广东省茂名市高州市高州市第一中学附属实验中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题

这是一份广东省茂名市高州市高州市第一中学附属实验中学2023-2024学年八年级下学期3月月考数学试题，共24页。试卷主要包含了二次根式中，x的取值范围是，以下说法，的三边长a,b,c满足,则是，如图,,,垂足分别为等内容，欢迎下载使用。
一．单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．二次根式中，x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列条件中不能确定是等腰三角形的是（ ）
A．三条边都相等的三角形
B．有一个锐角是45°的直角三角形
C．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形
D．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形
4．以下说法：①如果三角形三个内角的比是，那么这个三角形是直角三角形；②如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角，则这个三角形是直角三角形；③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；④如果，那么是直角三角形；⑤在中，若，则此三角形是直角三角形．其中说法正确的个数有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个D．5个
5．等腰三角形中一个外角等于100°，则另两个内角的度数分别为（ ）
A．40°，40°B．80°，20°
C．50°，50°D．50°，50°或80°，20°
6．的三边长a,b,c满足,则是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形
C．直角三角形D．等边三角形
7．如图,,,垂足分别为． 下列说法正确的个数是（ ）
①点到线段的距离为线段的长度；
②；
③；
④将三角形绕线段所在直线旋转一周得到的几何体是圆锥．
A．1个 B．2个 C．3个D．4个
8．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（ ）
A．cm2 B．2cmC．3cm2D．4cm2
9．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
10．如图所示，点A坐标为(-3,0) 点B坐标为(1,4)，在y轴上存在一点C，使得△ABC为等腰三角形，则满足此条件的点C最多有( )
A．4个
B．5个
C．6个
D．8个
二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．有一种感冒止咳药品的说明书上写着：“青少年每日用量，分3～4次服用.”一次服用这种药品剂量的范围为 .
12．如图所示，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC边上，∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°，则图中共有等腰三角形的个数是 ．
13．如图，在中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P，连接并延长交于点D，若，则 ．
14．不等式3x﹣3m≤﹣2m的正整数解为1，2，3，4，则m的取值范围是 ．
15．如图，在中，，，，，点D是上一点，连接，点D到的距离等于的长，P、Q分别是上的动点，连接，则的最小值是 ．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
16．解下列不等式 ；

(1)如果那么_____； (2)如果那么_____；
(3)如果那么_____； (4)请比较与的大小．
18．已知a，b，c为三角形的三边长，并满，，求三角形的周长，并判断它的形状．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
19．如图，中，，AD是的角平分线，于点E，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
20．如图，在中，，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)当时，求的度数．
21．某学校为打造书香校园，计划购进甲、乙两种课外书．购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需175元．
(1)求甲、乙两种书的单价；
(2)学校决定购买甲、乙两种书共60本，且两种书的总费用不超过2500元，那么该校最多可以购买多少本乙种书?
五、解答题（三）（本大题2小题，每小题8分，共16分）
22．如图，是等腰三角形，，点是边上的一点，连接．
(1)若的周长是，，点是的中点，求的长；
(2)若，，，求的面积．
23．如图，在和中，，，，延长，交于点M．
(1)求证：平分；
(2)若，，，求的长．
六、解答题（四）（本大题2小题，每小题10分，共20分）
24．【教材呈现】下图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．
（1）请根据教材内容，结合图①，写出完整的证明过程．
【定理应用】如图②，作图①中的的边AP的垂直平分线DE，交PA，PC于点D，E，连结AE．
（2）若，，求的周长；
（3）在（1）的条件下，直接写出EP的长为________．
25．如图，在中，，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2cm，P、Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒．
(1)______（用含的式子表示）；
(2)当点Q在边上运动时．
①出发几秒后，是等腰三角形？
②通过计算说明能否把的周长平分？
(3)当点Q在边上运动时，若是以或为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值．
线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
已知：如图，，垂足为点C，，点P直线MN上的任意一点．
求证：．

2023-2024学年度第二学期学情练习（3月）八年级数学参考答案
一.单选题（每题3分，共30分）
1 B 2 A 3 D 4 D 5 D 6 A 7 C 8 A 9 A 10 B
二．填空题（每题3分，共15分）
11． 12. 6 13. 14. 12≤m＜15 15. //
三．解答题（一）（每小题6分，共18分）
16．(1)，数轴见解析；
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题根据是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤．
（1）根据解一元一次不等式的一般步骤，移项，合并同类项，系数化1,求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可．
（2）根据解一元一次不等式的一般步骤，确保正确无误分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1,求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）解：
∴解集在数轴上表示为：
17．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据不等式的性质即可解答；（2）根据不等式的性质即可解答；（3）根据不等式的性质即可解答；（4）可以通过作差，利用（1）（2）（3）中的结论即可解答．
【详解】解：（1）如果那么；（2）如果那么；（3）如果那么；
（4）， ， ，．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键．
18．的周长为，为等腰三角形
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．依据非负数的性质，即可得到和的值，再根据为方程的解， 即可得到或2，依据三角形三边关系，即可得到，进而得出的周长，以及的形状 ．
【详解】解：∵，，
又∵， ∴，， 解得，，
∵满足等式， ∴， 解得：或2，
∵、、为的三边长，且，
又∵， ∴不合题意舍去， ∴，
∴的周长为， ∵， ∴是等腰三角形．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质，得；再根据全等三角形性质，通过证明，即可得到答案；
（2）根据角平分线和等腰三角形的性质，得；再根据直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案.
【详解】（1）证明：∵于点E，，AD是的角平分线，∴
在与中
∴ ∴；
（2）解：∵AD是的角平分线， ∴ ∵ ∴，
∴， ∵， ∴， ∴ ∴．
【点睛】本题考查了角平分线、全等三角形的判定及性质、等腰三角形、直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定及性质．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理．
（1）利用证明即可求证；
（2）根据，结合全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，，，，
，， ∴是等腰三角形；
（2）解：∵ ， ， ，
， ， ．
21．(1)甲种书为每本元，乙种书为每本元 (2)本
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用；
（1）等量关系式：购买2本甲种书的费用购买1本乙种书的费用100元；购买3本甲种书的费用购买2本乙种书的费用175元；据此列出方程组，解方程组，即可求解；
（2）不等关系式：购买甲种书的费用购买乙种书的费用元；据此列出不等式，解不等式，即可求解；
找出等量关系式和不等关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：设甲种书为每本元，乙种书为每本元，由题意得
， 解得：，
答：甲种书为每本元，乙种书为每本元．
（2）解：设购买乙种书每本，购买甲种书（）本，由题意得
， 解得：， 为整数， 取，
答：该校最多可以购买本乙种书．
22．(1) (2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理；
（1）根据等腰三角形的性质得，，进而勾股定理，即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：因为点是的中点，，
所以．
因为的周长是，，所以．
因为是等腰三角形，，点是的中点，所以．
在中，，，所以．
（2）因为，，，
所以，即，所以．
因为，所以，
所以
所以．
23．(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，证明，可得，根据角平分线的判定即可证明；
（2）利用平行线的性质证明，设，则，根据勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接，
在和中， ∵，，，
∴， ∴，
∵， ∴平分．
（2）∵ ∴， 由（1）知，平分,
∴, ∴， ∴，
设，则，
在中， ， 即， 解得：， ∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，勾股定理解三角形，以及平行线的性质．掌握这些性质即可解题．
24．（1）见解析；（2）17；（3）
【分析】(1) 根据可得,,根据边角边可证三角形全等,根据全等三角形的性质可得:;
(2)根据线段垂直平分线的性质可得: .易得,根据勾股定理可得,根据三角形周长即可求解;
(3) 根据线段垂直平分线的性质可得: .易得,根据勾股定理即可求解.
【详解】(1)解：∵， ∴. ∵，，
∴， ∴.
（2）∵垂直平分AP， ∴.易得.
在中，，
由勾股定理，得， ∴， ∴.
（3）设AE=x， 因为AE=PE， 所以CE=AP-PE=AP-AE=13-x, 在中，，
由勾股定理，得， ∴ 解得x=, 即PE=.
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质和勾股定理,解决本题的关键是要熟练掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理.
25．(1) (2)①秒；②不能 (3)11或12
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，解题时注意方程思想的应用．
（1）根据题意即可用t可表示出即可求得；
（2）①结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t；②当在上，，如图，，，则，，利用把的周长平分，再建立方程求解即可；
（3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】（1）解：由题意可知，， ∵， ∴，
（2）①当点Q在边上运动，为等腰三角形时， 即，解得， ∴出发秒后；
②当在上，，如图，
而，， ∴，， ∵把的周长平分，
∴，
解得：，不符合题意舍去，∴点Q在边上运动时．不能把的周长平分．
（3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，

则，∵，∴．
，∴，∴，∴（cm），∴（cm），
∴；
②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，

则（cm），∴，
综上所述：当t为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形．故答案为：11或12．
1．B【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件可得，据此求解即可．【详解】解：由题意得：，解得：，故选：B．
2．A
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可得出选项；
【详解】，
解得：
在数轴上表示为：

故选：A
【点睛】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集，能正确在数轴上表示不等式的解集是解此题的关键．
3．D
【详解】A.三条边都相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，不符合题意，故错误；
B.有一个锐角是45°的直角三角形，利用直角三角形性质，直角三角形的两个锐角互余求出另一个锐角也是45°，根据等角对等边得出它是等腰三角形，不符合题意，故错误；
C.一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形，根据题意画出图形即可证出是等腰三角形，不符合题意，故错误；
D.一条中线把面积分成相等的两部分的三角形，因为中线正好把底边平分，又因为两个三角形高相等，所以面积也相等，不能确定是等腰三角形，符合题意，正确．
故选D.
4．D
【分析】根据三角形的内角和判断①④⑤，根据外角的定义判断②，根据直角三角形的三条高线交于直角顶点，判断③．
【详解】解：①如果三角形三个内角的比是，则最大角的度数为：，那么这个三角形是直角三角形，说法正确，符合题意；
②如果三角形的一个外角等于与它相邻的内角，根据外角与它相邻的内角互补，得到这个内角是，那么这个三角形是直角三角形，说法正确，符合题意；
③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；说法正确，符合题意；
④如果，根据，得到，那么是直角三角形；说法正确，符合题意；
⑤在中，若，根据，得到，则此三角形是直角三角形．说法正确，符合题意；
综上：说法正确的个数有5个；
故选D．
【点睛】本题考查三角形分类，三角形的内角和，三角形的外角的定义，三角形的高线．熟练掌握相关知识点，是解题的关键．
5．D
【分析】由外角求的其内角为80°，分这个内角为底角和顶角两种情况，利用三角形内角和为180°求得另外两个角即可．
【详解】解：∵外角等于100°，
∴这个内角为80°，
当这个80°角为顶角时，则底角为=50°，此时另两个内角的度数分别为50°，50°；
当这个80°角为底角时，则另一个底角为80°，顶角为180°﹣2×80°=20°，此时可得另两个内角的度数分别为80°，20°；
故选：D．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、外角定义、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的两底角相等，当题目未明确顶角或底角的度数时，注意分情况讨论是解答的关键．
6．A
【分析】本题主要考查了非负性、勾股定理的逆定理等知识点，熟练掌握非负数的和为0，每一个非负 数均为0是解题的关键．由等式可分别得到关于a、b、c的等式，然后得到a、b、c的值，再根据勾股定理逆定理即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∵，且，
∴为等腰直角三角形．
故选：A．
7．C
【分析】本题主要考查了点、线、面、体，解题关键是熟练掌握点到直线的距离，余角的性质．①根据点到直线的距离的定义，结合已知条件进行判断即可；②③均根据已知条件，直角三角形的性质和余角的性质进行解答即可；④根据已知条件，找出旋转后的几何体，进行判断即可．
【详解】解：①点到直线的距离就是这个点到这条直线的垂线段的长度，，
点到线段的距离为线段的长度，
故①说法正确；
②，
，
，
，
，
，
故②说法正确；
③，
，
，
，
，
，
故③说法正确；
④是由和组成，
将三角形绕线段所在直线旋转一周得到的几何体是同一个底面的两个圆锥叠在一起的纺锤体，
故④的说法错误；
综上可知，说法正确的是①②③，共3个，
故选：C
8．A
【分析】根据等边三角形面积公式S=,即可解题.
【详解】解：∵△ABC为等边三角形，边长=2,
∴S==,
故选A
【点睛】本题考查求等边三角形的面积,属于简单题，熟悉等边三角形面积公式是解题关键.
9．A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，已知二元一次方程组的解的情况求参数，利用整体的思想可得，从而可得，然后根据已知，可得，最后进行计算即可解答．
【详解】解：，
得：，
解得：，
，
，
，
，
故选：A．
10．B
【分析】分三种情况：当BC=BA时，以点B为圆心，AB的长为半径画圆；当AC=AB时，以点A为圆心，AB的长为半径画圆；当CA=CB时，作AB的垂直平分线；然后看与y轴的交点个数即可.
【详解】解：如图，当BC=BA时，以点B为圆心，AB的长为半径画圆交y轴于点C1、C2；
当AC=AB时，以点A为圆心，AB的长为半径画圆交y轴于点C3、C4；
当CA=CB时，作AB的垂直平分线交y轴于点C5；
综上，满足条件的点C最多有5个.
故选B.
【点睛】本题考查了等腰三角形定义和线段垂直平分线的性质，分三种情况、熟练掌握等腰三角形的概念和线段垂直平分线的性质以及求解的方法是解题的关键.
11．
【分析】本题主要考查了不等式组的实际应用，让，得到每天服用时3次或4次每次的剂量；让即可得到每天服用时3次或4次每次的剂量，找到最少的剂量和最多的剂量即可．
【详解】解：；；
∴一次服用这种药品剂量的范围为，
故答案为：．
12．6
【详解】解：∵AB=AC，∠ABD=36°，即△ABC是等腰三角形，
∴∠C=∠B=36°，
∴∠BAC=108°．
∵∠DAE=∠EAC=36°，
∴∠BAD=36°，
∴∠BAD=∠B=36°，∠EAC=∠C=36°，
∴△ABD，△ACE是等腰三角形，
∴∠ADE=∠AED=∠DAC=∠BAE=72°，
∴△ADE，△ABE，△ACD是等腰三角形．
故答案为6．
13．
【分析】本题考查基本作图—作角平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，根据题意，得到平分，进而得到，利用含30度角的直角三角形的性质以及等角对等边得到，即可．
【详解】解：∵，
∴，
由题意，得：平分，
∴，
∴，
在中，，
∴；
故答案为：．
14．12≤m＜15
【详解】分析：先求出不等式的解集，然后根据其正整数解求出m的取值范围．
详解：不等式3x﹣3m≤﹣2m的解集为x≤m，
∵正整数解为1，2，3，4，
∴m的取值范围是4≤m＜5，即12≤m＜15．
故答案为12≤m＜15．
点睛：本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
15．//
【分析】本题考查角平分线判定及性质定理，最短路径，垂线段最短．根据题意可知是的平分线，过点作交于点，再过点作交于点，此时有最小值．
【详解】解：点D到的距离等于的长，
∴是的平分线，
过点作交于点，再过点作交于点，
∴，
∵，
∴此时有最小值，
∵中，，，，，
∴，
∴，
故答案为：．
16．(1)，数轴见解析；

【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题根据是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤．
（1）根据解一元一次不等式的一般步骤，移项，合并同类项，系数化1,求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可．
（2）根据解一元一次不等式的一般步骤，确保正确无误分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1,求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）解：
∴解集在数轴上表示为：

17．（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据不等式的性质即可解答；
（2）根据不等式的性质即可解答；
（3）根据不等式的性质即可解答；
（4）可以通过作差，利用（1）（2）（3）中的结论即可解答．
【详解】解：（1）如果那么；
（2）如果那么；
（3）如果那么；
（4），
，
，
．
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键．
18．的周长为，为等腰三角形
【分析】本题主要考查了三角形的三边关系以及非负数的性质，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．依据非负数的性质，即可得到和的值，再根据为方程的解， 即可得到或2，依据三角形三边关系，即可得到，进而得出的周长，以及的形状 ．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴，，
解得，，
∵满足等式，
∴，
解得：或2，
∵、、为的三边长，且，
又∵，
∴不合题意舍去，
∴，
∴的周长为，
∵，
∴是等腰三角形．
19．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据角平分线的性质，得；再根据全等三角形性质，通过证明，即可得到答案；
（2）根据角平分线和等腰三角形的性质，得；再根据直角三角形两锐角互余的性质计算，即可得到答案.
【详解】（1）证明：∵于点E，，AD是的角平分线，
∴
在与中

∴
∴；
（2）解：∵AD是的角平分线，
∴
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴．
【点睛】本题考查了角平分线、全等三角形的判定及性质、等腰三角形、直角三角形两锐角互余的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定及性质．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理．
（1）利用证明即可求证；
（2）根据，结合全等三角形的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
，
，，
，
，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵
，
，
，
，
，
．
21．(1)甲种书为每本元，乙种书为每本元
(2)本
【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用；
（1）等量关系式：购买2本甲种书的费用购买1本乙种书的费用100元；购买3本甲种书的费用购买2本乙种书的费用175元；据此列出方程组，解方程组，即可求解；
（2）不等关系式：购买甲种书的费用购买乙种书的费用元；据此列出不等式，解不等式，即可求解；
找出等量关系式和不等关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：设甲种书为每本元，乙种书为每本元，由题意得
，
解得：，
答：甲种书为每本元，乙种书为每本元．
（2）解：设购买乙种书每本，购买甲种书（）本，由题意得
，
解得：，
为整数，
取，
答：该校最多可以购买本乙种书．
22．(1)
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理；
（1）根据等腰三角形的性质得，，进而勾股定理，即可求解；
（2）根据勾股定理的逆定理得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解．
【详解】（1）解：因为点是的中点，，
所以．
因为的周长是，，所以．
因为是等腰三角形，，点是的中点，所以．
在中，，，所以．
（2）因为，，，
所以，即，所以．
因为，所以，
所以
所以．
23．(1)见详解
(2)
【分析】（1）连接，证明，可得，根据角平分线的判定即可证明；
（2）利用平行线的性质证明，设，则，根据勾股定理即可解决问题．
【详解】（1）证明：如图，连接，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴平分．
（2）∵
∴，
由（1）知，平分,
∴,
∴，
∴，
设，则，
在中，
，
即，
解得：，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，勾股定理解三角形，以及平行线的性质．掌握这些性质即可解题．
24．（1）见解析；（2）17；（3）
【分析】(1) 根据可得,,根据边角边可证三角形全等,根据全等三角形的性质可得:;
(2)根据线段垂直平分线的性质可得: .易得,根据勾股定理可得,根据三角形周长即可求解;
(3) 根据线段垂直平分线的性质可得: .易得,根据勾股定理即可求解.
【详解】(1)解：∵，
∴.
∵，，
∴，
∴.
（2）∵垂直平分AP，
∴.易得.
在中，，
由勾股定理，得，
∴，
∴.
（3）设AE=x，
因为AE=PE，
所以CE=AP-PE=AP-AE=13-x,
在中，，
由勾股定理，得，
∴
解得x=,
即PE=.
【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质和勾股定理,解决本题的关键是要熟练掌握线段垂直平分线的性质和勾股定理.
25．(1)
(2)①秒；②不能
(3)11或12
【分析】本题考查了等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，解题时注意方程思想的应用．
（1）根据题意即可用t可表示出即可求得；
（2）①结合（1），根据题意再表示出，然后根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t；②当在上，，如图，，，则，，利用把的周长平分，再建立方程求解即可；
（3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质可分和三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值．
【详解】（1）解：由题意可知，，
∵，
∴，
（2）①当点Q在边上运动，为等腰三角形时，
即，解得，
∴出发秒后；
②当在上，，如图，
而，，
∴，，
∵把的周长平分，
∴，
解得：，不符合题意舍去，
∴点Q在边上运动时．不能把的周长平分．
（3）①当是以为底边的等腰三角形时：，如图1所示，

则，
∵，
∴．
，
∴，
∴，
∴（cm），
∴（cm），
∴；
②当是以为底边的等腰三角形时：，如图2所示，

则（cm），
∴，
综上所述：当t为11秒或12秒时，是以或为底边的等腰三角形．
故答案为：11或12．