2023-2024学年广东省佛山市南海实验中学九年级（上）第二次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省佛山市南海实验中学九年级（上）第二次月考数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．2cm，3cm，4cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm，6cmD．3cm，4cm，6cm，9cm
2．下列说法错误的是（ ）
A．任意两个矩形都相似
B．任意两个正六边形都相似
C．任意两个正方形都相似
D．有一个角对应相等的菱形相似
3．用配方法解方程3x2+2x﹣1＝0，配方后的方程是（ ）
A．3（x﹣1）2＝0B．（x+）2＝
C．（x+）2＝D．（x+）2＝
4．观察表格中数据，一元二次方程x2﹣3x﹣4.6＝0的一个近似解为（ ）
A．﹣1.073B．﹣1.089C．﹣1.117D．﹣1.123
5．在一个不透明的盒子中装有20个黄、白两种颜色的乒乓球，除颜色外其它都相同，小明进行了多次摸球试验，发现摸到白色乒乓球的频率稳定在0.2左右，由此可知盒子中黄色乒乓球的个数可能是（ ）
A．2个B．4个C．18个D．16个
6．如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A．AC⊥BDB．AB＝CDC．AB∥CDD．AC＝BD
8．如图，在菱形ABCD中，直线MN分别交AB、CD、AC于点M、N和O，且AM＝CN，连接BO．若∠OBC＝65°，则∠DAC为（ ）
A．65°B．30°C．25°D．20°
9．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则+的值是（ ）
A．1B．C．﹣1D．﹣
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD．于点F，连接AP，EF，给出下列结论：
①PD＝PF；
②四边形PECF的周长为8；
③△APD一定是等腰三角形；
④AP＝EF．
其中结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、E、B点，直线CD分别交l1、l2、l3于C、F、D三点，且AE＝2，BE＝4，则的值为 ．
12．已知＝＝（b+d≠0），则的值为 ．
13．若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为 ．
14．小明所在的学校准备在国庆节当天举办一个大型的联欢会，为此小明设计了如图所示的A，B两个转盘和同学们做“配紫色”（红、蓝可配成紫色）的游戏，试问使用这两个转盘可以配成紫色的概率是 ．
15．如图，在△ABC中，AB＝8cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线BC方向以4cm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，问：经过 秒后△PBQ的面积等于7cm2．
三、解答题（16—18每题6分，19—21每题8分，22—23题10分，24题13分，共75分）
16．用适当的方法解下列方程：3x（x﹣2）＝x﹣2．
17．如图，E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AE：EC＝1：3，BE的延长线交CD的延长线于G，交AD于F，求证：BF：FG＝1：2．
18．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝EC，分别在图1和图2中按要求仅用无刻度的直尺画图．（保留画图痕迹）
（1）在图1中，画出∠DAE的平分线；
（2）在图2中，画出∠AEC的平分线EF，交AD于点F，并说明理由．
19．商店将进货为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品按每件的销售价每提高1元其销售量就减少20件，问应将每件涨价多少元时，才能使每天利润为700元？
20．有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放．
（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是 ；
（2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．
22．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G．
（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当CG＝2时，求AE的长．
23．[综合与实践]：阅读材料，并解决以下问题．
[学习研究]：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下：
首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4，因此，可得新方程：（x+x+2）2＝144，∵x表示边长，∴2x+2＝12，即x＝5，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
[类比迁移]；小明根据赵爽的办法解方程x2+3x﹣4＝0，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为x2+3x﹣4＝0，即x（ ）＝4；
第二步：利用四个面积可用x表示为 的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程：
第三步：
[拓展应用]，一般地对于形如：x2+ax＝b一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数a＝ ，b＝ ，求得方程的一个正根为 ．
24．综合与实践
问题情境：
在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AC交BC于点E，连接AE，F是AE的中点．
探究发现：
（1）如图1，直接写出∠OBF和∠ACB的数量关系： ；
探究拓展：
（2）勤奋小组的同学们在射线FB上任取一点P，将射线OP绕点O逆时针旋转得射线OQ，使∠POQ＝∠AEC，与射线BC交于点Q．在如图2中，猜想并证明线段OP与线段OQ之间的数量关系．
探究拓广：
（3）在（2）的条件下，若∠ACB＝30°，，当∠COQ＝15°时，直接写出FP的长度．
参考答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1cm，2cm，3cm，4cmB．2cm，3cm，4cm，5cm
C．2cm，3cm，4cm，6cmD．3cm，4cm，6cm，9cm
【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
解：A、∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例，不符合题意；
B、∵2×5≠3×4，∴四条线段不成比例，不符合题意；
C、∵2×6＝3×4，∴四条线段成比例，符合题意；
D、∵3×9≠4×6，∴四条线段成比例，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
2．下列说法错误的是（ ）
A．任意两个矩形都相似
B．任意两个正六边形都相似
C．任意两个正方形都相似
D．有一个角对应相等的菱形相似
【分析】根据相似图形的定义，对应的角相等，对应边的比相等对每个命题进行判断．
解：A、任意两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定成比例，所以不一定相似，符合题意；
B、任意两个正六边形的对应角都是60°，对应边的比成比例，所以一定相似，不符合题意；
C、任意两个正方形的对应角都是90°，对应边的比成比例，所以一定相似，不符合题意；
D、一个角对应相等的两个菱形满足满足四个角分别对应相等，四条边对应成比例，所以一定相似，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查的是相似图形的判定，掌握相似多边形各自的判定方法是解题的关键．
3．用配方法解方程3x2+2x﹣1＝0，配方后的方程是（ ）
A．3（x﹣1）2＝0B．（x+）2＝
C．（x+）2＝D．（x+）2＝
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方可得到结果．
解：方程3x2+2x﹣1＝0，
变形得：x2+x＝，
配方得：x2+x+＝，即（x+）2＝，
故选：D．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
4．观察表格中数据，一元二次方程x2﹣3x﹣4.6＝0的一个近似解为（ ）
A．﹣1.073B．﹣1.089C．﹣1.117D．﹣1.123
【分析】根据表格中的数据可得出“当x＝﹣1.12时，x2﹣3x＝4.61；当x＝﹣1.11时，x2﹣3x＝4.56．”即可得出结论．
解：当x＝﹣1.12时，x2﹣3x＝4.61；当x＝﹣1.11时，x2﹣3x＝4.56．
∴一元二次方程x2﹣3x﹣4.6＝0的一个近似解为﹣1.117．
故选：C．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，熟练掌握用图象法求一元二次方程的近似根的方法是解题的关键．
5．在一个不透明的盒子中装有20个黄、白两种颜色的乒乓球，除颜色外其它都相同，小明进行了多次摸球试验，发现摸到白色乒乓球的频率稳定在0.2左右，由此可知盒子中黄色乒乓球的个数可能是（ ）
A．2个B．4个C．18个D．16个
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
解：设袋中有黄球x个，由题意得＝0.2，
解得x＝16．
故选：D．
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数．
6．如图所示，在平行四边形纸片上作随机扎针试验，针头扎在阴影区域内的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先根据平行四边形的性质求出对角线所分的四个三角形面积相等，再求出概率即可．
解：∵四边形是平行四边形，
∴对角线把平行四边形分成面积相等的四部分，
利用中心对称图形的性质可得，△AOB≌△COD，
则图中阴影部分面积＝S四边形，
∴针头扎在阴影区域内的概率为，
故选：B．
【点评】此题主要考查了几何概率，以及平行四边形的性质，用到的知识点为：概率＝相应的面积与总面积之比．
7．如图，AC、BD是四边形ABCD的两条对角线，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是（ ）
A．AC⊥BDB．AB＝CDC．AB∥CDD．AC＝BD
【分析】根据三角形中位线定理得到EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，EH∥BD，得到四边形EFGH为平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解答即可．
解：∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、AD的中点，
∴EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，EH∥BD，
∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH为平行四边形，
当AC⊥BD时，EF⊥EH，则四边形EFGH为矩形，
故选：A．
【点评】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、矩形的判定定理是解题的关键．
8．如图，在菱形ABCD中，直线MN分别交AB、CD、AC于点M、N和O，且AM＝CN，连接BO．若∠OBC＝65°，则∠DAC为（ ）
A．65°B．30°C．25°D．20°
【分析】由全等三角形的性质可证△AOM≌△CON，可得AO＝CO，由等腰三角形的性质可得BO⊥AC，即可求解．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB＝BC，BC∥AD，
∴∠MAO＝∠NCO，∠BCA＝∠CAD，
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AO＝CO，
∵AB＝BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BCO＝90°﹣∠OBC＝25°＝∠DAC，
故选：C．
【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键．
9．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个根，则+的值是（ ）
A．1B．C．﹣1D．﹣
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算即可．
解：根据题意得x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
则+＝＝＝﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．
10．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD．于点F，连接AP，EF，给出下列结论：
①PD＝PF；
②四边形PECF的周长为8；
③△APD一定是等腰三角形；
④AP＝EF．
其中结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得△DPF是等腰直角三角形，在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝PF2+PF2＝2PF2，即可判断①；②先证明四边形PECF为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为2BC，即可判断②；③根据P的任意性可以判断△APD不一定是等腰三角形，即可判断③；④四边形PECF为矩形，通过正方形的轴对称性，即可判断④．
解：∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，CD⊥BC，
∴PF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝45°，
∴∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝EC＝DF，
在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝PF2+PF2＝2PF2，
∴．
故①正确；
②∵PE⊥BC，PF⊥CD，∠BCD＝90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴四边形PECF的周长＝2CE+2PE＝2CE+2BE＝2BC＝8，
故②正确；
③∵点P是正方形ABCD的对角线BD上任意一点，∠ADP＝45°，
∴当∠PAD＝45°或67.5°或90°时，△APD是等腰三角形，
除此之外，△APD不是等腰三角形，
故③错误．
④连接PC，
∵四边形PECF为矩形，
∴PC＝EF，
∵正方形为轴对称图形，BD所在直线是它的一条对称轴，
∴AP＝PC，
∴AP＝EF，
故④正确；
综上所述：正确的结论是①②④，共三个；
故选：C．
【点评】此题考查正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的运用，熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，已知l1∥l2∥l3，直线AB分别交l1、l2、l3于A、E、B点，直线CD分别交l1、l2、l3于C、F、D三点，且AE＝2，BE＝4，则的值为 ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可解决问题．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴，
∵AE＝2，BE＝4，
∴＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．
12．已知＝＝（b+d≠0），则的值为 ．
【分析】根据合比的性质即可求解．
解：∵＝＝（b+d≠0），
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了比例线段，解题的关键是利用比例的基本性质．
13．若一元二次方程的二次项系数为1，常数项为0，它的一个根为2，则该方程为 x2﹣2x＝0 ．
【分析】直接利用已知要求得出符合题意的方程．
解：由题意可得，该方程的一般形式为：x2﹣2x＝0．
故答案为：x2﹣2x＝0．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确把握相关定义是解题关键．
14．小明所在的学校准备在国庆节当天举办一个大型的联欢会，为此小明设计了如图所示的A，B两个转盘和同学们做“配紫色”（红、蓝可配成紫色）的游戏，试问使用这两个转盘可以配成紫色的概率是 ．
【分析】先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出可以配成紫色的结果数，然后根据概率公式求解．
解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中可以配成紫色的结果数为3，
所以可以配成紫色的概率＝＝．
故答案为．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
15．如图，在△ABC中，AB＝8cm，∠ABC＝30°，点P从A点出发，沿射线AB方向以1cm/s的速度移动，点Q从B点出发，沿射线BC方向以4cm/s的速度移动．如果P、Q两点同时出发，问：经过 1或7或4+ 秒后△PBQ的面积等于7cm2．
【分析】过点Q作QE⊥AB于点E，则QE＝BQ，当运动时间为t秒时，AP＝t cm，BQ＝4t cm，PB＝|8﹣t|cm，QE＝2t cm，根据△PBQ的面积等于7cm2，即可得出关于t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
解：过点Q作QE⊥AB于点E，则QE＝BQ，如图所示.
当运动时间为t秒时，AP＝t cm，BQ＝4t cm，PB＝|8﹣t|cm，QE＝2t cm，
依题意得：|8﹣t|•2t＝7．
当0＜t≤8时，t2﹣8t+7＝0，
解得：t1＝1，t2＝7；
当t＞8时，t2﹣8t﹣7＝0，
解得：t1＝4﹣（不符合题意，舍去），t2＝4+．
∴经过1或7或4+秒后，△PBQ的面积等于7cm2．
故答案为：1或7或4+．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三、解答题（16—18每题6分，19—21每题8分，22—23题10分，24题13分，共75分）
16．用适当的方法解下列方程：3x（x﹣2）＝x﹣2．
【分析】先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
解：∵3x（x﹣2）＝x﹣2，
∴3x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，
∴（x﹣2）（3x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或3x﹣1＝0，
解得x1＝2，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
17．如图，E为平行四边形ABCD的对角线AC上一点，AE：EC＝1：3，BE的延长线交CD的延长线于G，交AD于F，求证：BF：FG＝1：2．
【分析】由平行四边形的性质证明△ABE∽△CGE，△ABF∽△DGF，得到AB：CG＝AE：EC＝1：3，进而得到AB＝λ，DG＝2λ，这是解决该题的关键结论；运用△ABF∽△DGF，列出比例式即可解决问题．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CG，AB＝CD（设为λ），
∴△ABE∽△CGE，△ABF∽△DGF，
∴AB：CG＝AE：EC＝1：3，
∴CG＝DG+λ＝3λ，DG＝2λ；
∵△ABF∽△DGF，
∴BF：FG＝AB：DG＝λ：（2λ）＝1：2．
【点评】该题主要考查了相似三角形的判定及其性质、平行四边形的性质等几何知识点的应用问题；解题的关键是深入观察图形结构，大胆猜测推理，科学求解论证．
18．如图，矩形ABCD中，点E在BC上，AE＝EC，分别在图1和图2中按要求仅用无刻度的直尺画图．（保留画图痕迹）
（1）在图1中，画出∠DAE的平分线；
（2）在图2中，画出∠AEC的平分线EF，交AD于点F，并说明理由．
【分析】（1）连接AC，利用AD∥BC得到∠DAC＝∠ECA，利用EA＝EC得到∠ECA＝∠EAC，所以∠DAC＝∠EAC，即AC平分∠DAE；
（2）连接BD交AC于点O，延长EO交AD于F，利用等腰三角形的性质可得到EF平分∠AEC．
解：（1）如图1，AC为所作；
（2）如图2，EF为所作；
理由如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC，
∵EA＝EC，
∴EO平分∠AEC，
即EF平分∠AEC．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了矩形的性质．
19．商店将进货为8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品按每件的销售价每提高1元其销售量就减少20件，问应将每件涨价多少元时，才能使每天利润为700元？
【分析】根据等量关系“每件利润×销量＝700”列出方程，解方程即可．
解：设应将每件售价提高x元时，才能使每天利润为700元，
（x+10﹣8）（200﹣20x）＝700，
解得：x1＝3，x2＝5．
答：应将每件售价提高3元或5元时，才能使每天利润为700元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
20．有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放．
（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是 ；
（2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的结果有4种，再由概率公式求解即可．
解：（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的结果有4种，
∴所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率为＝．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣2）x+2m﹣8＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根．
（2）若方程有一个根是负整数，求正整数m的值．
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝（m﹣6）2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）利用求根公式得到x1＝m﹣4，x2＝2，则m﹣4＜0，从而得到正整数m的值．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（m﹣2）2﹣4（2m﹣8）
＝m2﹣12m+36
＝（m﹣6）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：x＝＝，
∴x1＝m﹣4，x2＝2，
∵方程有一个根是负整数，
∴m﹣4＜0，
∴正整数m的值为1或2或3．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
22．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，点E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF＝AE，且CF、DE相交于点G．
（1）当点E运动到AB中点时，证明：四边形DFEC是平行四边形；
（2）当CG＝2时，求AE的长．
【分析】（1）利用平行四边形的判定定理：两边平行且相等的四边形是平行四边形，
（2）利用三角形相似，求出此时FG的长，再借助直角三角形勾股定理求解．
【解答】（1）证明：连接DF，CE，如图所示：
，
∵E为AB中点，
∴AE＝AF＝AB，
∴EF＝AB＝CD，
∵四边形ABCD是菱形，
∴EF∥CD，
∴四边形DFEC是平行四边形．
（2）解：作CH⊥BH，设AE＝FA＝m，如图所示，
，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥EF，
∴△CDG∽△FEG，
∴，
∴FG＝2m，
在Rt△CBH中，∠CBH＝60°，BC＝2，
sin60°＝，CH＝，
cs60°＝，BH＝1，
在Rt△CFH中，CF＝2+2m，CH＝，FH＝3+m，
CF2＝CH2+FH2，
即（2+2m）2＝（）2+（3+m）2，
整理得：3m2+2m﹣8＝0，
解得：m1＝，m2＝﹣2（舍去），
∴．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定，菱形的性质，解题关键是借助锐角三角比和勾股定理求解．
23．[综合与实践]：阅读材料，并解决以下问题．
[学习研究]：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以x2+2x﹣35＝0为例，构造方法如下：
首先将方程x2+2x﹣35＝0变形为x（x+2）＝35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为（x+x+2）2，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即4x（x+2）+22＝4×35+4，因此，可得新方程：（x+x+2）2＝144，∵x表示边长，∴2x+2＝12，即x＝5，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根．
[类比迁移]；小明根据赵爽的办法解方程x2+3x﹣4＝0，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整：
第一步：将原方程变形为x2+3x﹣4＝0，即x（ x+3 ）＝4；
第二步：利用四个面积可用x表示为 长为x+3，宽为x 的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程：
第三步：
[拓展应用]，一般地对于形如：x2+ax＝b一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数a＝ ±2 ，b＝ 3 ，求得方程的一个正根为 1或3 ．
【分析】[类比迁移]根据赵爽的办法解答即可；
[拓展应用]根据题意把x2+ax＝b，变形为x（x+a）＝b，根据图2由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，即可得到答案．
解：[类比迁移]
第一步：将原方程变形为x2+3x﹣4＝0，即x（x+3）＝4；
第二步：利用四个面积可用x表示为长为x+3，宽为x的全等矩形构造“空心”大正方形（请在画图区画出示意图，标明各边长），
画四个长为x+3，宽为x的矩形，按如图所示的方式拼成如图，拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为（x+x+3）2，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即4x（x+3）+32＝4×4+9，因此，可得新方程：（x+x+3）2＝25，
∵x表示边长，
∴2x+3＝5，即x＝1，
第三步：方程的一个正根为x＝1；
故答案为：x+3；长为x+3，宽为x；
[拓展应用]
∵x2+ax＝b，
∴x（x+a）＝b，
∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是（x+x+a）2，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即4×b+a2，
∵图2是由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，
∴b＝3，a2＝4，
解得：b＝3，a＝±2，
当a＝2时，（x+x+2）2＝4×3+4，2x+2＝4，x＝1，方程的一个正根为1；
当a＝﹣2时，（x+x﹣2）2＝4×3+4，2x﹣2＝4，x＝3，方程的一个正根为3．
综上所述，方程的一个正根为1或3．
故答案为：±2，3，1或3．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，能知道系数a，b与各图形面积的关系是解题的关键．
24．综合与实践
问题情境：
在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AC交BC于点E，连接AE，F是AE的中点．
探究发现：
（1）如图1，直接写出∠OBF和∠ACB的数量关系： ∠OBF＝∠ACB ；
探究拓展：
（2）勤奋小组的同学们在射线FB上任取一点P，将射线OP绕点O逆时针旋转得射线OQ，使∠POQ＝∠AEC，与射线BC交于点Q．在如图2中，猜想并证明线段OP与线段OQ之间的数量关系．
探究拓广：
（3）在（2）的条件下，若∠ACB＝30°，，当∠COQ＝15°时，直接写出FP的长度．
【分析】（1）根据矩形的性质得OA＝OC，可得EA＝EC，由直角三角形斜边中线的性质得出OB＝OC，即：∠ACB＝∠OBC，再根据三角形的中位线定理得出OF∥BC，OF＝CE，进而得出OF＝BF，即可得出结论；
（2）只要证明△BOP≌△COQ（ASA），即可解决问题．
（3）分两种情形：如图2中，当点Q在BC的延长线上时，如图3中，当点Q在线段BC上时，作OH⊥BC于H．分别求解即可解决问题．
解：（1）∠OBF＝∠ACB，
证明：如图1中，连接OF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC，OB＝OC，
∵OE⊥AC，
∴EA＝EC，
∵OB＝OC，
∴∠ACB＝∠OBC，
∵∠ABC＝90°，F是AE的中点，
∴BF＝EA＝EC，
∵OA＝OC，F是AE的中点，
∴OF∥BC，OF＝CE，
∴OF＝BF，∠BOF＝∠OBC，
∴∠OBF＝∠BOF，
∴∠OBF＝∠OBC＝∠ACB，
故答案为：∠OBF＝∠ACB；
（2）OP＝OQ，
证明：如图2中，
∵OC＝OB，EA＝EC，
∴∠ACB＝∠OBC＝∠CAE，
∴∠COB＝∠AEC，
∵∠POQ＝∠AEC，
∴∠COB＝∠POQ，
∴∠BOP＝∠COQ，
∵∠OBF＝∠ACB，
∴∠PBO＝∠QCO，
∵OB＝OC，
∴△BOP≌△COQ（ASA），
∴OP＝OQ．
（3）如图2中，当点Q在BC的延长线上时，
∵∠ACB＝30°＝∠COQ+∠Q，∠COQ＝15°，
∴∠COQ＝∠Q＝15°，
∴OC＝CQ＝AC＝AB＝，
∵△BOP≌△COQ，
∴BP＝CQ＝，
在Rt△ABE中，AB＝，∠AEB＝2∠ACB＝60°，
∴AE＝2，
∵F是AE的中点，
∴BF＝AE＝1，
∴FP＝BF+BP＝1+；
如图3中，当点Q在线段BC上时，作OH⊥BC于H．
∵∠COQ＝15°，∠ACB＝30°，
∴∠OQH＝15°+30°＝45°，
∴OH＝HQ＝AB＝，
∴CH＝，
∴BP＝CQ＝，
∵BF＝1，
∴FP＝BF﹣BP＝1﹣＝，
综上所述，FP的长度为1+或．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
x
﹣1.13
﹣1.12
﹣1.11
﹣1.10
﹣1.09
﹣1.08
﹣1.07
x2﹣3x
4.67
4.61
4.56
4.51
4.46
4.41
4.35
x
﹣1.13
﹣1.12
﹣1.11
﹣1.10
﹣1.09
﹣1.08
﹣1.07
x2﹣3x
4.67
4.61
4.56
4.51
4.46
4.41
4.35