最新中考数学一轮高频考点+精讲精练 专题21 圆

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1、学生在第一轮复习阶段不要只钻难题、偏题，也不要搞题海战术，要注重学习方法，回归课本，抓住典型题目进行练习。
课本上的例题最具有典型性，可以有选择地做。在做例题时，要把其中包含的知识点抽出来进行总结、归纳，不要就题论题。
2、要注重知识点的梳理，将知识点形成网络。学生经过一学期的学习，要将知识点进行总结归纳，找出区别与联系。把各章的知识点绘制成知识网络图，将知识系统化、网络化，把知识点串成线，连成面。
3、要注重总结规律，加强解题后的反思。通过模拟练习题，找出复习重点和自身的薄弱点，认真总结解题的规律方法，切忌不要闷头做题。
专题21 圆
一、垂径定理及其应用
【高频考点精讲】
1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
2、垂径定理的推论
（1）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
（3）平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
3、垂径定理的应用：垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。
【热点题型精练】
1．（2022•泸州中考）如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝42，DE＝4，则BC的长是（ ）
A．1B．2C．2D．4
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OD⊥AC，
∴点D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，且OD=12BC，
设OD＝x，则BC＝2x，
∵DE＝4，
∴OE＝4﹣x，
∴AB＝2OE＝8﹣2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，
∴（8﹣2x）2＝（42）2+（2x）2，
解得x＝1．
∴BC＝2x＝2．
答案：C．
2．（2022•云南中考）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（ ）
A．713B．1213C．712D．1312
解：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE=12CD＝12，
∵AB＝26，
∴OC＝13．
∴cs∠OCE=CEOC=1213．
答案：B．
3．（2022•荆门中考）如图，CD是圆O的弦，直径AB⊥CD，垂足为E，若AB＝12，BE＝3，则四边形ACBD的面积为（ ）
A．363B．243C．183D．723
解：如图，连接OC，
∵AB＝12，BE＝3，
∴OB＝OC＝6，OE＝3，
∵AB⊥CD，
在Rt△COE中，EC=OC2−OE2=36−9=33，
∴CD＝2CE＝63，
∴四边形ACBD的面积=12AB⋅CD=12×12×63=363．
答案：A．
4．（2022•鄂州中考）工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图（1）所示的工件槽，其两个底角均为90°，将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图（1）所示的A、B、E三个接触点，该球的大小就符合要求．图（2）是过球心及A、B、E三点的截面示意图，已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD、BD⊥CD，若CD＝16cm，AC＝BD＝4cm，则这种铁球的直径为（ ）
A．10cmB．15cmC．20cmD．24cm
解：如图，连接OE，交AB于点F，连接OA，
∵AC⊥CD、BD⊥CD，
∴AC∥BD，
∵AC＝BD＝4cm，
∴四边形ACDB是平行四边形，
∴四边形ACDB是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝16cm，
∵CD切⊙O于点E，
∴OE⊥CD，
∴OE⊥AB，
∴四边形EFBD是矩形，AF=12AB=12×16＝8（cm），
∴EF＝BD＝4cm，
设⊙O的半径为rcm，则OA＝rcm，OF＝OE﹣EF＝（r﹣4）cm，
在Rt△AOF中，OA2＝AF2+OF2，
∴r2＝82+（r﹣4）2，
解得：r＝10，
∴这种铁球的直径为20cm，
答案：C．
5．（2022•自贡中考）一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20厘米，弓形高CD为2厘米，则镜面半径为 26 厘米．
解：如图，点O是圆形玻璃镜面的圆心，连接OC，则点C，点D，点O三点共线，
由题意可得：OC⊥AB，AC=12AB＝10（厘米），
设镜面半径为x厘米，
由题意可得：x2＝102+（x﹣2）2，
∴x＝26，
∴镜面半径为26厘米，
答案：26．
6．（2022•牡丹江中考）⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AC的长为 45或25 ．
解：连接OA，
∵OM：OC＝3：5，
设OC＝5x，OM＝3x，则DM＝2x，
∵CD＝10，
∴OM＝3，OA＝OC＝5，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BM=12AB，
在Rt△OAM中，OA＝5，
AM=OA2−OM2=52−32=4，
当如图1时，CM＝OC+OM＝5+3＝8，
在Rt△ACM中，AC=AM2+CM2=42+82=45；
当如图2时，CM＝OC﹣OM＝5﹣3＝2，
在Rt△ACM中，AC=AM2+MC2=42+22=25．
综上所述，AC的长为45或25．
答案：45或25．
7．（2022•长沙中考）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，且D为OC的中点，若OA＝7，则BC的长为 7 ．
解：∵OA＝OC＝7，且D为OC的中点，
∴OD＝CD，
∵OC⊥AB，
∴∠ODA＝∠CDB＝90°，AD＝BD，
在△AOD和△BCD中，
OD=CD∠ADO=∠BDCAD=BD
∴△AOD≌△BCD（SAS），
∴BC＝OA＝7．
答案：7．
8．（2022•荆州中考）如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20cm，底面直径BC＝12cm，球的最高点到瓶底面的距离为32cm，则球的半径为 7.5 cm（玻璃瓶厚度忽略不计）．
解：如图，设球心为O，过O作OM⊥AD于M，连接OA，
设球的半径为rcm，
由题意得：AD＝12cm，OM＝32﹣20﹣r＝（12﹣r）（cm），
由垂径定理得：AM＝DM=12AD＝6（cm），
在Rt△OAM中，由勾股定理得：AM2+OM2＝OA2，
即62+（12﹣r）2＝r2，
解得：r＝7.5，
即球的半径为7.5cm，
答案：7.5．
9．（2022•六盘水中考）牂牁江“余月郎山，西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上，月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说．真实情况是老王山上有个月亮洞，洞顶上经常有猴子爬来爬去，如图是月亮洞的截面示意图．
（1）科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28m，洞高AB约是12m，通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮，求半径OC的长（结果精确到0.1m）；
（2）若∠COD＝162°，点M在CD上，求∠CMD的度数，并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶CD上巡视时总能看清洞口CD的情况．
解：（1）设OA＝OC＝Rm，
∵OA⊥CD，
∴CB＝BD=12CD＝14m，
在Rt△COB中，OC2＝OB2+CB2，
∴R2＝142+（R﹣12）2，
∴R=856，
∴OC=856≈14.2m．
（2）补全⊙O，在CD的下方取一点N，连接CN，DN，CM，DM，
∵∠N=12∠COD＝81°，
∵∠CMD+∠N＝180°，
∴∠CMD＝99°．
∵∠CMD＝99°不变，是定值，
∴“齐天大圣”点M在洞顶CD上巡视时总能看清洞口CD的情况．
二、圆周角定理
【高频考点精讲】
1、圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
注意：圆周角必须同时满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两条边都与圆相交。
2、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
推论：半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
3、解题技巧：解决圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角。
【热点题型精练】
10．（2022•营口中考）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC，AC＝4，∠ADC＝30°，则BC的长为（ ）
A．43B．8C．42D．4
解：连接AB，如图所示，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°．
∵∠ADC＝30°，
∴∠ABC＝∠ADC＝30°．
∴在Rt△ABC中，
tan∠ABC=ACBC，
∴BC=ACtan∠ABC．
∵AC＝4，
∴BC=4tan30°=43．
答案：A．
11．（2022•包头中考）如图，AB，CD是⊙O的两条直径，E是劣弧BC的中点，连接BC，DE．若∠ABC＝22°，则∠CDE的度数为（ ）
A．22°B．32°C．34°D．44°
解：连接OE，
∵OC＝OB，∠ABC＝22°，
∴∠OCB＝∠ABC＝22°，
∴∠BOC＝180°﹣22°×2＝136°，
∵E是劣弧BC的中点，
∴CE=BE，
∴∠COE=12×136°＝68°，
由圆周角定理得：∠CDE=12∠COE=12×68°＝34°，
答案：C．
12．（2022•陕西中考）如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝46°，连接OA，则∠OAB＝（ ）
A．44°B．45°C．54°D．67°
解：如图，连接OB，
∵∠C＝46°，
∴∠AOB＝2∠C＝92°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB=180°−92°2=44°．
答案：A．
13．（2022•巴中中考）如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BC=BD，∠CDB＝30°，AC＝23，则OE＝（ ）
A．32B．3C．1D．2
解：如图，连接BC，
∵AB为⊙O的直径，BC=BD，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC＝∠CDB＝30°，AC=23，
∴AE＝AC•cs∠BAC＝3，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AB=ACcs∠BAC=4，
∴OA＝2，
∴OE＝AE﹣OA＝1．
答案：C．
14．（2022•襄阳中考）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为2，那么弦AC所对的圆周角的度数等于 45°或135° ．
解：如图，
∵OA＝OC＝1，AC=2，
∴OA2+OC2＝AC2，
∴∠AOC＝90°，
∴∠ADC＝45°，
∴∠AD'C＝135°，
答案：45°或135°．
15．（2022•日照中考）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为 132cm ．
解：连接AC，
∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，
∴AC是圆形镜面的直径，
由勾股定理得：AC=AB2+BC2=122+52=13（cm），
所以圆形镜面的半径为132cm，
答案：132cm．
16．（2022•永州中考）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝ 120 度．
解：∵∠ADC是AC所对的圆周角，
∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．
答案：120．
17．（2022•苏州中考）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝ 62 °．
解：如图，连接BC．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，
∴∠D＝∠ABC＝62°，
答案：62．
18．（2022•南通中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝22，点E在BC的延长线上，连接DE．
（1）求直径BD的长；
（2）若BE＝52，计算图中阴影部分的面积．
解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝∠DCE＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴BC＝DC＝22，
∴BD＝22×2=4；
（2）∵BE＝52，
∴CE＝32，
∵BC＝DC，
∴S阴影＝S△CDE=12×22×32=6．
三、圆内接四边形的性质
【高频考点精讲】
1、圆内接四边形的对角互补。
2、圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
【热点题型精练】
19．（2022•淮安中考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是（ ）
A．80°B．100°C．140°D．160°
解：∵∠AOC＝160°，
∴∠ADC=12∠AOC＝80°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣80°＝100°，
答案：B．
20．（2022•株洲中考）如图所示，等边△ABC的顶点A在⊙O上，边AB、AC与⊙O分别交于点D、E，点F是劣弧DE上一点，且与D、E不重合，连接DF、EF，则∠DFE的度数为（ ）
A．115°B．118°C．120°D．125°
解：四边形EFDA是⊙O内接四边形，
∴∠EFD+∠A＝180°，
∵等边△ABC的顶点A在⊙O上，
∴∠A＝60°，
∴∠EFD＝120°，
答案：C．
21．（2022•锦州中考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为 40° ．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，
∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，
答案：40°．
22．（2022•甘肃中考）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝ 70 °．
解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，
答案：70．
23．（2022•威海中考）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．
（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；
（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．
（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADE＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ADE；
（2）解：连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，
则∠FBC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝4，BC＝3，
∴sinF=BCCF=34，
∵∠F＝∠BAC，
∴sin∠BAC=34．
四、三角形的外接圆与外心
【高频考点精讲】
1、外接圆定义：经过三角形的三个顶点的圆。
2、外心定义：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点。
3、注意事项
（1）锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部。
（2）找三角形的外心，就是找三角形三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个。
【热点题型精练】
24．（2022•梧州中考）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB＝AC，∠BAC＝36°，在AB上取点D（不与点A，B重合），连接BD，AD，则∠BAD+∠ABD的度数是（ ）
A．60°B．62°C．72°D．73°
解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵四边形ADBC是圆内接四边形，
∴∠D+∠C＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠C＝108°，
∴∠BAD+∠ABD＝180°﹣∠D＝72°，
答案：C．
25．（2022•十堰中考）如图，⊙O是等边△ABC的外接圆，点D是弧AC上一动点（不与A，C重合），下列结论：①∠ADB＝∠BDC；②DA＝DC；③当DB最长时，DB＝2DC；④DA+DC＝DB，其中一定正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵AB=AB，BC=BC，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，
∴∠ADB＝∠BDC，故①正确；
∵点D是弧AC上一动点，
∴AD与CD不一定相等，
∴DA与DC不一定相等，故②错误；
当DB最长时，DB为⊙O直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠BDC＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴DB＝2DC，故③正确；
在DB上取一点E，使DE＝AD，如图：
∵∠ADB＝60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，∠DAE＝60°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵AB＝AC，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴BE＝CD，
∴BD＝BE+DE＝CD+AD，故④正确；
∴正确的有①③④，共3个，
答案：C．
26．（2022•杭州中考）如图，已知△ABC内接于半径为1的⊙O，∠BAC＝θ（θ是锐角），则△ABC的面积的最大值为（ ）
A．csθ（1+csθ）B．csθ（1+sinθ）
C．sinθ（1+sinθ）D．sinθ（1+csθ）
解：当△ABC的高AD经过圆的圆心时，此时△ABC的面积最大，
如图所示，
∵A′D⊥BC，
∴BC＝2BD，∠BOD＝∠BA′C＝θ，
在Rt△BOD中，
sinθ=BDOB=BD1，csθ=ODOB=OD1
∴BD＝sinθ，OD＝csθ，
∴BC＝2BD＝2sinθ，
A′D＝A′O+OD＝1+csθ，
∴S△ABC=12A′D•BC=12×2sinθ（1+csθ）＝sinθ（1+csθ）．
答案：D．
27．（2022•玉林中考）如图，在5×7网格中，各小正方形边长均为1，点O，A，B，C，D，E均在格点上，点O是△ABC的外心，在不添加其他字母的情况下，则除△ABC外把你认为外心也是O的三角形都写出来 △ABD，△ACD，△BCD ．
解：由图可知：
OA=12+22=5，
OB=12+22=5，
OC=12+22=5，
OD=12+22=5，
OE=12+32=10，
∴OA＝OB＝OC＝OD≠OE，
∴△ABD，△ACD，△BCD的外心都是点O，
答案：△ABD，△ACD，△BCD．
28．（2022•黑龙江中考）如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为3cm．C为⊙O上一点，∠ACB＝60°，则AB的长为 33 cm．
解：连接AO并延长交⊙O于点D，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ADB＝∠ACB＝60°，
在Rt△ABD中，AD＝6cm，
∴AB＝AD•sin60°＝6×32=33（cm），
答案：33．
29．（2022•凉山州中考）如图，在边长为1的正方形网格中，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在格点上，则cs∠ACB的值是 21313 ．
解：连接AD，BD，AD和BD相交于点D，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵AB＝6，BD＝4，
∴AD=AB2+BD2=62+42=213，
∴cs∠ADB=BDAD=4213=21313，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴cs∠ACB的值是21313，
答案：21313．
五、切线的性质
【高频考点精讲】
1、圆的切线垂直于经过切点的半径。
2、经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
3、经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
4、切线性质的运用：由切线长定理可知，如果出现圆的切线，可以连接过切点的半径，得出垂直关系。
【热点题型精练】
30．（2022•深圳中考）已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，BC为圆O切线，C为切点，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（ ）
A．1：3B．1：2C．2：2D．（2−1）：1
解：如图，连接OC，
∵BC是⊙O的切线，OC为半径，
∴OC⊥BC，
即∠OCB＝90°，
∴∠COD+∠OBC＝90°，
又∵∠ABE＝90°，即∠ABC+∠OBC＝90°，
∴∠ABC＝∠COD，
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DCE＝90°，即∠OCE+∠OCD＝90°，
又∠A+∠E＝90°，而∠E＝∠OCE，
∴∠A＝∠OCD，
在△ABC和△COD中，
∠A=∠OCD∠ABC=∠CODAC=CD，
∴△ABC≌△COD（AAS），
又∵EO＝DO，
∴S△COD＝S△COE=12S△DCE，
∴S△ABC=12S△DCE，
即△ABC和△CDE面积之比为1：2，
答案：B．
31．（2022•无锡中考）如图，AB是圆O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D的切线交AC于点E，∠EAD＝25°，则下列结论错误的是（ ）
A．AE⊥DEB．AE∥ODC．DE＝ODD．∠BOD＝50°
解：∵弦AD平分∠BAC，∠EAD＝25°，
∴∠OAD＝∠ODA＝25°．
∴∠BOD＝2∠OAD＝50°．
故选项D不符合题意；
∵∠OAD＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ODA，
∴OD∥AC，即AE∥OD，故选项B不符合题意；
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∴DE⊥AE．故选项A不符合题意；
如图，过点O作OF⊥AC于F，则四边形OFED是矩形，
∴OF＝DE．
在直角△AFO中，OA＞OF．
∵OD＝OA，
∴DE＜OD．
故选项C符合题意．
答案：C．
32．（2022•重庆中考）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，连接AO交⊙O于点C，延长AO交⊙O于点D，连接BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，则AB的长度是（ ）
A．3B．4C．33D．42
解：如图，连接OB，
∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，
∴AB2＝OA2﹣OB2，
∵OB和OD是半径，
∴∠D＝∠OBD，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠D＝∠OBD，
∴△OBD∽△BAD，AB＝BD，
∴OD：BD＝BD：AD，
∴BD2＝OD•AD，
即OA2﹣OB2＝OD•AD，
设OD＝x，
∵AC＝3，
∴AD＝2x+3，OB＝x，OA＝x+3，
∴（x+3）2﹣x2＝x（2x+3），解得x＝3（负值舍去），
∴OA＝6，OB＝3，
∴AB2＝OA2﹣OB2＝27，
∴AB＝33，
答案：C．
33．（2022•资阳中考）如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作⊙O的切线AD．若∠B＝35°，则∠DAC的度数是 35 度．
解：∵AB为直径，
∴∠C＝90°，
∵∠B＝35°，
∴∠BAC＝55°，
∵AD与⊙O相切，
∴AB⊥AD，即∠BAD＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠BAC＝35°．
答案：35．
34．（2022•泰州中考）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与⊙O相交于点B，点C在AmB上，且与点A、B不重合．若∠P＝26°，则∠C的度数为 32 °．
解：如图，连接AO并延长交⊙O于点D，连接DB，
∵PA与⊙O相切于点A，
∴∠OAP＝90°，
∵∠P＝26°，
∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣26°＝64°，
∴∠D=12∠AOP=12×64°＝32°，
∵点C在AmB上，且与点A、B不重合，
∴∠C＝∠D＝32°，
答案：32．
35．（2022•青岛中考）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，OA与⊙O交于点C，以点A为圆心、以OC的长为半径作EF，分别交AB，AC于点E，F．若OC＝2，AB＝4，则图中阴影部分的面积为 4﹣π ．
解：连接OB，
∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴∠OBA＝90°，
∴∠BOA+∠A＝90°，
由题意得：
OB＝OC＝AE＝AF＝2，
∴阴影部分的面积＝△AOB的面积﹣（扇形BOC的面积+扇形EAF的面积）
=12AB•OB−90π×22360
=12×4×2﹣π
＝4﹣π，
答案：4﹣π．
36．（2022•济南中考）已知：如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，交AB延长线于点D，连接AC，BC，∠D＝30°，CE平分∠ACB交⊙O于点E，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
（1）求证：CA＝CD；
（2）若AB＝12，求线段BF的长．
（1）证明：连接OC，
∵CD与⊙O相切于点C，
∴∠OCD＝90°，
∵∠D＝30°，
∴∠COD＝90°﹣∠D＝60°，
∴∠A=12∠COD＝30°，
∴∠A＝∠D＝30°，
∴CA＝CD；
（2）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°，AB＝12，
∴BC=12AB＝6，
∵CE平分∠ACB，
∴∠BCE=12∠ACB＝45°，
∵BF⊥CE，
∴∠BFC＝90°，
∴BF＝BC•sin45°＝6×22=32，
∴线段BF的长为32．
六、三角形的内切圆与内心
【高频考点精讲】
内切圆定义：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
2、内心定义：三角形三个内角角平分线的交点。
3、任何三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形。
4、三角形内心的性质
（1）三角形的内心到三角形三边的距离相等。
（2）三角形的内心与三角形顶点的连线平分内角。
【热点题型精练】
37．（2022•娄底中考）如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（ ）
A．3π18B．318C．3π9D．39
解：作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，AD和BE交于点O，如图所示，
设AB＝2a，则BD＝a，
∵∠ADB＝90°，
∴AD=AB2−BD2=3a，
∴OD=13AD=33a，
∴圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是：π×(33a)2×122a⋅3a2=3π18，
答案：A．
38．（2022•德阳中考）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
解：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，故①正确；
如图，连接BE，CE，
∵E是△ABC的内心，
∴∠EBC=12∠ABC，∠ECB=12∠ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°−12（∠ABC+∠ACB）＝120°，故②正确；
∵∠BAD＝∠CAD，
∴BD=DC，
∴OD⊥BC，
∵点G为BC的中点，
∴G一定在OD上，
∴∠BGD＝90°，故③正确；
如图，连接BE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，
∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，故④正确．
∴一定正确的①②③④，共4个．
答案：D．
39．（2022•黔东南州中考）如图，在△ABC中，∠A＝80°，半径为3cm的⊙O是△ABC的内切圆，连接OB、OC，则图中阴影部分的面积是 134π cm2．（结果用含π的式子表示）
解：∵∠A＝80°，⊙O是△ABC的内切圆，
∴∠DOE＝180°﹣（12∠ABC+12∠ACB）＝180°−12（180°﹣∠A）＝130°，
∴S扇形DOE=130π×32360=134π（cm2），
答案：134π．
40．（2022•泰州中考）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，O为内心，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E．若DE＝CD+BE，则线段CD的长为 2或12 ．
解：如图，过点O的直线分别与AC、AB边相交于点D、E，连接BO，CO，
∵O为△ABC的内心，
∴CO平分∠ACB，BO平分∠ABC，
∴∠BCO＝∠ACO，∠CBO＝∠ABO，
当CD＝OD时，则∠OCD＝∠COD，
∴∠BCO＝∠COD，
∴BC∥DE，
∴∠CBO＝∠BOE，
∴BE＝OE，
则DE＝CD+BE，
设CD＝OD＝x，BE＝OE＝y，
在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=10，
∴ADAC=DEBCAEAB=DEBC，即8−x8=x+y610−y10=8−x8，
解得x=2y=52，
∴CD＝2，
过点O作D′E′⊥AB，作DE∥BC，
∵点O为△ABC的内心，
∴OD＝OE′，
在Rt△ODD′和Rt△OE′E中，
∠OE′E=∠ODD′OE′=OD∠EOE′=∠D′OD，
∴△ODD′≌△OE′E（ASA），
∴OE＝OD′，
∴D′E′＝DE＝CD+BE＝CD′+BE′＝2+52=92，
在△AD′E′和△ABC中，
∠A=∠A∠D′E′A=∠BCA，
∴△AD′E′∽△ABC，
∴AD′AB=D′E′BC，
∴AD′10=926，
解得：AD′=152，
∴CD′＝AC﹣AD′=12，
答案：2或12．
41．（2022•宜宾中考）我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．若直角三角形的内切圆半径为3，小正方形的面积为49，则大正方形的面积为 289 ．
解：如图，设内切圆的圆心为O，连接OE、OD，
则四边形EODC为正方形，
∴OE＝OD＝3=AC+BC−BA2，
∴AC+BC﹣AB＝6，
∴AC+BC＝AB+6，
∴（AC+BC）2＝（AB+6）2，
∴BC2+AC2+2BC×AC＝AB2+12AB+36，
而BC2+AC2＝AB2，
∴2BC×AC＝12AB+36①，
∵小正方形的面积为49，
∴（BC﹣AC）2＝49，
∴BC2+AC2﹣2BC×AC＝49②，
把①代入②中得
AB2﹣12AB﹣85＝0，
∴（AB﹣17）（AB+5）＝0，
∴AB＝17（负值舍去），
∴大正方形的面积为 289．
答案：289．
七、弧长及扇形面积计算
【高频考点精讲】
1、弧长计算
（1）圆周长公式：C＝2πR
（2）弧长公式：l＝（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）
2、扇形面积计算
（1）圆面积公式：S＝πr2
（2）扇形：组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。
（3）扇形面积计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则
①S扇形＝πR2
②S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）
（4）求阴影面积解题技巧：将不规则图形面积转化为规则图形的面积。常用方法：①直接用公式法；②和差法；
③割补法。
【热点题型精练】
42．（2022•湖北中考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，以点C为圆心，CA的长为半径画弧，交AB于点D，则AD的长为（ ）
A．πB．43πC．53πD．2π
解：连接CD，如图所示：

∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝8，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，AC=12AB=4，
由题意得：AC＝CD，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴AD的长为：60π×4180=43π，
答案：B．
43．（2022•广西中考）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，∠BAC＝α，将△ABC绕点A逆时针旋转2α，得到△AB′C′，连接B′C并延长交AB于点D，当B′D⊥AB时，BB′的长是（ ）
A．233πB．433πC．839πD．1039π
解：∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝DB=12AB′．
∴∠AB′D＝30°，
∴α＝30°，
∵AC＝4，
∴AD＝AC•cs30°＝4×32=23，
∴AB=2AD=43，
∴BB′的长度l=nπr180=60×π×43180=433π．
答案：B．
44．（2022•丽水中考）某仿古墙上原有一个矩形的门洞，现要将它改为一个圆弧形的门洞，圆弧所在的圆外接于矩形，如图．已知矩形的宽为2m，高为23m，则改建后门洞的圆弧长是（ ）
A．5π3mB．8π3mC．10π3mD．（5π3+2）m
解：连接AC，BD，AC和BD相交于点O，则O为圆心，如图所示，
由题意可得，CD＝2m，AD＝23m，∠ADC＝90°，
∴tan∠DCA=ADCD=232=3，AC=CD2+AD2=4（m），
∴∠ACD＝60°，OA＝OC＝2m，
∴∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝60°，
∴优弧ADCB所对的圆心角为300°，
∴改建后门洞的圆弧长是：300π×2180=10π3（m），
答案：C．
45．（2022•资阳中考）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与AB交于点C，连接AC．若OA＝2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．2π3−32B．2π3−3C．π3−32D．π3
解：连接CO，直线l与AO交于点D，如图所示，
∵扇形AOB中，OA＝2，
∴OC＝OA＝2，
∵点A与圆心O重合，
∴AD＝OD＝1，CD⊥AO，
∴OC＝AC，
∴OA＝OC＝AC＝2，
∴△OAC是等边三角形，
∴∠COD＝60°，
∵CD⊥OA，
∴CD=OC2−OD2=22−12=3，
∴阴影部分的面积为：60π×22360−2×32=2π3−3，
答案：B．
46．（2022•兰州中考）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（ ）
A．4.25πm2B．3.25πm2C．3πm2D．2.25πm2
解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC
=120π×9360−120π×94360
＝2.25πm2．
答案：D．
47．（2022•泰安中考）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（ ）
A．6π﹣93B．12π﹣93C．6π−932D．12π−932
解：过点E作EG⊥DF交DF于点G，
∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，
∴∠GDE＝∠DEA＝30°，
∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD＝30°，
∴∠DEF＝120°，
∵∠GDE＝30°，DE＝6，
∴GE＝3，DG＝33，
∴DF＝63，
阴影部分的面积=120π×36360−12×63×3＝12π﹣93，
答案：B．
48．（2022•大连中考）如图，正方形ABCD的边长是2，将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E，则弧CE的长是 12π （结果保留π）．
解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠CAD＝45°，AC=2AB=2×2=2，
∵对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数，点C旋转后的对应点为E，
∴CE的长度为45×π×2180=12π．
答案：12π．
49．（2022•青海中考）如图，从一个腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，则此扇形的弧长为 20π cm．
解：过O作OE⊥AB于E，当扇形的半径为OE时扇形OCD最大，
∵OA＝OB＝60cm，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°，
∴OE=12OA＝30cm，
∴弧CD的长=120⋅π⋅30180=20πcm，
答案：20π．
50．（2022•黔西南州中考）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH＝90°．则图中阴影部分面积是 2π﹣4 ．
解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠OBE＝∠OCG＝45°，S△OBC=14S四边形ABCD＝4，
∵∠BOC＝∠EOG＝90°，
∴∠BOE＝∠COG，
在△BOE和△COG中，
∠BOE=∠COGOB=OC∠OBE=∠OCG，
∴△OBE≌△OCG（SAS），
∴S△OBE＝S△OCG，
∴S四边形OECG＝S△OBC＝4，
∵△OBC是等腰直角三角形，BC＝4，
∴OB＝OC＝22，
∴S阴＝S扇形OFH﹣S四边形OECG
=90π⋅(22)2360−4
＝2π﹣4，
答案：2π﹣4．
51．（2022•河南中考）如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O′处，得到扇形A′O′B′．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为 π3+32 ．
解：如图，设O′A′交AB于点T，连接OT．
∵OT＝OB，OO′＝O′B，
∴OT＝2OO′，
∵∠OO′T＝90°，
∴∠O′TO＝30°，∠TOO′＝60°，
∴S阴＝S扇形O′A′B′﹣（S扇形OTB﹣S△OTO′）
=90⋅π×22360−（60⋅π⋅22360−12×1×3）
=π3+32．
答案：π3+32．
52．（2022•泰州中考）如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．
解：（1）设BC与⊙O交于点M，
当t＝2.5时，BE＝2.5，
∵EF＝10，
∴OE=12EF＝5，
∴OB＝2.5，
∴EB＝OB，
在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴ME＝MO，
又∵MO＝EO，
∴ME＝EO＝MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM＝60°，
∴lME=60π×5180=5π3，
即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为5π3；
（2）连接GO，HO，
∵∠GOH＝90°，
∴∠AOG+∠BOH＝90°，
∵∠AGO+∠AOG＝90°，
∴∠AGO＝∠BOH，
在△AGO和△OBH中，
∠AGO=∠BOH∠GAO=∠HBOOG=OH，
∴△AGO≌△BOH（AAS），
∴OB＝AG＝t﹣5，
∵AB＝7，
∴AE＝t﹣7，
∴AO＝5﹣（t﹣7）＝12﹣t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2＝OG2，
∴（t﹣5）2+（12﹣t）2＝52，
解得：t1＝8，t2＝9，
即t的值为8或9．
八、圆锥的计算
【高频考点精讲】
1、圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线叫做圆锥的母线。顶点与底面圆心的连线叫圆锥的高。
2、圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长。
3、圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl．
4、圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl
5、圆锥的体积＝×底面积×高
6、注意事项
（1）圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等。
（2）圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等。
【热点题型精练】
53．（2022•柳州中考）如图，圆锥底面圆的半径AB＝4，母线长AC＝12，则这个圆锥的侧面积为（ ）
A．16πB．24πC．48πD．96π
解：弧AA′的长，就是圆锥的底面周长，即2π×4＝8π，
所以扇形的面积为12×8π×12＝48π，
即圆锥的侧面积为48π，
答案：C．
54．（2022•赤峰中考）如图所示，圆锥形烟囱帽的底面半径为12cm，侧面展开图为半圆形，则它的母线长为（ ）
A．10cmB．20cmC．5cmD．24cm
解：设母线的长为R，
由题意得，πR＝2π×12，
解得R＝24，
∴母线的长为24cm，
答案：D．
55．（2022•贺州中考）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”，“沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm，高是6cm；圆柱体底面半径是3cm，液体高是7cm．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
解：如图：
∵圆锥体底面半径是6cm，高是6cm，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴△CDE也是等腰直角三角形，即CD＝DE，
由已知可得：液体的体积为π×32×7＝63π（cm3），圆锥的体积为13π×62×6＝72π（cm3），
∴计时结束后，圆锥中没有液体的部分体积为72π﹣63π＝9π（cm3），
设计时结束后，“沙漏”中液体的高度AD为xcm，则CD＝DE＝（6﹣x）cm，
∴13π•（6﹣x）2•（6﹣x）＝9π，
∴（6﹣x）3＝27，
解得x＝3，
∴计时结束后，“沙漏”中液体的高度为3cm，
答案：B．
56．（2022•宿迁中考）用半径为6cm，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是 2 cm．
解：设这个圆锥的底面圆的半径为rcm，
由题意得：2πr=120×π×6180，
解得：r＝2，
∴这个圆锥的底面圆的半径为2cm，
答案：2．
57．（2022•云南中考）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为30cm，底面圆的半径为10cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是 120° ．
解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是n°，
2π×10=nπ×30180，
解得n＝120，
即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是120°，
答案：120°．
58．（2022•黑龙江中考）已知圆锥的高是12，底面圆的半径为5，则这个圆锥的侧面展开图的周长为 26+10π ．
解：∵圆锥的底面半径是5，高是12，
∴圆锥的母线长为13，
∴这个圆锥的侧面展开图的周长＝2×13+2π×5＝26+10π．
答案：26+10π．