
∵，
∴．
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
在和中，
，
，
∴．
解得，（不合题意，舍去）．
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．
时间/min
频数/人
百分比
5
12
a
b
6
合计
c
问题
背景
右图是某校利用大课间开展阳光体育跳大绳活动的瞬间，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可以看作抛物线，为了了解学生的身高与跳绳时所站位置之间的关系，九年级数学实践活动小组开展了一次探究活动．

素材1
如图，小组成员测得甲、乙两名同学拿绳的手间距为6米，到地面的距离和均为0.9米．

素材2
如图，身高为1.4米的小丽站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E．

任务1
以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为．求a，b的值．

任务2
身高为1.75米的张老师也想参加此次跳绳活动，问：绳子能否顺利从他头顶越过？请说明理由．