2023年内蒙古包头市中考数学试卷

这是一份2023年内蒙古包头市中考数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各式计算结果为的是
A．B．C．D．
2．（3分）关于的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为
A．3B．2C．1D．0
3．（3分）定义新运算“”，规定：，则的运算结果为
A．B．C．5D．3
4．（3分）如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，点在直线上，且．若，则的度数为
A．B．C．D．
5．（3分）几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是
A．B．
C．D．
6．（3分）从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和．若点的坐标记作，则点在双曲线上的概率是
A．B．C．D．
7．（3分）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为
A．B．C．D．
8．（3分）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为
A．B．C．D．
9．（3分）如图，是锐角三角形的外接圆，，，．垂足分别为，，，连接，，．若，的周长为21，则的长为
A．8B．4C．3.5D．3
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，，，△与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为
A．B．C．D．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上对应的横线上.
11．（3分）若，为两个连续整数，且，则 ．
12．（3分）若，是一元二次方程的两个实数根，则 ．
13．（3分）如图，正方形的边长为2，对角线，相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为 ．
14．（3分）已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为 ．
15．（3分）如图，在中，，，，将绕点逆时针方向旋转，得到△．连接，交于点，则的值为 ．
16．（3分）如图，，，是正五边形的对角线，与相交于点．下列结论：①平分；②；③四边形是菱形；④．其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题：本大题共有7小题，共72分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。
17．（4分）先化简，再求值： 其中，．
18．（4分）解方程：．
19．（8分）在推进碳达峰、碳中和进程中，我国新能源汽车产销两旺，连续8年保持全球第一．如图为我国某自主品牌车企2022年下半年新能源汽车的月销量统计图．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）通过计算判断该车企2022年下半年的月均销量是否超过20万辆；
（2）通过分析数据说明该车企2022年下半年月销量的特点（写出一条即可），并提出一条增加月销量的合理化建议．
20．（8分）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．
（1）求行进路线和所在直线的夹角的度数；
（2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）．
21．（11分）随着科技的发展，扫地机器人（图已广泛应用于生活中．某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化．设该产品2022年第为整数）个月每台的销售价格为（单位：元），与的函数关系如图2所示（图中为一折线）．
（1）当时，求每台的销售价格与之间的函数关系式；
（2）设该产品2022年第个月的销售数量为（单位：万台），与的关系可以用来描述、求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量）
22．（12分）如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接，，．
（1）求证：；（请用两种证法解答）
（2）若，的半径为3，，求的长．
23．（12分）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别是边，线段上的点，连接，，与相交于点．
（1）如图1，连接．当时，试判断点是否在线段的垂直平分线上，并说明理由；
（2）如图2，若，且，
①求证：；
②当时，设，求的长（用含的代数式表示）．
24．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，直线交抛物线于，两点（点在点的左侧），交轴于点，交轴于点．
（1）求点，，的坐标；
（2）是线段上一点，连接，，，且．
①求证：是直角三角形；
②的平分线交线段于点，是直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标．
2023年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共有10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
1．（3分）下列各式计算结果为的是
A．B．C．D．
【分析】根据负整数指数幂的运算方法，幂的乘方和积的乘方的运算方法，同底数幂的乘法、除法的运算方法，逐项判断即可．
【解答】解：，
选项不符合题意；
，
选项不符合题意；
，
选项符合题意；
，
选项不符合题意．
故选：．
2．（3分）关于的一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值为
A．3B．2C．1D．0
【分析】首先根据解一元一次不等式的步骤，求出不等式的解集，然后根据不等式的解集是，求出的值即可．
【解答】解：移项，可得：，
根据图示，不等式的解集是，
，
解得．
故选：．
3．（3分）定义新运算“”，规定：，则的运算结果为
A．B．C．5D．3
【分析】直接利用已知运算公式代入，进而计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：
．
故选：．
4．（3分）如图，直线，直线与直线，分别相交于点，，点在直线上，且．若，则的度数为
A．B．C．D．
【分析】由可得是等腰三角形，从而可求的大小，再结合平行线的性质即可解答．
【解答】解：，
是等腰三角形，
，
，
．
故选：．
5．（3分）几个大小相同的小正方体搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中数字表示对应位置小正方体的个数，该几何体的主视图是
A．B．
C．D．
【分析】根据俯视图中每列正方形的个数，再判断从正面看得到的图形即可．
【解答】解：观察图形可知，该几何体的主视图有3列，从左到右正方形的个数分别为1、2、2，即．
故选：．
6．（3分）从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和．若点的坐标记作，则点在双曲线上的概率是
A．B．C．D．
【分析】先求出点的坐标的所有情况的个数，然后求出其中在双曲线上的坐标的个数，根据随机 事件概率的计算方法，即可得到答案．
【解答】解：从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，点的坐标共有6种情况：，，，，，，并且它们出现的可能性相等，
点坐标在双曲线 上有2种情况：，，
所以，这个事件的概率为．
故选：．
7．（3分）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为
A．B．C．D．
【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形较短的直角边为，则较长的直角边为，再利用勾股定理得到关于的方程，解方程可求出直角三角形的两个个直角边的边长，最后根据锐角三角函数的定义可求出的值．
【解答】解：小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，
小正方形的边长为 1，大正方形的边长为5，
设直角三角形较短的直角边为，则较长的直角边为，其中，
由勾股定理得：，
整理得：
解得：，（不合题意，舍去）．
，
．
故选：．
8．（3分）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的图象，则该一次函数的解析式为
A．B．C．D．
【分析】根据一次函数图象平移的规律解答即可．
【解答】解：正比例函数的图象向右平移3个单位长度得到一次函数的解析式为．
故选：．
9．（3分）如图，是锐角三角形的外接圆，，，．垂足分别为，，，连接，，．若，的周长为21，则的长为
A．8B．4C．3.5D．3
【分析】根据垂径定理得到，，，根据三角形的中位线定理得到，于是得到结论．
【解答】解：，，，
，，，
，，是的中位线，
，
，
，
，
故选：．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，，，△与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为
A．B．C．D．
【分析】利用直角三角形的边角关系以及对称的性质可得出点、、共线，进而求出点的坐标，再根据反比例函数图象上点的坐标特征进行计算即可．
【解答】解：如图，过点作轴于点，
，，，，，
，，
，，
，，
，，
与△关于直线对称，
，
，
点、、共线，
，
，
，，
点，，
点，在反比例函数的图象上，
，
故选：．
二、填空题：本大题共有6小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上对应的横线上.
11．（3分）若，为两个连续整数，且，则 3 ．
【分析】先估算在哪两个连续整数之间求得，的值，然后将其代入中计算即可．
【解答】解：，
，
，，
则，
故答案为：3．
12．（3分）若，是一元二次方程的两个实数根，则 ．
【分析】根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：根据题意得，，
则．
故答案为：．
13．（3分）如图，正方形的边长为2，对角线，相交于点，以点为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点，则图中阴影部分的面积为 ．
【分析】根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形的面积，然后由勾股定理得出，再由扇形面积公式求解即可．
【解答】解：四边形是正方形，
，，，，
，
正方形的边长为2，
，
阴影部分的面积为扇形的面积，即，
故答案为：．
14．（3分）已知二次函数，若点在该函数的图象上，且，则的值为 2 ．
【分析】将点代入函数解析式求解即可．
【解答】解：点在二次函数的图象上，
，
，
解得或（舍去），
故答案为：2．
15．（3分）如图，在中，，，，将绕点逆时针方向旋转，得到△．连接，交于点，则的值为 5 ．
【分析】过点作于点，利用勾股定理求得，根据旋转的性质可证、 是等腰直角三角形，可得，再由，，证明，可得 ，即，再由 ，求得 ，从而求得 ，，即可求解．
【解答】解：过点作于点，
，
，，，，
将绕点逆时针方向旋转 得到△，，，
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，即 ，
，，
，
，
即，
又，
，
，
，
，
故答案为：5．
16．（3分）如图，，，是正五边形的对角线，与相交于点．下列结论：①平分；②；③四边形是菱形；④．其中正确的结论是 ①③④ ．（填写所有正确结论的序号）
【分析】根据正五边形的性质得出各角、各边之间的关系，然后由各角之间的关系以及相似三角形的判定与性质，菱形的判定分别证明即可．
【解答】解：①五边形是正五边形，
，
，
在中，，，
，
同理可得，，
，
，
即平分，
故①正确；
②，，
，
，
，
即，
故②错误；
③，
，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，
故③正确；
④，，
，
，
，
，
即，
故④正确；
综上，正确的结论是：①③④；
故答案为：①③④．
三、解答题：本大题共有7小题，共72分，请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置。
17．（4分）先化简，再求值： 其中，．
【分析】直接利用乘法公式化简，再合并同类项，把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式
，
当，时，
原式
．
18．（4分）解方程：．
【分析】按照解分式方程的步骤解方程即可．
【解答】解：原方程两边同乘，去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：将代入中得，
则原分式方程的解为：．
19．（8分）在推进碳达峰、碳中和进程中，我国新能源汽车产销两旺，连续8年保持全球第一．如图为我国某自主品牌车企2022年下半年新能源汽车的月销量统计图．
请根据所给信息，解答下列问题：
（1）通过计算判断该车企2022年下半年的月均销量是否超过20万辆；
（2）通过分析数据说明该车企2022年下半年月销量的特点（写出一条即可），并提出一条增加月销量的合理化建议．
【分析】（1）估计平均数的定义求解即可；
（2）利用条形统计图的数据阐述即可．
【解答】解：（1）（万辆），
答：该车企2022年下半年的月均销量超过20万辆；
（2）2022年下半年月销量的特点：月销量递增趋势；12月销量最大；有三个月销量超过20万辆，中位数为20.5万辆；月均销量超过20万辆．
建议：充分了解客户需求，及时处理客户反馈，提供优质销后服务．
20．（8分）为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，点为出发点，途中设置两个检查点，分别为点和点，行进路线为．点在点的南偏东方向处，点在点的北偏东方向，行进路线和所在直线的夹角为．
（1）求行进路线和所在直线的夹角的度数；
（2）求检查点和之间的距离（结果保留根号）．
【分析】（1）根据题意可得：，，从而利用平角定义可得，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
（2）过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：，，
，
，
，
行进路线和所在直线的夹角的度数为；
（2）过点作，垂足为，
在中，，，
，
，
在中，，
，
，
检查点和之间的距离．
21．（11分）随着科技的发展，扫地机器人（图已广泛应用于生活中．某公司推出一款新型扫地机器人，经统计该产品2022年每个月的销售情况发现，每台的销售价格随销售月份的变化而变化．设该产品2022年第为整数）个月每台的销售价格为（单位：元），与的函数关系如图2所示（图中为一折线）．
（1）当时，求每台的销售价格与之间的函数关系式；
（2）设该产品2022年第个月的销售数量为（单位：万台），与的关系可以用来描述、求哪个月的销售收入最多，最多为多少万元？（销售收入每台的销售价格销售数量）
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据销售收入每台的销售价格销售数量，可求得销售收入（万元）与销售月份之间的函数关系，再利用函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）当时，设每台的销售价格与之间的函数关系式为，
图象过，两点，
，
解得，
当时，每台的销售价格与之间的函数关系式为；
（2）设销售收入为万元，
①当时，，
，
当时， （万元）；
②当时，，
随的增大而增大，
当时， （万元）；
，
第5个月的销售收入最多，最多为3375万元．
22．（12分）如图，是的直径，是弦，是上一点，是延长线上一点，连接，，．
（1）求证：；（请用两种证法解答）
（2）若，的半径为3，，求的长．
【分析】（1）方法一：连接，利用圆周角定理及角的和差即可证得结论；
方法二：连接，利用圆周角定理求得，再利用圆内接四边形的性质及三角形的外角性质即可证得结论；
（2）根据方法二中的图形易证得，结合已知条件，根据相似三角形的对应边成比例求得的长，继而求得的长．
【解答】（1）证明：方法一：如图，连接，
是的直径，
，
，，
；
方法二：如图，连接，
是的直径，
，
，
，
四边形为的内接四边形，
，
，
，
；
（2）解：由图可得，
，
，即，
，
，
，
，
的半径为3，
，
，
，
，
解得：或（舍去），
则．
23．（12分）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别是边，线段上的点，连接，，与相交于点．
（1）如图1，连接．当时，试判断点是否在线段的垂直平分线上，并说明理由；
（2）如图2，若，且，
①求证：；
②当时，设，求的长（用含的代数式表示）．
【分析】（1）根据菱形的性质及垂直平分线的判定证明即可；
（2）①根据菱形的性质得出，再由各角之间的关系得出，由含30度角的直角三角形的性质求解即可；
②连接．利用等边三角形的判定和性质得出，，再由正切函数及全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可．
【解答】（1）解：结论：点在线段的垂直平分线上．
理由：连接．四边形是菱形，对角线，相交于点，
，，
，
，
，
点在线段的垂直平分线上；
（2）①证明：如图，四边形是菱形，
，
，，
，，
．
，
．
，，，
在 中，，，
，
，
，
；
②如图，连接．
，，
是等边三角形．，
，，
，，
在中，，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
在中，，
由勾股定理得，
，
．
24．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，直线交抛物线于，两点（点在点的左侧），交轴于点，交轴于点．
（1）求点，，的坐标；
（2）是线段上一点，连接，，，且．
①求证：是直角三角形；
②的平分线交线段于点，是直线上方抛物线上一动点，当时，求点的坐标．
【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；
（2）①设，然后利用勾股定理求解，，过点作 轴，垂足为．再由等腰三角形及各角之间的关系即可证明；
②根据题意得出，设点的坐标为，根据题意得．分两种情况分析：当点在直线的左侧抛物线上时，．当点在直线的右侧抛物线上时，，求解即可．
【解答】（1）解：直线交轴于点，交轴于点，
当时，，
，
当时，，
，
直线交抛物线于，两点（点在点的左侧），
，
，
解得，
点在点的左侧，
点的横坐标为3，当时，，
，
答：，，．
（2）如图，
①证明：抛物线交轴于点，
当时，，
，
，
在中，，
，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
过点作轴于，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
是直角三角形．
②解：平分，，
，
，
轴，
，
，
设点的坐标为，根据题意得．
当点在直线的左侧抛物线上时，．
过点作轴于，
，
，
，
，
，
在△中，，
，
，
，
，
，（舍去），
当时，，
．
当点在直线的右侧抛物线上时，，
过点作轴于，
，
，
，
，
，
，
（舍去），
当时，，
．
点的坐标为或．