最新中考数学一轮高频考点+精讲精练 专题16 二次函数

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课本上的例题最具有典型性，可以有选择地做。在做例题时，要把其中包含的知识点抽出来进行总结、归纳，不要就题论题。
2、要注重知识点的梳理，将知识点形成网络。学生经过一学期的学习，要将知识点进行总结归纳，找出区别与联系。把各章的知识点绘制成知识网络图，将知识系统化、网络化，把知识点串成线，连成面。
3、要注重总结规律，加强解题后的反思。通过模拟练习题，找出复习重点和自身的薄弱点，认真总结解题的规律方法，切忌不要闷头做题。
专题16 二次函数
一、 二次函数的图象特征及性质
【高频考点精讲】
【热点题型精练】
1．（2022•株洲中考）已知二次函数y＝ax2+bx﹣c（a≠0），其中b＞0、c＞0，则该函数的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022•哈尔滨中考）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（9，﹣3）B．（﹣9，﹣3）C．（9，3）D．（﹣9，3）
3．（2022•广州中考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x＝﹣2，下列结论正确的是（ ）
A．a＜0
B．c＞0
C．当x＜﹣2时，y随x的增大而减小
D．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小
4．（2022•陕西中考）已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3．当﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
5．（2022•郴州中考）关于二次函数y＝（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的顶点坐标是（﹣1，5）
C．该函数有最大值，最大值是5
D．当x＞1时，y随x的增大而增大
6．（2022•衢州中考）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣a（a≠0），当﹣1≤x≤4时，y的最小值为﹣4，则a的值为（ ）
A．12或4B．43或−12C．−43或4D．−12或4
7．（2022•岳阳中考）已知二次函数y＝mx2﹣4m2x﹣3（m为常数，m≠0），点P（xp，yp）是该函数图象上一点，当0≤xp≤4时，yp≤﹣3，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1或m＜0B．m≥1C．m≤﹣1或m＞0D．m≤﹣1
8．（2022•盐城中考）若点P（m，n）在二次函数y＝x2+2x+2的图象上，且点P到y轴的距离小于2，则n的取值范围是 ．
9．（2022•长春中考）已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤12时，函数值y的最小值为1，则a的值为 ．
10．（2022•北京中考）在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点（x0，m）（x0≠1）在抛物线上．若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．
二、 二次函数图象与系数的关系
【高频考点精讲】
1．a决定抛物线的开口方向及大小
（1）a＞0，抛物线开口向上；a＜0，抛物线开口向下。
（2）|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。
2．a、b共同决定抛物线对称轴的位置
（1）当b＝0时，对称轴x＝＝0，对称轴为y轴。
（2）当a、b同号时，对称轴x＝＜0，对称轴在y轴左侧。
（3）当a、b异号时，对称轴x＝＞0，对称轴在y轴右侧。
3．c决定抛物线与y轴的交点位置
（1）当c＝0时，抛物线过原点。
（2）当c＞0时，抛物线与y轴交于正半轴。
（3）当c＜0时，抛物线与y轴交于负半轴。
4．决定抛物线与x轴的交点位置
（1）当＝0时，抛物线与x轴有唯一交点。
（2）当＞0时，抛物线与x轴有两个交点。
（3）当＜0时，抛物线与x轴没有交点。
5．特殊值
（1）当x=1时，y=a+b+c；当x=﹣1时，y=a-b+c；当x=2时，y=4a+2b+c；当x=﹣2时，y=4a-2b+c。
（2）当对称轴为直线x=1时，2a+b=0；当对称轴为直线x=﹣1时，2a﹣b=0。
【热点题型精练】
11．（2022•黔东南州中考）若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b与反比例函数y=−cx在同一坐标系内的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022•青岛中考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（﹣3，0），则下列结论正确的是（ ）
A．b＞0B．c＜0C．a+b+c＞0D．3a+c＝0
13．（2022•烟台中考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x=−12，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③B．②④C．③④D．②③
14．（2022•巴中中考）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①2a+b＝0；
②c＝3；
③abc＞0；
④将图象向上平移1个单位后与直线y＝5有3个交点．
A．①②B．①③C．②③④D．①③④
15．（2022•济南中考）抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C，过点C作直线l垂直于y轴，将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G，点M（m﹣1，y1），N（m+1，y2）为图形G上两点，若y1＜y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣1或m＞0B．−12＜m＜12C．0≤m＜2D．﹣1＜m＜1
16．（2022•遂宁中考）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 ．
17．（2022•锦州中考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣1，0）和点（2，0），以下结论：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③a+b＝0；④当x＜12时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有 ．（填写代表正确结论的序号）
18．（2022•呼和浩特中考）在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 ．
三、二次函数图象上点的坐标特征
【高频考点精讲】
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（，）。
1．抛物线关于直线x＝对称，所以抛物线上的点关于直线x＝对称。
2．抛物线与y轴交点的纵坐标是解析式中的c。
3．抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（，0），（，0），则对称轴为。
【热点题型精练】
19．（2022•宁波中考）点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ）
A．m＞2B．m＞32C．m＜1D．32＜m＜2
20．（2022•温州中考）已知点A（a，2），B（b，2），C（c，7）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣2上，点A在点B左侧，下列选项正确的是（ ）
A．若c＜0，则a＜c＜bB．若c＜0，则a＜b＜c
C．若c＞0，则a＜c＜bD．若c＞0，则a＜b＜c
21．（2022•西安模拟）已知抛物线y＝x2+mx﹣1经过（﹣1，n）和（2，n）两点，则m+n的值为（ ）
A．﹣2B．0C．1D．2
22．（2022•淄博中考）若二次函数y＝ax2+2的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式n2﹣4m2﹣4n+9的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
23．（2022•厦门模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点P（2，y0），且对于抛物线上任意一点（x1，y1）都有y1≥y0，若点A（﹣2，m+2）与点B（t，n）均在该抛物线上，且m﹣n＜﹣2，则t的值可以是（ ）
A．7B．4C．1D．﹣1
24．（2022•徐州中考）若二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象上有且只有三个点到x轴的距离等于m，则m的值为 ．
四、二次函数图象与几何变换
【高频考点精讲】
1．抛物线平移后形状不变，所以系数a不变，平移后抛物线的解析式有两种求法
（1）求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式。
（2）求出平移后的顶点坐标，求出解析式。
2．平移规律：左加右减，上加下减。
【热点题型精练】
25．（2022•通辽中考）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（ ）
A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝x2+1D．y＝x2﹣1
26．（2022•玉林中考）小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0）有4种方法：
①向右平移2个单位长度
②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度
③向下平移4个单位长度
④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度
你认为小嘉说的方法中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
27．（2022•泸州中考）抛物线y=−12x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（ ）
A．y=−12x2+xB．y=−12x2﹣4
C．y=−12x2+2021x﹣2022D．y＝﹣x2+x+1
28．（2022•黔东南州中考）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2+2x﹣1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标是 ．
29．（2022•荆州中考）规定：两个函数y1，y2的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数y1＝2x+2与y2＝﹣2x+2的图象关于y轴对称，则这两个函数互为“Y函数”．若函数y＝kx2+2（k﹣1）x+k﹣3（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为 ．
30．（2022•湘西州中考）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是 ．
31．（2022•河北中考）如图，点P（a，3）在抛物线C：y＝4﹣（6﹣x）2上，且在C的对称轴右侧．
（1）写出C的对称轴和y的最大值，并求a的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P′，C′．平移该胶片，使C′所在抛物线对应的函数恰为y＝﹣x2+6x﹣9．求点P′移动的最短路程．
五、二次函数的最值
【高频考点精讲】
1、当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x＝时，y＝。
2、当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x＝时，y＝。
3、确定二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值的大小，从而获得最值。
【热点题型精练】
32．（2022•贺州中考）已知二次函数y＝2x2﹣4x﹣1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
33．（2022•包头中考）已知实数a，b满足b﹣a＝1，则代数式a2+2b﹣6a+7的最小值等于（ ）
A．5B．4C．3D．2
34．（2022•嘉兴中考）已知点A（a，b），B（4，c）在直线y＝kx+3（k为常数，k≠0）上，若ab的最大值为9，则c的值为（ ）
A．1B．32C．2D．52
35．（2022•六盘水中考）如图是二次函数y＝x2+bx+c的图象，该函数的最小值是 ．
36．（2022•凉山州中考）已知实数a、b满足a﹣b2＝4，则代数式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是 ．
37．（2022•绍兴中考）已知函数y＝﹣x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（0，﹣3），（﹣6，﹣3）．
（1）求b，c的值．
（2）当﹣4≤x≤0时，求y的最大值．
（3）当m≤x≤0时，若y的最大值与最小值之和为2，求m的值．
六、二次函数的应用
【高频考点精讲】
1、利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润、最大销量等问题，解决此类题目的关键是通过题意，确定二次函数的解析式，然后确定其最大值。实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此，在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围。
2、几何图形中的最值问题
①几何图形中面积的最值；②用料最佳方案；③动态几何中的最值讨论。
3、构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地将这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式解决问题。
【热点题型精练】
38．（2022•自贡中考）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（ ）
A．方案1B．方案2
C．方案3D．方案1或方案2
39．（2022•襄阳中考）在北京冬奥会自由式滑雪大跳台比赛中，我国选手谷爱凌的精彩表现让人叹为观止，已知谷爱凌从2m高的跳台滑出后的运动路线是一条抛物线，设她与跳台边缘的水平距离为xm，与跳台底部所在水平面的竖直高度为ym，y与x的函数关系式为y=−132x2+12x+2（0≤x≤20.5），当她与跳台边缘的水平距离为 m时，竖直高度达到最大值．
40．（2022•聊城中考）某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 元（利润＝总销售额﹣总成本）．
41．（2022•新疆中考）如图，用一段长为16m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形围栏（墙足够长），则这个围栏的最大面积为 m2．
42．（2022•南充中考）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高 m时，水柱落点距O点4m．
43．（2022•淮安中考）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进A、B两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进A品牌粽子100袋和B品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进A品牌粽子180袋和B品牌粽子120袋，总费用为8100元．
（1）求A、B两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
（2）当B品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对B品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当B品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出B品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
关系式
一般式y＝ax2+bx+c（a≠0）
顶点式（a≠0）
开口方向
当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下。
顶点坐标
（，）
（h，k）
对称轴
直线x＝
直线x＝h
增减性
a＞0
x＜时，y随x增大而减小；
x＞时，y随x增大而增大。
x＜h时，y随x增大而减小；
x＞h时，y随x增大而增大。
a＜0
x＜时，y随x增大而增大；
x＞时，y随x增大而增大。
x＜h时，y随x增大而增大；
x＞h时，y随x增大而减小。
最值
a＞0
当x＝时，。
当x＝h时，。
a＜0
当x＝时，。
当x＝h时，。