2023年内蒙古通辽市中考数学试卷

这是一份2023年内蒙古通辽市中考数学试卷，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）2023的相反数是
A．2023B．C．D．
2．（3分）在英语单词（多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为“ “的概率是
A．B．C．D．
3．（3分）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为
A．3B．4C．5D．12
4．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是
A．B．
C．D．
5．（3分）二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围在数轴上表示为
A．B．
C．D．
6．（3分）已知点，， 在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是
A．B．C．D．
7．（3分）如图，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数为
A．B．C．D．
8．（3分）下列命题：
①；
②；
③圆周角等于圆心角的一半；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．
其中真命题的个数是
A．1B．2C．3D．4
9．（3分）如图，在扇形中，，平分交于点，点是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为
A．B．C．D．
10．（3分）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
下列不属于该尺规作图依据的是
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点为中心，把点按逆时针方向旋转得到点，在，，，，，四个点中，直线经过的点是
A．B．C．D．
12．（3分）如图，抛物线与轴交于点，，，其中 下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）
13．（3分）已知一组数据：3，4，5，5，6，则这组数据的众数是 ．
14．（3分）将一副三角尺如图所示放置，其中，则 度．
15．（3分）点的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中，满足二元一次方程组，则点关于轴对称点的坐标为 ．
16．（3分）如图，等边三角形的边长为，动点从点出发以的速度沿向点匀速运动，过点作，交边于点，以为边作等边三角形，使点，在异侧，当点落在边上时，点需移动 ．
17．（3分）某款“不倒翁”（如图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是10cm，∠P＝60°，则主视图的面积为 cm2．
三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出
18．（5分）计算：．
19．（5分）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
（1）上面的运算过程中第 步开始出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
20．（5分）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离灯塔有多远（结果取整数）？（参考数据：，，，，，
21．（10分）党的十八大以来，习近平总书记对推动全民阅读、建设书香中国高度重视，多次作出重要指示．中学在第28个“世界读书目”到来之际，对全校2000名学生阅读课外书的情况进行了解，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）
请解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数；
（2）求图2中扇形所占百分比；
（3）估计该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“小时”人数；
（4）在学生众多阅读书籍中，学校推荐阅读书目为四大名著：《三国演义》《红楼梦》《西游记》《水浒传》（分别记为甲、乙、丙、丁），现从这4部名著中选择2部为课外必读书籍，请用列表法或画树状图法中任意一种方法，求《西游记》被选中的概率．
22．（6分）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接．
（1）如图1，当点在上时， 度；
（2）改变点在上的位置（点不与点，重合）如图2，判断与的数量关系，并说明理由．
23．（8分）如图，为的直径，，是上的两点，延长至点，连接，．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，求的半径．
24．（10分）某搬运公司计划购买，两种型号的机器搬运货物，每台型机器比每台型机器每天少搬运10吨货物，且每台型机器搬运450吨货物与每台型机器搬运500吨货物所需天数相同．
（1）求每台型机器，型机器每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台型机器售价1.5万元，每台型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
25．（8分）阅读材料：
材料1：关于的一元二次方程的两个实数根和系数，，，有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：，是一元二次方程的两个实数根，
，．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ， ．
（2）类比：已知一元二次方程 的两个实数根为，，求的值；
（3）提升：已知实数，满足， 且，求的值．
26．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）是抛物线上一动点（不与点，，重合），作轴，垂足为，连接．
①如图，若点在第三象限，且，求点的坐标；
②直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，请直接写出四边形的周长．
2023年内蒙古通辽市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代表正确答案的字母用2B铅笔涂黑）
1．（3分）2023的相反数是
A．2023B．C．D．
【分析】根据相反数的含义以及求法，在2023的前面添加，求出2023的相反数即可．
【解答】解：2023的相反数是．
故选：．
2．（3分）在英语单词（多项式）中任意选出一个字母，选出的字母为“ “的概率是
A．B．C．D．
【分析】直接根据概率公式解答即可．
【解答】解：英语单词中共10个字母，只有一个，
任意选出一个字母，选出的字母为“ “的概率是．
故选：．
3．（3分）如图，用平移方法说明平行四边形的面积公式时，若平移到，，，则的平移距离为
A．3B．4C．5D．12
【分析】根据平移的性质结合矩形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，
四边形是矩形，
由平移的性质得，
，
平行四边形的面积矩形的面积，
的平移距离为4．
故选：．
4．（3分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数中的、的符号确定其函数图象所经过的象限，即可判断．
【解答】解：一次函数中的，，
一次函数的图象经过第一、三、四象限．
故选：．
5．（3分）二次根式在实数范围内有意义，则实数的取值范围在数轴上表示为
A．B．
C．D．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出的取值范围，进而在数轴上表示即可．
【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，
则，
解得：，
则实数的取值范围在数轴上表示为：
．
故选：．
6．（3分）已知点，， 在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据反比例函数的图象和性质，由，可判断，进而得出答案．
【解答】解：反比例函数的图象在二、四象限，而，
点，在第二象限反比例函数的图象上，， 在第四象限反比例函数的图象上，
，
，
故选：．
7．（3分）如图，将绕点逆时针旋转到，旋转角为，点的对应点恰好落在边上，若，，则旋转角的度数为
A．B．C．D．
【分析】由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求解．
【解答】解：，，
，
将绕点逆时针旋转到，
，，
，
故选：．
8．（3分）下列命题：
①；
②；
③圆周角等于圆心角的一半；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是必然事件；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差也增加4．
其中真命题的个数是
A．1B．2C．3D．4
【分析】分析所给的命题是否正确，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
【解答】解：①，是真命题；
②，是假命题；
③在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，是假命题；
④将一枚质地均匀的硬币抛掷一次时，正面朝上是随机事件，是假命题；
⑤在一组数据中，如果每个数据都增加4，那么方差不变，是假命题．
其中真命题的个数是1．
故选：．
9．（3分）如图，在扇形中，，平分交于点，点是半径上一动点，若，则阴影部分周长的最小值为
A．B．C．D．
【分析】作点关于直线的对称点，连接，与的交点为点，此时阴影部分周长最小，最小值为的长与弧的和．
【解答】解：作点关于直线的对称点，连接，与的交点为点，此时阴影部分周长最小，
在扇形中，，平分交于点，
，
由轴对称的性质，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，的长，
阴影部分周长的最小值为，
故选：．
10．（3分）下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程：
下列不属于该尺规作图依据的是
A．两点确定一条直线
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
D．线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等
【分析】根据线段的垂直平分线的性质及直角三角形的性质作图判定．
【解答】解：由作图得：垂直平分，
为的中点，
，
．
，
是的外接圆，
故选：．
11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，以点为中心，把点按逆时针方向旋转得到点，在，，，，，四个点中，直线经过的点是
A．B．C．D．
【分析】根据含角的直角三角形的性质可得，，利用待定系数法可得直线的解析式，依次将，，，四个点的一个坐标代入中可解答．
【解答】解：点，点，
轴，，
由旋转得：，，
如图，过点作轴于，
，
，，
，，
设直线的解析式为：，
则，
，
直线的解析式为：，
当时，，
点不在直线上，
当时，，
，在直线上，
当时，，
不在直线上，
当时，，
，不在直线上．
故选：．
12．（3分）如图，抛物线与轴交于点，，，其中 下列四个结论：①；②；③；④不等式的解集为．其中正确结论的个数是
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用二次函数的图象和性质依次判断即可．
【解答】解：抛物线开口向上，对称轴在轴右边，与轴交于正半轴，
，，，
，
①正确．
当时，，
，
②错误．
抛物线过点，
，
，，
，
，
，
，
，
，
③错误．
如图：
设，，
由图值，时，或，
故④正确．
故选：．
二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横线上）
13．（3分）已知一组数据：3，4，5，5，6，则这组数据的众数是 5 ．
【分析】根据众数的定义（一组数据中，出现次数最多的数据，叫这组数据的众数）得出即可．
【解答】解：在数据3，4，5，5，6中，5出现了2次，出现的次数最多，
则这组数据的众数为5．
故答案为：5．
14．（3分）将一副三角尺如图所示放置，其中，则 105 度．
【分析】利用平行线的性质和三角尺各角的度数进行计算即可．
【解答】解：，
．
．
故答案为：105．
15．（3分）点的横坐标为一元一次方程的解，纵坐标为的值，其中，满足二元一次方程组，则点关于轴对称点的坐标为 ．
【分析】结合已知条件分别求得，的值，然后根据关于轴对称的点的坐标性质即可求得答案．
【解答】解：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：；
①②得：；
则，
那么点关于轴对称点的坐标为，
故答案为：．
16．（3分）如图，等边三角形的边长为，动点从点出发以的速度沿向点匀速运动，过点作，交边于点，以为边作等边三角形，使点，在异侧，当点落在边上时，点需移动 1 ．
【分析】根据等边三角形的性质得到角与边的等量关系，从而证明，由此得到边之间的关系，进而求解．
【解答】解：设点需移动秒，点落在边上，如图所示．
三角形是等边三角形，
，
，
．
．
，，，
．
，，
，
，即，
．
故答案为：1．
17．（3分）某款“不倒翁”（如图1）的主视图是图2，PA，PB分别与所在圆相切于点A，B，若该圆半径是10cm，∠P＝60°，则主视图的面积为 （100+） cm2．
【分析】根据题意，先找到圆心O，然后根据PA，PB分别与 ，所在圆相切于点A，B．∠P＝60°可以得到∠AOB的度数，然后即可得到优弧AMB对应的圆心角，再根据扇形面积公式计算即可，再根据等边三角形和顶角为120°等腰三角形的面积公式分别计算即可．
【解答】解：OA⊥PA，OB⊥PB，OA，OB交于点O，如图，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，PA＝PB，
∵∠P＝60°，
∴∠AOB＝120°，且△PAB为等边三角形，
∴优弧AMB对应的圆心角为360°﹣120°＝240°，AB＝OA＝10（cm），
∴扇形AMB的面积是：＝（cm2），S△PAB＝×（10）2＝75（cm2），S△AOB＝×102＝25（cm2），
∴主视图的面积＝+75+25＝（100+）（cm2），
故答案为：（100+）．
三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出
18．（5分）计算：．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式
．
19．（5分）以下是某同学化简分式的部分运算过程：
（1）上面的运算过程中第 一 步开始出现了错误；
（2）请你写出完整的解答过程．
【分析】（1）利用分式的混合运算法则判断得出答案；
（2）利用分式的混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：（1）上面的运算过程中第一步开始出现了错误；
故答案为：一；
（2）原式
．
20．（5分）如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离灯塔有多远（结果取整数）？（参考数据：，，，，，
【分析】根据题意可得：，，从而可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【解答】解：如图：
由题意得：，，
，，
在中，海里，
（海里），
在中，（海里），
处距离灯塔约有148海里．
21．（10分）党的十八大以来，习近平总书记对推动全民阅读、建设书香中国高度重视，多次作出重要指示．中学在第28个“世界读书目”到来之际，对全校2000名学生阅读课外书的情况进行了解，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）
请解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数；
（2）求图2中扇形所占百分比；
（3）估计该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“小时”人数；
（4）在学生众多阅读书籍中，学校推荐阅读书目为四大名著：《三国演义》《红楼梦》《西游记》《水浒传》（分别记为甲、乙、丙、丁），现从这4部名著中选择2部为课外必读书籍，请用列表法或画树状图法中任意一种方法，求《西游记》被选中的概率．
【分析】（1）用组的人数除以所占的百分比即可；
（2）用扇形的圆心角除以即可；
（3）用2000乘以组的百分比即可；
（4）画树状图得出所有等可能的结果数和《西游记》被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）（人，
答：参与本次抽样调查的学生人数为300人；
（2），
答：图2中扇形所占百分比为；
（3）（人，
答：估计该校2000名学生中，平均每周阅读课外书的时间在“小时”人数为320人；
（2）画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有12种，其中《西游记》被选中的情况有6种，
所以《西游记》被选中的概率为．
22．（6分）综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：
操作一：对折正方形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，把纸片展平，连接，，延长交于点，连接．
（1）如图1，当点在上时， 30 度；
（2）改变点在上的位置（点不与点，重合）如图2，判断与的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）由折叠可得，，，故，从而可得；
（2）证明，可得．
【解答】解：（1）由折叠可得：，，，
，
；
故答案为：30；
（2），理由如下：
在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部点处，
，，
，，
，
；
．
23．（8分）如图，为的直径，，是上的两点，延长至点，连接，．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，求的半径．
【分析】（1）由相似三角形的判定可得出答案；
（2）连接，由圆周角定理得出，证出，由切线的判定可得出结论；
（3）由相似三角形的性质得出，由比例线段求出和的长，可求出的长，则可得出答案．
【解答】（1）证明：，，
；
（2）证明：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
的半径为．
24．（10分）某搬运公司计划购买，两种型号的机器搬运货物，每台型机器比每台型机器每天少搬运10吨货物，且每台型机器搬运450吨货物与每台型机器搬运500吨货物所需天数相同．
（1）求每台型机器，型机器每天分别搬运货物多少吨？
（2）每台型机器售价1.5万元，每台型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．
【分析】（1）设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨，根据“型机器人每天搬运540吨货物与型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同”列方程即可得解；
（2）先根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组求出的取值范围，再根据题意列出一次函数解析式，利用次函数的性质，即可求出答案．
【解答】解：（1）设每台型机器人每天搬运货物吨，则每台型机器人每天搬运货物吨，
由题意得：，
解得：，
当时，，
是分式方程的根，
，
答：每台型机器人每天搬运货物90吨，每台型机器人每天搬运货物100吨；
（2）设购买型机器人台，购买总金额为万元，
由题意得：，
解得：，
；
，
随的增大而减小，
当时，最小，此时，
购买型机器人12台，型机器人18台时，购买总金额最低是50.4万元．
25．（8分）阅读材料：
材料1：关于的一元二次方程的两个实数根和系数，，，有如下关系：，．
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：，是一元二次方程的两个实数根，
，．
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）应用：一元二次方程的两个实数根为，，则 ， ．
（2）类比：已知一元二次方程 的两个实数根为，，求的值；
（3）提升：已知实数，满足， 且，求的值．
【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出及的值；
（2）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论；
（3）由实数、满足，，且，可得出，是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系，可得出，，结合，可求出的值，再将其代入中，即可求出结论．
【解答】解：（1）一元二次方程的两个根为，，
，；
故答案为：，；
（2）一元二次方程的两根分别为，，
，，
；
（3）实数，满足，，且，
，是一元二次方程的两个实数根，
，，
，
，
．
26．（12分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 与轴交于点和点，与轴交于点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）是抛物线上一动点（不与点，，重合），作轴，垂足为，连接．
①如图，若点在第三象限，且，求点的坐标；
②直线交直线于点，当点关于直线的对称点落在轴上时，请直接写出四边形的周长．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）①设出点坐标，作辅助线，求出，，根据，列出方程求出的值即可；
②证明四边形是菱形，得出，分别表示出和，从而列出方程，即可求解．
【解答】解：（1）抛物线 与轴交于点和点，与轴交于点，
，
解得，
抛物线的解析式为．
答：抛物线的解析式为．
（2）①设，如图，过点作于，
，
，
，
轴，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
（舍去），
，
．
②设，
对于，当时，，
解得，，
，
，
，
当点在第三象限时，如图，过点作轴于，
则四边形是矩形，
，
点与点关于对称，
，，
轴，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
，
，
，
解得（舍去），
，
四边形的周长，
当点在第二象限时，如图，
同理可得，
解得（舍去），
，
四边形的周长，
综上，四边形的周长为或．
已知：如图1，在中，．
求作：的外接圆．
作法：如图2，
（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；
（2）作直线，交于点；
（3）以为圆心，为半径作即为所求作的圆．
解：原式第一步
第二步
第三步
调查方式
抽样调查
调查对象
中学部分学生
平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值）
小时以上
小时
小时
小时
已知：如图1，在中，．
求作：的外接圆．
作法：如图2，
（1）分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；
（2）作直线，交于点；
（3）以为圆心，为半径作即为所求作的圆．
解：原式第一步
第二步
第三步
调查方式
抽样调查
调查对象
中学部分学生
平均每周阅读课外书的时间大约是（只能单选，每项含最小值，不含最大值）
小时以上
小时
小时
小时