2023年湖北省武汉市中考数学试卷

这是一份2023年湖北省武汉市中考数学试卷，共30页。试卷主要包含了四象限等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）实数3的相反数是
A．3B．C．D．
2．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是
A．B．C．D．
3．（3分）掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是
A．点数的和为1B．点数的和为6
C．点数的和大于12D．点数的和小于13
4．（3分）计算的结果是
A．B．C．D．
5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是
A．B．C．D．
6．（3分）关于反比例函数，下列结论正确的是
A．图象位于第二、四象限
B．图象与坐标轴有公共点
C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小
D．图象经过点，则
7．（3分）某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是
A．B．C．D．
8．（3分）已知，计算的值是
A．1B．C．2D．
9．（3分）如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相
切，切点为，若，则的值是
A．B．C．D．
10．（3分）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中，分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，，则内部的格点个数是
A．266B．270C．271D．285
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置。
11．（3分）写出一个小于4的正无理数是 ．
12．（3分）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在．将数据13.6亿用科学记数法表示为的形式，则的值是 （备注：1亿．
13．（3分）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数是 （结果精确到，参考数据，，
14．（3分）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有著行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之．问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 ．
15．（3分）抛物线，，是常数，经过，，三点，且．下列四个结论：
①；
②；
③当时，若点在该抛物线上，则；
④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．
其中正确的是 （填写序号）．
16．（3分）如图，平分等边的面积，折叠得到，分别与，相交于，两点．若，，用含，的式子表示的长是 ．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。
17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集是 ．
18．（8分）如图，在四边形中，，，点在的延长线上，连接．
（1）求证：；
（2）若，平分，直接写出的形状．
19．（8分）某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳
动时间（单位：作为样本，将收集的数据整理后分为，，，，五个组别，其中组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
请根据以上信息解答下列问题．
（1）组数据的众数是 ；
（2）本次调查的样本容量是 ，组所在扇形的圆心角的大小是 ；
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数．
20．（8分）如图，，，都是的半径，．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
21．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点，是上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，先将线段绕点顺时针旋转，画对应线段，再在上画点，并连接，使；
（2）在图（2）中，是与网格线的交点，先画点关于的对称点，再在上画点，并连接，使．
22．（10分）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：、飞行高度（单位：随飞行时间（单位：变化的数据如表．
探究发现与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决 如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
（1）若发射平台相对于安全线的高度为，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域，，．若飞机落到内（不包括端点，，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
23．（10分）问题提出 如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系．
问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
（2）再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．
问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．
24．（12分）抛物线交轴于，两点在的左边），交轴于点．
（1）直接写出，，三点的坐标；
（2）如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于，，三点，连接，若与相似，求的值；
（3）如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于，两点，过的中点作直线（异于直线交抛物线于，两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
2023年湖北省武汉市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑。
1．（3分）实数3的相反数是
A．3B．C．D．
【分析】根据相反数的定义解答即可．
【解答】解：实数3的相反数是．
故选：．
2．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是
A．B．C．D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．
【解答】解：、、选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：．
3．（3分）掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是
A．点数的和为1B．点数的和为6
C．点数的和大于12D．点数的和小于13
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
【解答】解：、两枚骰子的点数的和为1，是不可能事件，故不符合题意；
、两枚骰子的点数之和为6，是随机事件，故符合题意；
、点数的和大于12，是不可能事件，故不符合题意；
、点数的和小于13，是必然事件，故不符合题意；
故选：．
4．（3分）计算的结果是
A．B．C．D．
【分析】根据积的乘方，即可解答．
【解答】解：
．
故选：．
5．（3分）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是
A．B．C．D．
【分析】由题意根据从左边看得到的图形是左视图，进行观察判断可得答案．
【解答】解：从左面看，底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形．
故选：．
6．（3分）关于反比例函数，下列结论正确的是
A．图象位于第二、四象限
B．图象与坐标轴有公共点
C．图象所在的每一个象限内，随的增大而减小
D．图象经过点，则
【分析】利用反比例函数的图象和性质进而分析得出答案．
【解答】解：反比例函数，图象在第一、三象限，与坐标轴没有交点，故选项错误，选项错误；
反比例函数，在每一个象限内，随着的增大而减小，故选项正确；
反比例函数图象经过点，
，
解得或，
故选项错误，
故选：．
7．（3分）某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是
A．B．C．D．
【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：跳高（记为项目、跳远（记为项目、100米短跑（记为项目、400米中长跑（记为项目，
画树状图得：
共有12种等可能的结果，恰好抽到“100米”和“400米”两项的有2种情况，
恰好抽到“100米”和“400米”的概率是：．
故选：．
8．（3分）已知，计算的值是
A．1B．C．2D．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由已知等式得出，继而可得答案．
【解答】解：原式
，
，
，
原式．
故选：．
9．（3分）如图，在四边形中，，，以为圆心，为半径的弧恰好与相
切，切点为，若，则的值是
A．B．C．D．
【分析】连接、，设，由得，再证明是的切线，而与相切于点，则，由切线长定理得，，由，得，则，所以，，由勾股定理得，即可求得，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接、，设，
，
，
是的半径，，
是的切线，
与相切于点，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
10．（3分）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积，其中，分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知，，，则内部的格点个数是
A．266B．270C．271D．285
【分析】根据公式，先计算出和的值，即可求出的值．
【解答】解：由可知边上有31个格点（含点，，
直线的解析式为，
当为小于或等于20的正偶数时也为整数，即边上有10个格点（不含端点，含端点；
直线的解析式为，
当且为整数时，均为整数，故边上有19个格点（不含端点），
，
的面积为，
，
．
故选：．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置。
11．（3分）写出一个小于4的正无理数是 （答案不唯一） ．
【分析】由于无理数是无限不循环小数，根据此定义即可找出一个比4小的无理数．
【解答】解：一个小于4的正无理数是（答案不唯一）．
故答案为： （答案不唯一）．
12．（3分）新时代十年来，我国建成世界上规模最大的社会保障体系，其中基本医疗保险的参保人数由5.4亿增加到13.6亿，参保率稳定在．将数据13.6亿用科学记数法表示为的形式，则的值是 9 （备注：1亿．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数．
【解答】解：13.6亿．
故答案为：9．
13．（3分）如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点在尺上的读数是 2.7 （结果精确到，参考数据，，
【分析】过点作于，过点作于，根据等腰直角三角形的性质可得，再通过解直角三角形可求得的长，进而可求解．
【解答】解：过点作于，过点作于，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
即与尺上沿的交点在尺上的读数是．
故答案为：．
14．（3分）我国古代数学经典著作《九章算术》记载：“今有著行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之．问几何步及之？”如图是善行者与不善行者行走路程（单位：步）关于善行者的行走时间的函数图象，则两图象交点的纵坐标是 250 ．
【分析】根据题意去除善行者和不善行者的函数关系式，再联立求两个一次函数交点坐标即可．
【解答】解：由题意可知，不善行者函数解析式为，
善行者函数解析式为，
联立，
解得，
两图象交点的纵坐标为250，
故答案为：250．
15．（3分）抛物线，，是常数，经过，，三点，且．下列四个结论：
①；
②；
③当时，若点在该抛物线上，则；
④若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则．
其中正确的是 ②③④ （填写序号）．
【分析】①根据图象经过，，且抛物线与轴的一个交点一定在或的右侧，判断出抛物线的开口向下，即，再把代入 得，即可判断①错误；
②先得出抛物线的对称轴在直线的右侧，得出抛物线的顶点在点的右侧，得出，根据，利用不等式的性质即可得出，即可判断②正确；
③先得出抛物线对称轴在直线 的右侧，得出到对称轴的距离大于到对称轴的距离，根据，抛物线开口向下，距离抛物线越近的函数值越大，即可得出③正确；
④根据方程有两个相等的实数解，得出△，把代入 得，即，求出，根据根与系数的关系得出，即，根据，得出 求出的取值范围，即可判断④正确．
【解答】解：①图象经过，，即抛物线与轴的负半轴有交点，如果抛物线的开口向上，则抛物线与轴的交点 都在的左侧，
中，
抛物线与轴的一个交点一定在或的右侧，
抛物线的开口一定向下，即，
把代入 得：，
即，
，，
，
故①错误；
②，，，，
方程的两个根的积大于0，
即，
，
，
，
即抛物线的对称轴在直线的右侧，
抛物线的顶点在点的右侧，
，
，
，
故②正确；
③，
当 时，，
抛物线对称轴在直线的右侧，
到对称轴的距离大于到对称轴的距离，
，抛物线开口向下，
距离抛物线越近的函数值越大，
，
故③正确；
④方程可变为，
方程有两个相等的实数解，
△．
把代入 得，即，
，
即，
，
，
即，
，在抛物线上，
，为方程 的两个根，
，
，
，
，
．
故④正确．
综上，正确的结论有：②③④．
故答案为：②③④．
16．（3分）如图，平分等边的面积，折叠得到，分别与，相交于，两点．若，，用含，的式子表示的长是 ．
【分析】根据等边三角形的性质得到，根据折叠的性质得到，根据已知条件得到图形的面积，求得，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】解：是等边三角形，
，
折叠得到，
，
，，
平分等边的面积，
图形的面积，
，
，，
，，
，
，
，
解得或（不合题意舍去），
故答案为：．
三、解答题（共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形。
17．（8分）解不等式组请按下列步骤完成解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
（Ⅳ）原不等式组的解集是 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：，
（Ⅰ）解不等式①，得；
故答案为：；
（Ⅱ）解不等式②，得；
故答案为：；
（Ⅲ）把不等式①和不等式②的解集在数轴上表示出来如下：
（Ⅳ）原不等式组的解集是．
故答案为：．
18．（8分）如图，在四边形中，，，点在的延长线上，连接．
（1）求证：；
（2）若，平分，直接写出的形状．
【分析】（1）由平行线的性质得到．而，因此．推出，得到．
（2）由平行线的性质，角平分线定义得到，由三角形内角和定理得到，即可推出是等边三角形．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
．
（2）解：是等边三角形，理由如下：
平分，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
19．（8分）某校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了部分学生在某个休息日做家务的劳
动时间（单位：作为样本，将收集的数据整理后分为，，，，五个组别，其中组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，绘制成如下不完整的统计图表．
各组劳动时间的频数分布表
请根据以上信息解答下列问题．
（1）组数据的众数是 0.4 ；
（2）本次调查的样本容量是 ，组所在扇形的圆心角的大小是 ；
（3）若该校有1200名学生，估计该校学生劳动时间超过的人数．
【分析】（1）利用众数的定义即可得出答案；
（2）由组的人数及其所占百分比可得样本容量，用乘以组所占百分比即可；
（3）用总人数乘以样本中学生劳动时间超过的人数所占百分比即可．
【解答】解：（1）组的数据分别为：0.5，0.4，0.4，0.4，0.3，
组数据的众数是0.4；
故答案为：0.4；
（2）本次调查的样本容量是，
，
组所在扇形的圆心角的大小是，
故答案为：60，；
（3）（人，
答：估计该校学生劳动时间超过的大约有860人．
20．（8分）如图，，，都是的半径，．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【分析】（1）利用圆周角定理可得，，结合可证明结论；
（2）过点作半径于点，可得，根据圆周角、弦、弧的关系可证得，结可求得，，利用勾股定理可求解，再利用勾股定理可求解圆的半径．
【解答】（1）证明：，，，
；
（2）解：过点作半径于点，
，
，，
．
．
，，
，，
在 中，，
，
在中，，
，
解得，
即的半径是．
21．（8分）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．正方形四个顶点都是格点，是上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
（1）在图（1）中，先将线段绕点顺时针旋转，画对应线段，再在上画点，并连接，使；
（2）在图（2）中，是与网格线的交点，先画点关于的对称点，再在上画点，并连接，使．
【分析】（1）取格点，连接，连接，再取格点，连接交于，连接，延长交于即可；
（2）取格点，连接、，交格线于，再取格点，，连接交于，连接并延长交于即可．
【解答】解：（1）如图（1），线段和点即为所求；
理由：，，，
，
，
，
线段绕点顺时针旋转得，
，
，，
，
，
，
；
（2）如图（2）所示，点与点即为所求，
理由：，，，
，
，
，
与 关于对称
，
，关于对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由轴对称可得，
．
22．（10分）某课外科技活动小组研制了一种航模飞机，通过实验，收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离（单位：、飞行高度（单位：随飞行时间（单位：变化的数据如表．
探究发现与，与之间的数量关系可以用我们已学过的函数来描述．直接写出关于的函数解析式和关于的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）．
问题解决 如图，活动小组在水平安全线上处设置一个高度可以变化的发射平台试飞该航模飞机．根据上面的探究发现解决下列问题．
（1）若发射平台相对于安全线的高度为，求飞机落到安全线时飞行的水平距离；
（2）在安全线上设置回收区域，，．若飞机落到内（不包括端点，，求发射平台相对于安全线的高度的变化范围．
【分析】探究发现：根据待定系数法求解即可；
问题解决：（1）令二次函数代入函数解析式即可求解；
（2）设发射平台相对于安全线的高度为，则飞机相对于安全线的飞行高度．结合，即可求解．
【解答】解：探究发现：与是一次函数关系，与是二次函数关系，
设，，
由题意得：，，
解得：，，
问题解决：（1）依题意，得．
解得，（舍，，
当 时，．
答：飞机落到安全线时飞行的水平距离为．
（2）设发射平台相对于安全线的高度为，飞机相对于安全线的飞行高度，
，，．
在中，
当，时，；
当，时，．
．
答：发射平台相对于安全线的高度的变化范围是大于且小于．
23．（10分）问题提出 如图（1），是菱形边上一点，是等腰三角形，，，交于点，探究与的数量关系．
问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小；
（2）再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系．
问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），当时，若，求的值．
【分析】问题探究（1）如图（2）中，在上截取，使得．证明，推出，可得结论；
（2）结论：；在上截取，使，连接．证明方法类似；
问题拓展解：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为．用表示出，，可得结论．
【解答】解：问题探究（1）如图（2）中，在上截取，使得．
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）结论：；
理由：在上截取，使，连接．
，
，
．
，
．
．
，
．
，
，
；
问题拓展：过点作的垂线交的延长线于点，设菱形的边长为．
，
，．
在中，，
，
，，
，
由（2）知，，
，
．
，
，
，
由（2）知，，
．
．
24．（12分）抛物线交轴于，两点在的左边），交轴于点．
（1）直接写出，，三点的坐标；
（2）如图（1），作直线，分别交轴，线段，抛物线于，，三点，连接，若与相似，求的值；
（3）如图（2），将抛物线平移得到抛物线，其顶点为原点．直线与抛物线交于，两点，过的中点作直线（异于直线交抛物线于，两点，直线与直线交于点．问点是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．
【分析】（1）分别令、为0，解方程即可求得点、、的坐标；
（2）分两种情况：①若△△ 时，可得，由平行线的判定可得，即轴，点与的纵坐标相同，建立方程求解即可．②若△△ 时，过 作轴于点．可证得△，，即，解方程即可求得答案；
（3）由题意知抛物线，联立方程求解即可得．根据中点坐标公式可得．设，，可得直线的解析式为．将点的坐标代入可得．同理，直线的解析式为；直线的解析式为．联立方程组求解可得，．代入，整理得，比较系数可得，，故点在定直线上．
【解答】解：（1）当时，，
解得：，，
当时，，
，，．
（2）是直线与抛物线的交点，
．
①如图，若△△时．
则，
．
，
．
解得，（舍去）或．
②如图，若△△时．
过 作轴于点．
，
，，
，
又，
△，
，
，，
，．
，，
，
，
解得：（舍去）或，
综上，符合题意的的值为2或；
（3）点在一条定直线上．
由题意知抛物线，
直线的解析式为，
．
是的中点，
．
设，，直线的解析式为．
则，
解得：，
直线的解析式为．
直线经过点，
．
同理，直线的解析式为；直线的解析式为．
联立，得，
直线与相交于点，
．
解得：，
，
，．
设点在直线上，则，
整理得，，
比较系数，得，
，．
当，时，无论，为何值时，等式恒成立．
点在定直线上．
组别
时间
频数
5
20
15
8
飞行时间
0
2
4
6
8
飞行水平距离
0
10
20
30
40
飞行高度
0
22
40
54
64
组别
时间
频数
5
20
15
8
飞行时间
0
2
4
6
8
飞行水平距离
0
10
20
30
40
飞行高度
0
22
40
54
64