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    2023-2024学年四川省成都市青羊区树德实验中学九年级(上)入学数学试卷(含解析)

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    2023-2024学年四川省成都市青羊区树德实验中学九年级(上)入学数学试卷(含解析)

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    这是一份2023-2024学年四川省成都市青羊区树德实验中学九年级(上)入学数学试卷(含解析),共26页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
    A. B. C. D.
    2.下列运算正确的是( )
    A. (−3a2)3=−9a6B. a2+4a2=5a4
    C. (2x−y)2=4x2−y2D. (−a)2⋅a3=a5
    3.不等式x−1>2的解集在数轴上表示为( )
    A. B.
    C. D.
    4.方程x2=x的解为( )
    A. x=−1或x=0B. x=0C. x=1D. x=1或x=0
    5.若一个正多边形的一个外角是45°,则这个正多边形的边数是( )
    A. 10B. 9C. 8D. 6
    6.若分式x2−9x−3的值为零,则x的取值为( )
    A. x=−3B. x≠−3C. x=3D. x≠3
    7.矩形,菱形,正方形都具有的性质是( )
    A. 每一条对角线平分一组对角B. 对角线相等
    C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直
    8.七巧板是大家熟悉的一种益智玩具.用七巧板能拼出许多有趣的图案.小李将一块等腰直角三角形硬纸板(如图①)切割七块,正好制成一副七巧板(如图②).已知AB=40cm,则图中阴影部分的面积为( )
    A. 25cm2B. 1003cm2C. 50cm2D. 75cm2
    二、填空题(本题共10小题,共40分)
    9.因式分解:x3−x=______.
    10.函数y= x+3x中自变量x的取值范围是______
    11.如图,一次函数y=kx+b与正比例函数y=−2x交于B(m,2),则关于x的不等式kx+b≥−2x的解集为______.
    12.如图,在△ABC中,∠BAC>90°,分别以点A,B为圆心,以大于12AB长为半径画弧,两弧交于点D,E.作直线DE,交BC于点M.分别以点A,C为圆心,以大于12AC长为半径画弧,两弧交于点F,G.作直线FG,交BC于点N.连接AM,AN.若∠BAC=105°,则∠MAN=______.
    13.如图,把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,若AE=2,DE=6,∠EFB=60°,则矩形ABCD的面积是______.
    14.若a=2b+1,则a2−4ab+4b2+2023的值为______.
    15.对于实数a,b,定义运算“※”如下:a※b=a2−ab,例如,5※3=52−5×3=10.若(x+1)※(x−2)=6,则x的值为______.
    16.若关于x的一元一次不等式组的解集x−14(4a−2)≤123x−12x−1,并把不等式组的解集表示在数轴上;
    (4)先化简,再求值:a+1a2−2a+1÷(2+3−aa−1),其中a=2.
    20.如图,在边长为1的正方形组成的网格中建立如图所示的直角坐标系xOy,△ABC在第二象限内,且顶点A、B、C均在格点上.
    (1)画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1;
    (2)画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2;
    (3)若P是y轴上一点,使得PB1+PB2最小,则点P的坐标是______;A到BC的距离是______.
    21.如图,已知△ABC为直角三角形,∠ACB=90°,F为斜边AB的中点,D为边AC上一点(不与A,C重合),连接DF,过B作BE⊥BC交DF的延长线于E,连接AE,BD.
    (1)求证:四边形ADBE为平行四边形;
    (2)若AD=11,AB=20,BD=13,求平行四边形ADBE的面积.
    22.已知关于x的一元二次方程x2−(2k+1)x+k2+k=0.
    (1)求证:方程有两个不相等的实数根;
    (2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根.第三边BC的长为5,当△ABC是等腰三角形时,求k的值.
    23.综合与实践:
    问题情境:在综合与实践课上,老师让同学们以“矩形纸片的折叠为主题开展数学活动.在矩形ABCD中,E为AB边上一点,F为AD边上一点,连接CE,CF,分别将△BCE和△CDF沿CE,CF翻折,D,B的对应点分别为G,H,且C,H,G三点共线.
    观察发现:(1)如图1,若F为AD边的中点,AB=BC=10,点G与点H重合,则∠ECF= ______°,AE= ______;
    问题探究:(2)如图2,若∠DCF=22.5°,AB=2 2+2,BC=2+ 2,求AE的长;
    拓展延伸:(3)AB=15,AD=9,若F为AD的三等分点,请求出AE的长.
    24.为了迎接“十⋅一”小长假的购物高峰.某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表:
    已知:用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.
    (1)求m的值;
    (2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价−进价)不少于21700元,且不超过22300元,问该专卖店有几种进货方案?
    (3)在(2)的条件下,专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动,决定对甲种运动鞋每双优惠a(503,
    在数轴上表示为:
    故选:A.
    先移项、合并同类项解出不等式的解集,再在数轴上表示出来即可
    此题考查一元一次不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集,关键是解出不等式的解集.
    4.【答案】D
    【解析】【分析】
    本题考查了解一元二次方程−因式分解法:先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).先把方程变形为一般式,然后利用因式分解法解方程.
    【解答】
    解:x2=x,
    ∴x2−x=0,
    ∴x(x−1)=0,
    ∴x=0或x−1=0,
    ∴x1=0,x2=1.
    故选D.
    5.【答案】C
    【解析】解:∵多边形外角和=360°,
    ∴这个正多边形的边数是360°÷45°=8.
    故选:C.
    根据多边形的外角和定理作答.
    本题主要考查了多边形的外角和定理:任何一个多边形的外角和都为360°.
    6.【答案】A
    【解析】解:由题意得:x2−9=0,x−3≠0,
    解得:x=−3,
    故选:A.
    根据分式值为零的条件可得x2−9=0,x−3≠0,解可得答案.
    此题主要考查了分式值为零的条件:是分子等于零且分母不等于零.注意:“分母不为零”这个条件不能少.
    7.【答案】C
    【解析】解:矩形,菱形,正方形都具有的性质:对角线互相平分.
    故选C.
    矩形,菱形,正方形都是特殊的平行四边形,因而平行四边形具有的性质就是矩形,菱形,正方形都具有的性质.
    本题主要考查的是对矩形,矩形,菱形,正方形的性质的理解.
    8.【答案】C
    【解析】解:如图:设OF=EF=FG=x,
    ∴OE=OH=2x,
    在Rt△EOH中,EH=2 2x,
    由题意EH=20cm,
    ∴20=2 2x,
    ∴x=5 2,
    ∴阴影部分的面积=(5 2)2=50(cm2)
    故选:C.
    如图:设OF=EF=FG=x,可得EH=2 2x=20,解方程即可解决问题.
    本题考查七巧板的知识,正方形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
    9.【答案】x(x+1)(x−1)
    【解析】解:原式=x(x2−1)=x(x+1)(x−1),
    故答案为:x(x+1)(x−1)
    原式提取x,再利用平方差公式分解即可.
    此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
    10.【答案】x≥−3且x≠0
    【解析】解:根据题意得:x+3≥0x≠0,
    解得x≥−3且x≠0.
    故答案为x≥−3且x≠0.
    根据二次根式的性质和分式的意义,被开方数大于等于0,分母不等于0列不等式组求解.
    本题考查了函数自变量的取值范围.考查的知识点为:分式有意义,分母不为0,二次根式有意义,被开方数是非负数.
    11.【答案】x≥−1
    【解析】解:将点B(m,2)代入y=−2x,
    得−2m=2,解得m=−1,
    则B的坐标是(−1,2),
    由图象可知,于x的不等式kx+b≥−2x的解集为x≥−1.
    故答案为:x≥−1.
    先将点B(m,2)代入y=−2x,求出m的值,再由图象可以看出当x≥m时,y=−2x的图象不在一次函数y=kx+b的上方,即可得出答案.
    本题考查一元一次不等式与函数图象之间的关系,掌握一次函数图象的性质,利用数形结合思想解题是关键.
    12.【答案】30°
    【解析】解:由作法得DE垂直平分AB,GF垂直平分AC,
    ∴MA=MB,NA=NC,
    ∴∠MAB=∠B,∠NAC=∠C,
    ∴∠MAN=∠BAC−∠MAB−∠NAC=∠BAC−(∠B+∠C),
    ∵∠B+∠C=180°−∠BAC,
    ∴∠MAN=∠BAC−(180°−∠BAC)=2∠BAC−180°=2×105°−180°=30°.
    故答案为:30°.
    利用基本作图得到DE垂直平分AB,GF垂直平分AC,则MA=MB,NA=NC,然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出∠MAN.
    本题主要考查了作图−基本作图,线段垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,利用基本作图判断DE、GF分别垂直平分AB和AC是解决问题的关键.
    13.【答案】16 3
    【解析】解:在矩形ABCD中,
    ∵AD/​/BC,
    ∴∠DEF=∠EFB=60°,
    ∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处,
    ∴∠EFB=∠EFB′=60°,∠B=∠A′B′F=90°,∠A=∠A′=90°,AE=A′E=2,AB=A′B′,
    在△EFB′中,
    ∵∠DEF=∠EFB′=60°,
    ∴△EFB′是等边三角形,∠EB′F=60°,
    Rt△A′EB′中,
    ∵∠A′B′E=90°−60°=30°,
    ∴B′E=2A′E,而A′E=2,
    ∴B′E=4,
    ∴A′B′=2 3,即AB=2 3,
    ∵AE=2,DE=6,
    ∴AD=AE+DE=2+6=8,
    ∴矩形ABCD的面积=AB⋅AD=2 3×8=16 3.
    故答案为:16 3.
    由把矩形ABCD沿EF翻折,点B恰好落在AD边的B′处,∠EFB=60°,易证得△EFB′是等边三角形,继而可得△A′B′E中,B′E=2A′E,则可求得B′E的长,然后由勾股定理求得A′B′的长,继而求得答案.
    此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质.此题难度适中,注意掌握折叠前后图形的对应关系,注意掌握数形结合思想的应用.
    14.【答案】解:(1)(2x+3)2=(3x−2)2,
    (2x+3)2−(3x−2)2=0,
    (2x+3+3x−2)(2x+3−3x+2)=0,
    (5x+1)(−x+5)=0,
    ∴5x+1=0,−x+5=0,
    ∴x1=−15,x2=5;
    (2)x−2x+2=x+2x−2+16x2−4;
    去分母得:(x−2)2=(x+2)2+16,
    去括号得:x2−4x+4=x2+4x+4+16,
    移项、合并得:−8x=16,
    解得:x=−2,
    检验:把x=−2代入得:(x+2)(x−2)=0,
    ∴原分式方程无解;
    (3)2(x+2)−x≤5①4x+13>x−1②,
    由①得:x≤1,
    由②得:x>−4,
    ∴原不等式组的解集是−40,
    ∴方程有两个不相等的实数根;
    (2)x=2k+1±12×1,
    解得x1=k+1,x2=k,
    即AB、AC的长为k+1,k,
    当k+1=5时,即k=4,三角形三边长分别为5、5、4;
    当k=5时,三角形三边长分别为5、5、6;
    综上所述,k的值为4或5.
    【解析】(1)计算根的判别式的值得到Δ>0,则根据根的判别式的意义得到结论;
    (2)利用求根公式解方程得到AB、AC的长为k+1,k,讨论:当k+1=5时,三角形三边长分别为5、5、4;当k=5时,三角形三边长分别为5、5、6.
    本题考查了等腰三角形的性质:等腰三角形的两腰相等.也考查了根的判别式和三角形三边的关系.
    18.【答案】45 203
    【解析】解:(1)∵AB=BC=10,四边形ABCD是矩形,
    ∴四边形ABCD是正方形,
    ∴AD=AB=10,∠BCD=∠A=90°,
    ∵F为AD的中点,
    ∴DF=AF=5,
    ∵将△BCE和△CDF沿CE、CF翻折,点D,B的对应点分别为点G,H,
    ∴BE=EG,DF=FG=5,
    设BE=x,则AE=10−x,
    ∴EF=EG+FG=x+5,
    ∵EF2=AE2+AF2,
    ∴(5+x)2=(10−x)2+52,
    ∴x=103,
    ∴BE=103,
    ∴AE=10−103=203;
    ∵将△BCE和△CDF沿CE、CF翻折,点D、B的对应点分别为点G、H,
    ∴∠BCE=∠GCE,∠DCF=∠GCF,
    ∵∠BCD=90°,
    ∴∠ECF=12∠BCD=12×90°=45°.
    故答案为:45;203;
    (2)如图2,延长CG交AB于点M,
    ∵∠3=∠4,∠1=∠2=22.5°,
    ∵∠BCD=90°,
    ∴∠BCH=90°−45°=45°,
    ∵∠EHM=∠B=90°,
    ∴△CBM和△EHM均为等腰直角三角形,
    ∴BM=BC=4,EM= 2EH= 2BE,
    ∴BE+EM=4,
    即BE+ 2BE=4,
    解得BE=4 2−4,
    ∴AE=AB−BE=2 2+2−(4 2−4)=6−2 2;
    (3)分两种情况:①当AF=2DF时,
    如图3,过点E作EP/​/GH,交FG的延长线于点P,连接EF,则四边形GHEP为矩形,
    ∴GH=EP,EH=GP,
    由折叠的性质可知,CD=CG=15,BC=CH=9,
    ∴HG=CG−CH=15−9=4,
    ∵AF=2DF,
    ∴AF=6,DF=3,
    ∴AF=EP,
    在Rt△EFP和Rt△FEA中,
    AF=EPEF=FE,
    ∴Rt△EFP≌Rt△FEA(HL),
    ∴AE=FP,
    设BE=EH=a,FP=a+3,AE=FP=15−a,
    ∴a+3=15−a,
    解得a=6,
    ∴BE=6,
    ∴AE=15−6=9.
    ②当DF=2AF时,
    如图4,过点E作EP/​/GH,交FG的延长线于点P,连接EF,则四边形GHEP为矩形,
    ∴GH=EP,EH=GP,
    由①知:EP=6,
    ∵DF=2AF,
    ∴AF=3,DF=6.
    设BE=EH=a,FP=a+6,AE=15−a,
    ∵EF2=AF2+AE2=EP2+FP2,
    ∴32+(15−a)2=62+(a+6)2,
    解得a=277,
    ∴AE=15−a=15−277=787.
    综上可知,AE的长为9或787.
    (1)证明四边形ABCD是正方形,由正方形的性质得出AD=AB=10,∠BCD=90°,由勾股定理及折叠的性质可得出答案;
    (2)延长CG,交AB于点M,证明△CBM和△EHM均为等腰直角三角形,得出BM=BC=4,EM= 2BE,则可求出BE的长,从而可得出答案;
    (3)分两种情况:①当AF=2DF时,如图3,过点E作EP/​/GH,交FG的延长线于点P,连接EF,则四边形GHEP为矩形,GH=EP,EH=GP,证明Rt△EFP≌Rt△FEA(HL),由全等三角形的性质得出AE=FP,设BE=EH=a,FP=a+2,AE=FP=10−a,列方程可得出答案;②当DF=2AF时,如图4,过点E作EP/​/GH,交FG的延长线于点P,连接EF,则四边形GHEP为矩形,GH=EP,EH=GP,设BE=EH=a,FP=a+4,AE=10−a,由勾股定理列方程可得出答案.
    本题是四边形的综合题,主要考查了正方形的判定与性质,矩形的判定与性质,等腰直角三角形的性质和判定,折叠的性质,三角形全等的判定与性质,勾股定理等知识,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
    19.【答案】2024.
    【解析】解:∵a=2b+1,
    ∴a−2b=1,
    ∴a2−4ab+4b2+2023
    =(a−2b)2+2023
    =12+2023
    =2024.
    故答案为:2024.
    利用完全平方公式变形为(a−2b)2+2023,将a−2b=1代入计算即可.
    本题考查了因式分解的完全平方公式,能熟记公式是解此题的关键.
    20.【答案】1
    【解析】【分析】
    本题考查的是一元一次方程的解法及新定义问题,根据题意正确得到方程是解题的关键.根据题意列出方程,解方程即可.
    【解答】
    解:由题意得,(x+1)2−(x+1)(x−2)=6,
    整理得,3x+3=6,
    解得,x=1,
    故答案为:1.
    21.【答案】1
    【解析】解:x−14(4a−2)≤12①3x−12

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