新教材同步备课2024春高中数学第7章随机变量及其分布7.3离散型随机变量的数字特征7.3.2离散型随机变量的方差教师用书新人教A版选择性必修第三册

7.3.2　离散型随机变量的方差甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的次品数分别用X1，X2表示，X1，X2的分布列如下：(1)由E(X1)和E(X2)的值能比较两名工人生产的产品质量吗？(2)试想利用什么指标可以比较加工质量？知识点1　离散型随机变量的方差(1)离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列为考虑X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2．因为X取每个值的概率不尽相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度，我们称D(X)＝＝为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)．(2)离散型随机变量方差和标准差的意义随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． (1)方差也可以用公式D(X)＝(2)随机变量的方差是非负常数．随机变量的方差与样本方差有什么关系？[提示]　随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．知识点2　离散型随机变量方差的线性运算性质设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平． (　　)(2)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平． (　　)(3)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定． (　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)×2．已知随机变量ξ，D(ξ)＝，则D(2ξ＋1)＝________．1　[D(2ξ＋1)＝4D(ξ)＝4×＝1．]3．已知随机变量X，D(X)＝，则X的标准差σ(X)＝________．　[σ(X)＝＝＝．] 类型1　求离散型随机变量的方差【例1】　(源自北师大版教材)随机抛掷一枚均匀的骰子，求掷出的点数X的方差和标准差(结果精确到0.01)．[解]　掷出点数X的分布列如下表：E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝3.5；D(X)＝(1－3.5)2×＋(2－3.5)2×＋(3－3.5)2×＋(4－3.5)2×＋(5－3.5)2×＋(6－3.5)2×＝≈2.92；σ(X)＝≈1.71．　求离散型随机变量X的方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值． (2)求X取每一个值的概率．(3)写出随机变量X的分布列．(4)由均值、方差公式求E(X)，D(X)．[跟进训练]1．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求D(ξ)．[解]　由题意知ξ的可能取值为6，9，12．ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2，则P(ξ＝6)＝＝；ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P(ξ＝9)＝＝；ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5，则P(ξ＝12)＝＝．∴ξ的分布列为∴E(ξ)＝6×＋9×＋12×＝7.8，∴D(ξ)＝(6－7.8)2×＋(9－7.8)2×＋(12－7.8)2×＝3.36． 类型2　方差的性质及其应用【例2】　已知η的分布列为(1)求η的方差及标准差；(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．[解]　(1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，∴D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，∴σ(η)＝＝8．(2)∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－16)＝22D(η)＝4×384＝1 536．[母题探究](变条件)将本例的分布列改为其他不变，如何求解？[解]　(1)∵E(X)＝1×0.1＋2×0.2＋3×0.4＋4×0.2＋5×0.1＝3，∴D(X)＝(1－3)2×0.1＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.4＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.1＝1.2，∴σ(X)＝＝．(2)∵Y＝2X－E(X)，∴D(Y)＝D(2X－E(X))＝22D(X)＝4×1.2＝4.8．　与离散型随机变量方差性质有关问题的解题思路对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2D(X)，这样处理既避免了求随机变量η＝aX＋b的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．[跟进训练]2．已知X的分布列为(1)计算X的方差；(2)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．[解]　(1)法一：由＋a＝1知a＝，所以X的均值E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－．故X的方差D(X)＝＝．法二：由＋a＝1知a＝，所以X的均值E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－，X2的均值E(X 2)＝0×＋1×＝，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝．(2)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11． 类型3　方差的简单应用【例3】　甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为(1)求a，b的值；(2)计算ξ，η的期望与方差，并以此分析甲、乙技术状况．[思路导引]　—[解]　(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a＋0.1＋0.6＝1，∴a＝0.3．同理0.3＋b＋0.3＝1，解得b＝0.4．(2)易得E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，则D(ξ)＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81，D(η)＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6．由于E(ξ)>E(η)，所以在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D(ξ)>D(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．　(1)解题时可采用比较分析法，通过比较两个随机变量的均值和方差得出结论．(2)均值体现了随机变量取值的平均水平，有时只比较均值往往是不恰当的，还需比较方差，才能准确地得出更适合的结论．[跟进训练]3．甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为试评定两个保护区的管理水平．[解]　甲保护区的违规次数X1的均值和方差分别为E(X1)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(X1)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21．乙保护区的违规次数X2的均值和方差分别为E(X2)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3；D(X2)＝(0－1.3)2×0.1＋(1－1.3)2×0.5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41．因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更集中和稳定．1．(多选)下列说法正确的是(　　)A．随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”B．随机变量的均值反映波动幅度的大小C．随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度D．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散ACD　[随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”．随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小，所以A正确，B错误．随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量的取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散，所以C、D正确．]2．已知随机变量X的分布列如下表，则X的标准差为(　　)A．3.56 B．C．3.2 D．D　[易知0.4＋0.1＋x＝1，解得x＝0.5，所以E(X)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，所以D(X)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56，所以X的标准差为＝．故选D．]3．随机变量X的分布列如下：已知随机变量Y＝aX＋b(a，b>0)，且E(Y)＝10，D(Y)＝4，则a与b的值为(　　)A．a＝10，b＝3 B．a＝3，b＝10C．a＝5，b＝6 D．a＝6，b＝5C　[因为0.2＋m＝1，所以m＝0.8．所以E(X)＝0×0.2＋1×0.8＝0.8，D(X)＝(0－0.8)2×0.2＋(1－0.8)2×0.8＝0.16．因为E(Y)＝10，D(Y)＝4，所以aE(X)＋b＝0.8a＋b＝10，a2D(X)＝0.16a2＝4，解得a＝5，b＝6，故选C．]4．已知随机变量X的分布列为若E(X)＝，则D(X)＝________；若Y＝4X－3，则D(Y)＝________．　[由＋p＝1，得p＝，又E(X)＝0×＋1×x＝，所以x＝2．D(X)＝＝．因为Y＝4X－3，所以D(Y)＝D(4X－3)＝16D(X)＝16×＝．]回顾本节知识，自主完成以下问题：1．随机变量X的方差和标准差反映了随机变量X的哪些特征？[提示]　反映了X取值的稳定性和波动，集中与离散程度．2．D(X)越小，随机变量X的取值怎样？[提示]　越稳定，波动越小．课时分层作业(十五)　离散型随机变量的方差一、选择题1．若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为 (　　)A．0.5和0.25　 B．0.5和0.75C．1和0.25 D．1和0.75A　[∵X服从两点分布，∴X的分布列为∴E(X)＝0×0.5＋1×0.5＝0.5，D(X)＝(0－0.5)2×0.5＋(1－0.5)2×0.5＝0.25．故选A．]2．已知ξ的分布列为则在下列各式①E(ξ)＝－；②D(ξ)＝；③P(ξ＝0)＝中，正确的个数是(　　)A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3C　[由题意，根据随机变量的期望与方差的计算公式可得：E(ξ)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，所以①正确；D(ξ)＝＝，所以②不正确；又由分布列可知P(ξ＝0)＝，所以③正确．]3．(多选)投资甲、乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示， 表1　股票甲收益的分布列表2　股票乙收益的分布列则下列结论中正确的是(　　)A．投资股票甲的期望收益较小B．投资股票乙的期望收益较小C．投资股票甲比投资股票乙的风险高D．投资股票乙比投资股票甲的风险高BC　[甲收益的期望E(X)＝－1×0.1＋0×0.3＋2×0.6＝1.1，方差D(X)＝(－1－1.1)2×0.1＋(0－1.1)2×0.3＋(2－1.1)2×0.6＝1.29，乙收益的期望E(Y)＝0×0.3＋1×0.4＋2×0.3＝1，方差D(Y)＝(0－1)2×0.3＋(1－1)2×0.4＋(2－1)2×0.3＝0.6，所以E(X)>E(Y)，D(X)>D(Y)，则投资股票乙的期望收益较小，投资股票甲比投资股票乙的风险高．]4．设随机变量X的概率分布为P(X＝i)＝，i＝1，2，3，则D(X)等于(　　)A． B．C．1 D．2B　[因为P(X＝i)＝，i＝1，2，3，E(X)＝1×＋2×＋3×＝2，所以D(X)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(3－2)2＝．]5．(多选)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，5)，a∈R，E(ξ)，D(ξ)分别为随机变量ξ的数学期望与方差，则下列结论正确的是(　　)A．P(0<ξ<3.5)＝B．E(3ξ＋1)＝7C．D(ξ)＝2D．D(3ξ＋1)＝6ABC　[因为P(ξ＝k)＝(k＝1，2，5)，a∈R，所以P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝5)＝＝，所以＝1，解得a＝1，P(0<ξ<3.5)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＝＝，故A选项正确；因为E(ξ)＝1×＋2×＋5×＝2，所以E(3ξ＋1)＝3E(ξ)＋1＝3×2＋1＝7，故B选项正确；D(ξ)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(5－2)2＝2，故C选项正确；D(3ξ＋1)＝32D(ξ)＝9×2＝18，故D选项错误．]二、填空题6．随机变量ξ的分布列是若E(ξ)＝，则D(ξ)＝________．　[由分布列的性质可得，a＋b＝1， ①又因为E(ξ)＝，所以2a＋4b＝， ②联立①②，解得a＝，b＝，所以D(ξ)＝＋＝．]7．若随机变量X的分布列为：D(X)为随机变量X的方差，则D(3X＋1)＝_______________．6　[由题意可知＋a＝1，可得a＝，所以E(X)＝(0＋1＋2)＝1，则D(X)＝[(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2]＝，所以D(3X＋1)＝9×＝6．]8．已知离散型随机变量X的分布列如下表．若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________．　[由分布列的性质知a＋b＋c＋＝1， ①由均值和方差的计算公式，得－a＋c＋＝0， ②(－1－0)2×a＋(1－0)2×c＋(2－0)2×＝1， ③联立①②③，解得a＝，b＝，c＝．]三、解答题9．数字1，2，3，4，5任意排成一列，如果数字k恰好在第k个位置上，则称有一个巧合．把存在此种情况的数字的个数称为巧合数ξ．(1)求巧合数ξ的分布列；(2)求巧合数ξ的期望与方差．[解]　(1)ξ可能取值为0，1，2，3，5，数字1，2，3，4，5任意排成一列，其基本事件的总数为，ξ＝5时，5个数字均在对应位置，有1种排法，所以P(ξ＝5)＝＝；ξ＝3，有3个数字在对应位置，另外2个数字互换位置，P(ξ＝3)＝＝＝；ξ＝2，有2个数字在对应位置，另外3个数不在对应位置，所以P(ξ＝2)＝＝＝；ξ＝1，有1个数字在对应位置，另外4个数字不在对应位置，所以P(ξ＝1)＝＝＝；ξ＝0，所有5个数字均不在对应位置，所以P(ξ＝0)＝＝．则巧合数ξ的分布列为(2)E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＝1，D(ξ)＝1×＋0＋1×＋4×＋16×＝1．10．(2023·广西钦州期中)已知离散型随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，且P(X≥1)＝，P(X＝3)＝，若X的数学期望E(X)＝，则D(4X－3)＝(　　)A．19 B．16C． D． A　[由题知P(X＝0)＝，设P(X＝1)＝a，则P(X＝2)＝－a＝－a，因此E(X)＝0×＋1×a＋2×＋3×＝，解得a＝，因此离散型随机变量X的分布列如下：则D(X)＝＋＋＋＝，因此D(4X－3)＝16D(X)＝19．故选A．]11．(2023·浙江宁波十校期末联考)将3个小球放入3个盒子中，盒子的容量不限，且每个小球放入各盒子的概率相等．记X为放入后所剩空盒的个数，Y为放入后不空盒子的个数，则(　　)A．E(X)＝E(Y)，D(X)＝D(Y)B．E(X)＝E(Y)，D(X)≠D(Y)C．E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)D．E(X)≠E(Y)，D(X)≠D(Y)C　[由题意得X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝，D(X)＝＝．Y的可能取值为1，2，3，P(Y＝1)＝P(X＝2)＝，P(Y＝2)＝P(X＝1)＝，P(Y＝3)＝P(X＝0)＝，∴E(Y)＝1×＋2×＋3×＝，D(Y)＝＝，∴E(X)≠E(Y)，D(X)＝D(Y)．故选C．]12．(多选)已知随机变量X的分布列如下表，则下列说法正确的是(　　)A．存在x，y∈(0，1)，E(X)>B．对任意x，y∈(0，1)，E(X)≤C．对任意x，y∈(0，1)，D(X)BC　[依题意可得x＋y＝1，E(X)＝2xy，又2xy≤＝，所以E(X)≤，当且仅当x＝y＝时取等号，∴A错误，B正确；D(X)＝(x－2xy)2y＋(y－2xy)2x＝(1－2y)2x2y＋(1－2x)2y2x＝[(1－2y)2x＋(1－2x)2y]yx＝[(2x－1)2x＋(1－2x)2y]yx＝(1－2x)2(x＋y)yx＝(1－2x)2yx，∵0