2023-2024学年福建省泉州市永春一中九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市永春一中九年级（上）月考数学试卷（12月份）（含解析），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列说法中，错误的是（ ）
A．49的算术平方根是7
B．0、1和﹣1的立方根都与本身相同
C．0没有平方根
D．4的平方根是±2
2．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）
3．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．正六边形B．平行四边形
C．正三角形D．等腰梯形
4．7名学生的平均成绩是x，如果另外3名学生每人得92分，那么整个组的平均成绩是（ ）
A．B．C．D．
5．如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（ ）
A．圆柱体B．三棱锥C．球体D．圆锥体
6．威立到小吃店买水饺，他身上带的钱恰好等于15粒虾仁水饺或20粒韭菜水饺的价钱，若威立先买了9粒虾仁水饺，则他身上剩下的钱恰好可买多少粒韭菜水饺（ ）
A．6B．8C．9D．12
7．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（ ）
A．﹣3B．﹣C．D．3
8．如图，将抛物线y＝x2﹣4x位于x轴下方的图象沿x轴翻折，直线l∥x轴，与图象交于A、B、C、D四点，若，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题，本大题共2个小题，每题有多个答案，漏选得2分，选多、错选不得分（共8分）
（多选）9．△ABC在方格纸（每个小正方形的边长为1）上的位置如图所示，顶点都在格点上，AD交BC于点D，D在格线上，下列选项中正确的是（ ）
A．B．tanβ＝1C．D．
（多选）10．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中正确的是（ ）
A．b2＞4ac
B．ax2+bx+c≥﹣6
C．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根分别为﹣5和﹣1
D．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
三、填空题（共24分）
11．计算：﹣6＝ ．
12．解不等式组：，并写出它的所有整数解 ．
13．已知非零实数x，y满足，则的值等于 ．
14．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
15．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣3，0），顶点是（﹣1，n），且n＜0，下列四个结论：①abc＜0；②4a+2b+c＜0；③ax2+bx＞0的解集是x＜﹣2或x＞0；④点（t﹣2，y1），（t+1，y2）在抛物线上，当t＜﹣2时，y1＞y2．其中正确的是 （填写序号）．
16．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（1，1）、（1，3）、（3，3）．若抛物线y＝ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是 ．
四、解答题（共86分）
17．先化简，再求值：，其中x＝tan30°．
18．如图，已知：在△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD和BE的交点．
（1）求证：△ADC≌△BDH．
（2）若AD＝5，DH＝3，求：三角形的边BC的长．
19．如图，C为线段AB外一点．
（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形ABCD中，CD的中点为N，连接BN，AN，BD，求证：BD与AN互相平分．
20．李老师为了解学生完成数学课前预习的具体情况，对部分学生进行了跟踪调查，并将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）李老师一共调查了多少名同学？
（2）C类女生有 名，D类男生有 名，将下面条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，李老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
21．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad90°＝ ．
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 ．
（3）如图②，已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
22．为了落实国务院惠农的指示精神，最近市政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为40元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+200．设这种产品每天的销售利润为w（元）．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果物价部门规定每天至少获得1000元的销售利润，销售价应在什么范围？
23．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．
（1）求证：EB2＝EF•EG；
（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．
24．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相交于点M．
（1）求证：△ADE∽△FMC；
（2）求∠ABF的度数；
（3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO．
25．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，并且与x轴交于另一点C（点C在点A的右侧），点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD∥y轴交AB于点D，点E为线段DB上一点，且DE＝，过点E作EF∥PD交抛物线于点F，当点P运动到什么位置时，四边形PDEF的面积最大？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，点F为AO的中点，连接BF，点G为y轴负半轴上一点，且GO＝2，沿x轴向右平移直线AG，记平移过程的直线为A'G'，直线A'G'交x轴于点M，交直线AB于点N．是否存在点M，使得△FMN为等腰三角形，若存在，直接写出平移后点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、单选题（共32分）
1．下列说法中，错误的是（ ）
A．49的算术平方根是7
B．0、1和﹣1的立方根都与本身相同
C．0没有平方根
D．4的平方根是±2
【分析】运用平方根和立方根知识进行逐一辨别、求解．
解：∵49的算术平方根是7，
∴选项A不符合题意；
∵0、1和﹣1的立方根都与本身相同，
∴选项B不符合题意；
∵0的平方根是0，
∴选项C符合题意；
∵4的平方根是±2，
∴选项D不符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了运用平方根和立方根知识解决问题的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
2．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）
【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
解：因为y＝（x+2）2+1是抛物线的顶点式，由顶点式的坐标特点知，顶点坐标为（﹣2，1）．
故选：B．
【点评】考查顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．要掌握顶点式的性质．
3．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A．正六边形B．平行四边形
C．正三角形D．等腰梯形
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
B、不一定是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：A．
【点评】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念．
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．7名学生的平均成绩是x，如果另外3名学生每人得92分，那么整个组的平均成绩是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先求出这10名学生的总成绩，然后求出这10名学生的平均成绩即可．
解：由题意得整个组的平均成绩是．
故选：B．
【点评】本题主要考查了求平均数，掌握平均数的定义是解题的关键．
5．如图所示是一个几何体的三视图，这个几何体的名称是（ ）
A．圆柱体B．三棱锥C．球体D．圆锥体
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
解：由于主视图和左视图为长方形可得此几何体为柱体，
由俯视图为圆可得此几何体为圆柱体．
故选：A．
【点评】本题考查了由三视图来判断几何体，还考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了空间想象能力．
6．威立到小吃店买水饺，他身上带的钱恰好等于15粒虾仁水饺或20粒韭菜水饺的价钱，若威立先买了9粒虾仁水饺，则他身上剩下的钱恰好可买多少粒韭菜水饺（ ）
A．6B．8C．9D．12
【分析】可设1粒虾仁水饺为x元，1粒韭菜水饺为y元，由题意可得到y与x之间的关系式，再利用整体思想可求得答案．
解：
设1粒虾仁水饺为x元，1粒韭菜水饺为y元，
则由题意可得15x＝20y，
∴3x＝4y，
∴15x﹣9x＝6x＝2×3x＝2×4y＝8y，
∴他身上剩下的钱恰好可买8粒韭菜水饺，
故选：B．
【点评】本题主要考查方程的应用，利用条件找到1粒虾仁水饺和1粒韭菜水饺的价钱之间的关系是解题的关键，注意整体思想的应用．
7．如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为（ ）
A．﹣3B．﹣C．D．3
【分析】如图，点B在函数y＝上，证明△AOC≌△OBD，根据k的几何意义即可求解．
解：连接正方形的对角线，由正方形的性质知对角线交于原点O，过点A，B分别作x轴的垂线．垂足分别为C、D，点B在函数y＝上，如图：
∵四边形是正方形，
∴AO＝BO，∠AOB＝∠BDO＝∠ACO＝90°，
∴∠CAO＝90°﹣∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD（AAS），
∴S△AOC＝S△OBD＝＝，
∵点A在第二象限，
∴n＝﹣3，
故选：A．
【点评】本题考查正方形的性质，反比例函数的k的几何意义，熟练掌握以上性质的解题关键．
8．如图，将抛物线y＝x2﹣4x位于x轴下方的图象沿x轴翻折，直线l∥x轴，与图象交于A、B、C、D四点，若，则AD的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】设B（x1，k）、C（x2，k），A（x3，k）、D（x4，k），由题意得﹣k＝x2﹣4x或k＝x2﹣4x，整理得：x2﹣4x+k＝0或x2﹣4x﹣k＝0，x1、x2是方程x2﹣4x+k＝0的两个根，x3、x4是方程x2﹣4x﹣k＝0的两个根，根据BC＝AD，得出AD＝2BC，2×|x1﹣x2|＝|x3﹣x4|，根据一元二次方程根与系数的关系得出4[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝（x3+x4）2﹣4x3x4，即4（16﹣4k）＝16+4k，解得k＝2.4，进而即可根据AD＝|x3﹣x4|＝＝＝．即可求得AD的长度．
解：设B（x1，k）、C（x2，k），A（x3，k）、D（x4，k），
由题意得﹣k＝x2﹣4x或k＝x2﹣4x，
整理得：x2﹣4x+k＝0或x2﹣4x﹣k＝0，
∴x1、x2是方程x2﹣4x+k＝0的两个根，x3、x4是方程x2﹣4x﹣k＝0的两个根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝k，x3+x4＝4，x3x4＝﹣k，
∵BC＝AD，
∴AD＝2BC，
∴2×|x1﹣x2|＝|x3﹣x4|，
∴4（x1﹣x2）2＝（x3﹣x4）2，
∴4[（x1+x2）2﹣4x1x2]＝（x3+x4）2﹣4x3x4，即4（16﹣4k）＝16+4k，
解得k＝2.4，
AD＝|x3﹣x4|＝＝＝．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象与几何变换，一元二次方程根与系数的关系，把交点问题转换为方程根的问题是解题的关键．
二、多选题，本大题共2个小题，每题有多个答案，漏选得2分，选多、错选不得分（共8分）
（多选）9．△ABC在方格纸（每个小正方形的边长为1）上的位置如图所示，顶点都在格点上，AD交BC于点D，D在格线上，下列选项中正确的是（ ）
A．B．tanβ＝1C．D．
【分析】根据题意和图形，可以计算出各个选项中三角函数的值，从而可以判断哪个选项符合题意．
解：由图可得，
tanα＝，故选项A正确，符合题意；
tanβ＝＝1，故选项B正确，符合题意；
sinα＝＝，故选项C错误，不符合题意；
csβ＝＝＝，故选项D错误，不符合题意；
故选：AB．
【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（多选）10．如图，已知顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中正确的是（ ）
A．b2＞4ac
B．ax2+bx+c≥﹣6
C．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根分别为﹣5和﹣1
D．若点（﹣2，m），（﹣5，n）在抛物线上，则m＞n
【分析】（1）由图象可知抛物线与x轴的交点个数，从而确定相应的一元二次方程根的情况即可；
（2）抛物线开口方向向上，即函数有最小值，从而知道选项是否正确；
（3）根据图象分析出函数的对称轴，然后分析出（﹣1，﹣4）关于对称轴的对称点，即可知道对应的一元二次方程的两个根；
（4）根据抛物线开口方向和对称轴，判断分析两点离对称轴的距离，即可得出结论．
解：A、根据函数对称性，二次函数图象与x轴有两个交点，即对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，此时b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，选项正确；
B、抛物线开口方向向上，即函数有最小值﹣6，所以ax2+bx+c≥﹣6，选项正确；
C、由函数图象知，对称轴为x＝﹣3，所以点（﹣1，﹣4）与（﹣5，﹣4）关于对称轴对称，即关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣4的两根分别是﹣5和﹣1，选项正确；
D、因为抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣3，﹣5离对称轴的距离大于﹣2离对称轴的距离，所以m＜n，所以选项错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查二次函数图象性质、二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象的对称性等相关知识点，牢记相关知识点并能灵活应用是解题的关键．
三、填空题（共24分）
11．计算：﹣6＝ 2 ．
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
解：原式＝4﹣2
＝2，
故答案为：2
【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
12．解不等式组：，并写出它的所有整数解 ﹣1，0 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：解不等式3（x+1）＞2x+1，得：x＞﹣2，
解不等式＞4x，得：x＜1，
则不等式组的解集为﹣2＜x＜1，
所以其整数解为﹣1、0，
故答案为：﹣1、0．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13．已知非零实数x，y满足，则的值等于 5 ．
【分析】由条件变形得，x﹣y＝xy，把此式代入所求式子中，化简即可求得其值．
解：由得：xy+y＝x，
即x﹣y＝xy，
∴，
故答案为：5．
【点评】本题考查了分式的化简求值，关键是根据条件，变形为x﹣y＝xy，然后整体代入．
14．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 ．
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
解：∵总面积为3×3＝9，其中阴影部分面积为4××1×2＝4，
∴飞镖落在阴影部分的概率是，
故答案为：．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
15．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（﹣3，0），顶点是（﹣1，n），且n＜0，下列四个结论：①abc＜0；②4a+2b+c＜0；③ax2+bx＞0的解集是x＜﹣2或x＞0；④点（t﹣2，y1），（t+1，y2）在抛物线上，当t＜﹣2时，y1＞y2．其中正确的是 ①③④ （填写序号）．
【分析】由已知可得抛物线开口方向及对称轴，从而可得a，b符号，由（﹣3，0）及抛物线对称轴为直线x＝﹣1可得抛物线与x轴的另一交点坐标，从而可得c的符号，进而判断①②，由a与b的关系可得ax2+bx＝0的解，从而判断③，由抛物线的对称轴及开口方向可得x＜﹣1时y随x增大而减小，再根据t＜﹣2可得t﹣2＜﹣4，t+1＜﹣1，从而判断④．
解：∵抛物线经过（﹣3，0），顶点是（﹣1，n），且n＜0，
∴顶点为最低点，即抛物线开口向上，a＞0，
由抛物线的对称性可得抛物线经过（1，0），
∴﹣3＜x＜1时，y＜0，
∴x＝0时，抛物线与y轴交点在x轴下方，即c＜0，
∵，
∴b＝2a＞0，
∴abc＜0，①正确．
当x＞1时，y＞0，
∴x＝2时，y＝4a+2b+c＞0，②错误．
∵b＝2a，
∴ax2+bx＝ax2+2ax＝ax（x+2），
∴抛物线y＝ax2+bx与x轴交点坐标为（0，0），（﹣2，0），
∵a＞0，抛物线开口向上，
∴x＜﹣2或x＞0时，y＞0，③正确．
当t＜﹣2时，t﹣2＜﹣4，t+1＜﹣1，
∵x＜﹣1时，y随x增大而减小，
∴y1＞y2，④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．
16．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（1，1）、（1，3）、（3，3）．若抛物线y＝ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是 ≤a≤3 ．
【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a的值即可解决问题．
解：∵正方形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为（1，1）、（1，3）、（3，3）．
∴D（3，1），
当抛物线经过点B（1，3）时，则a＝3，
当抛物线经过D（3，1）时，a＝，
观察图象可知≤a≤3，
故答案为：≤a≤3．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
四、解答题（共86分）
17．先化简，再求值：，其中x＝tan30°．
【分析】先化简括号内的分式，再计算乘法，最后计算减法，化简之后，计算x的值，再代入化简好的分式中计算即可．
解：原式＝
＝
＝
＝，
，
∴原式＝．
【点评】本题考查分式的化简求值和特殊角的三角函数值，正确化简分式是解题的关键．
18．如图，已知：在△ABC中，∠ABC＝45°，H是高AD和BE的交点．
（1）求证：△ADC≌△BDH．
（2）若AD＝5，DH＝3，求：三角形的边BC的长．
【分析】（1）先证明AD＝BD，再证明∠HBD＝∠DAC，从而利用ASA证明△ADC≌△BDH可得到结论；
（2）结合（1）△BDH≌△ADC，BD＝AD，DH＝CD，可以解决问题．
【解答】（1）证明：∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝∠HDB＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠BAD＝45°，
∴AD＝BD，
∵BE是△ABC的高，
∴BE⊥AC，
∴∠AEH＝90°，
∴∠DAC+∠AHE＝90°，
∵∠HDB＝90°，
∴∠HBD+∠BHD＝90°，
又∵∠BHD＝∠AHE，
∴∠HBD＝∠DAC，
在△BDH和△ADC中，
，
∴△ADC≌△BDH（AAS）；
（2）解：由（1）知：△BDH≌△ADC，
∴BD＝AD＝5，CD＝DH＝3，
∴BC＝BD+CD＝8．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解决本题的关键是得到△BDH≌△ADC．
19．如图，C为线段AB外一点．
（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的四边形ABCD中，CD的中点为N，连接BN，AN，BD，求证：BD与AN互相平分．
【分析】（1）先作∠ECF＝∠ABC得到CF∥AB，然后在CF上截取CD＝2AB；
（2）通过证明四边形ABND为平行四边形得到BD与AN互相平分．
【解答】（1）解：如图，四边形ABCD为所作；
（2）证明：∵CD的中点为N，CD＝2AB，
∴DN＝AB，
∵CD∥AB，
∴四边形ABND为平行四边形，
∴BD与AN互相平分．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．
20．李老师为了解学生完成数学课前预习的具体情况，对部分学生进行了跟踪调查，并将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）李老师一共调查了多少名同学？
（2）C类女生有 3 名，D类男生有 1 名，将下面条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，李老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．
【分析】（1）利用A类学生总数除以A类学生所占百分比可得调查学生总数；
（2）用调查的学生总数乘以C类所占的百分比，再减去C类的男生数，从而求出C类的女生数；用调查的学生总数减去A、B、C类的学生数和D类的女生数，从而求出D类的男生数，即可补全统计图；
（3）根据题意先画出树状图，再根据概率公式即可得出答案．
解：（1）根据题意得：
3÷15%＝20（名），
答：李老师一共调查了20名同学；
故答案为：20；
（2）C类女生：20×25%﹣2＝3（名），
D类男生有20﹣3﹣10﹣5﹣1＝1（人），
如图所示
；
故答案为：3，1；
（3）根据题意画图如下：
，
由树状图可得共有6种可能的结果，其中恰好一名男同学和一名女同学的结果有3中，所以恰好是一名男同学和一名女同学的概率是＝．
【点评】此题主要考查了条形统计图，以及概率，关键是掌握概率＝所求情况数与总情况数之比．
21．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA＝．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1）sad90°＝ ．
（2）对于0°＜A＜180°，∠A的正对值sadA的取值范围是 0＜sadA＜2 ．
（3）如图②，已知sinA＝，其中∠A为锐角，试求sadA的值．
【分析】（1）当A＝90°，三角形为等腰直角三角形，底边是腰的倍根据等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）即可得到答案；
（2）0°＜A＜180°，根据三角形三边的关系得到两腰之和大于底边即可得到0＜sadA＜2；
（3）如图②中，在AB上截取AH＝AC，过H作HD⊥AC于D，由sinA＝＝，设HD＝3x，AH＝5x，可得AD＝＝4x，推出DC＝5x﹣4x＝x，在Rt△HDC中，HC＝＝x，根据sadA＝求值即可；
解：（1）根据正对定义，当顶角为90°时，等腰三角形底角为45°，
则三角形为等腰直角三角形，
则sad90°＝＝，
故答案为：．
（2）当∠A接近0°时，sadA接近0，
当∠A接近180°时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故sadA接近2．
于是sadA的取值范围是0＜sadA＜2．
故答案为：0＜sadA＜2．
（3）如图②中，在AB上截取AH＝AC，过H作HD⊥AC于D，
∴sinA＝＝，
设HD＝3x，AH＝5x，
∴AD＝＝4x，
∴DC＝5x﹣4x＝x，
在Rt△HDC中，HC＝＝x，
∴sadA＝＝；
【点评】本题考查了三角形综合题、解直角三角形、角的正对定义等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会理由参数解决问题，属于中考压轴题．
22．为了落实国务院惠农的指示精神，最近市政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为40元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+200．设这种产品每天的销售利润为w（元）．
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果物价部门规定每天至少获得1000元的销售利润，销售价应在什么范围？
【分析】（1）根据题意可以写出w与x的函数关系式，注意要求出x的取值范围；
（2）将（1）中的函数关系式化为顶点式，然后利用二次函数的性质，即可求得当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大，最大利润是多少；
（3）根据题意，可以令w＝1000，求出x的值，再根据二次函数的性质和题意，可以得到每天至少获得1000元的销售利润时，销售价应在什么范围．
解：（1）由题意得，
w与x之间的函数关系式是w＝（x﹣40）（﹣2x+200）＝﹣2x2+280x﹣8000，
∵，
解得：40＜x＜100，
∴w与x之间的函数关系式是w＝﹣2x2+280x﹣8000（40＜x＜100）；
（2）由（1）可知，w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∴当x＝70时，w取得最大值1800，
答：当售价定为70元/千克时，每天的销售利润最大，最大利润为1800元；
（3）由（1）可得，w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，
令﹣2（x﹣70）2+1800＝1000，
解得x1＝50，x2＝90，
∵﹣2（x﹣70）2+1800≥1000，
∴50≤x≤90，
答：至少获得1000元的销售利润，销售价应在50≤x≤90这个范围内．
【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程和求出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求最值．
23．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．
（1）求证：EB2＝EF•EG；
（2）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．
【分析】（1）先由菱形的性质得到AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，AB∥CD，再用SAS证明△ABE≌△ADE得到ED＝EB，∠ABE＝∠ADE，进一步证明△EDF∽△EGD，得到ED2＝EF⋅EG，再由ED＝EB即可得到结论；
（3）先证明△ABC是等边三角形．得到AC＝AB＝4．连接BD交AC于O，则AC⊥BD，，由勾股定理得到，求出OE＝1，则可求出，证明△EAF∽△ECB，推出．由（1）得EB2＝EF•EG，求出EG值，最后用BG＝BE+EG计算即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，AB∥CD，
又∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴ED＝EB，∠ABE＝∠ADE，
∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠EGD，
∴∠EGD＝∠ADE，
∵∠FED＝∠DEG，
∴△EDF∽△EGD，
∴，
∴ED2＝EF⋅EG；
∴EB2＝EF⋅EG；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∴AC＝AB＝4．
连接BD交AC于O，如图，则AC⊥BD，，
∴，
∵AE：EC＝1：3，
∴，
∴OE＝OA﹣AE＝1．
∴．
∵AD∥BC，
∴∠EAF＝∠ECB，∠EFA＝∠EBC，
∴△EAF∽△ECB
∴，
∴．
由（2）得EB2＝EF•EG，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质与判定，勾股定理，解题的关键是证明三角形相似，利用相似三角形的性质进行求解．
24．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB边上不与A，B重合的一个定点．AO⊥BC于点O，交CD于点E．DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD，CA的延长线相交于点M．
（1）求证：△ADE∽△FMC；
（2）求∠ABF的度数；
（3）若N是AF的中点，如图2，求证：ND＝NO．
【分析】（1）由DF是由线段DC绕点D顺时针旋转 90° 得到的，得∠FDC＝90°，FD＝CD，∠DFC＝45°，又AB＝AC，AO⊥BC，可得∠BAO＝∠DFC，根据∠EDA+∠ADM＝90°，∠M+∠ADM＝90°有∠EDA＝∠M，故△ADE∽△FMC；
（2）设BC与DF的交点为I，由∠DBI＝∠CFI＝45°，∠BID＝∠FIC，有△BID∽△FIC，，即，可得△BIF∽△DIC，即得∠IBF＝∠IDC＝90°，从而∠ABF＝∠ABC+∠IBF＝135°；
（3）延长ON交BF于点T，连接DT，DO，由∠FBI＝∠BOA＝90°，知BF∥AO，∠FTN＝∠AON，而N是AF的中点，有AN＝NF，可得△TNF≌△ONA（AAS），从而NT＝NO，FT＝AO，可证FT＝CO，△DFT≌△DCO（SAS），得DT＝DO，∠FDT＝∠CDO，即可得∠ODT＝∠CDF＝90°，故．
【解答】（1）证明：如图：
∵DF是由线段DC绕点D顺时针旋转 90° 得到的，
∴∠FDC＝90°，FD＝CD，∠DFC＝45°，
∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAO＝∠ABC＝45°，
∴∠BAO＝∠DFC，
∵∠EDA+∠ADM＝90°，∠M+∠ADM＝90°
∴∠EDA＝∠M，
∴△ADE∽△FMC；
（2）解：设BC与DF的交点为I，如图：
∵∠DBI＝∠CFI＝45°，∠BID＝∠FIC，
∴△BID∽△FIC，
∴＝，即，
∵∠BIF＝∠DIC，
∴△BIF∽△DIC，
∴∠IBF＝∠IDC，
∵∠IDC＝90°，
∴∠IBF＝90°，
∵∠ABC＝45°，
∴∠ABF＝∠ABC+∠IBF＝135°；
（3）证明：延长ON交BF于点T，连接DT，DO，如图：
∵∠FBI＝∠BOA＝90°，
∴BF∥AO，
∴∠FTN＝∠AON．
∵N是AF的中点，
∴AN＝NF，
∵∠TNF＝∠ONA，
∴△TNF≌△ONA（AAS），
∴NT＝NO，FT＝AO，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AO⊥BC，
∴AO＝CO，
∴FT＝CO，
由（2）知，△BIF∽△DIC，
∴∠DFT＝∠DCO．
∵DF＝DC，
∴△DFT≌△DCO（SAS），
∴DT＝DO，∠FDT＝∠CDO，
∴∠FDT+∠FDO＝∠CDO+∠FDO，即∠ODT＝∠CDF，
∵∠CDF＝90°，
∴∠ODT＝∠CDF＝90°，
∴．
【点评】本题考查相似三角形综合应用，涉及三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等基础知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质定理．
25．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，并且与x轴交于另一点C（点C在点A的右侧），点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD∥y轴交AB于点D，点E为线段DB上一点，且DE＝，过点E作EF∥PD交抛物线于点F，当点P运动到什么位置时，四边形PDEF的面积最大？并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，点F为AO的中点，连接BF，点G为y轴负半轴上一点，且GO＝2，沿x轴向右平移直线AG，记平移过程的直线为A'G'，直线A'G'交x轴于点M，交直线AB于点N．是否存在点M，使得△FMN为等腰三角形，若存在，直接写出平移后点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出A、B的坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可；
（2）设P（t，﹣t2﹣3t+4），则D（t，t+4），过点E作EG⊥PD交于G，由DE＝，求出E（t﹣2，t+6），F（t﹣2，﹣t2+t+6），再由S四边形PDEF＝×2×（PD+EF）＝﹣2（t+1）2+2，当t＝﹣1时，四边形PDEF的面积最大，最大值为2，此时P（﹣1，6）；
（3）设直线AB向右平移m个单位长度，求出平移后的直线解析式为y＝﹣x+m﹣2，再分别求出M（﹣4+m，0），N（m﹣4，m），分三种情况讨论：①当FM＝FN时，可求得M（﹣，0）；②当FM＝MN时，可求得M（，0）或（，0）；③当FN＝MN时，可求得M（﹣2，0）．
解：（1）令x＝0，则y＝4，
∴B（0，4），
令y＝0，则x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
将A（﹣4，0），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴y＝﹣x2﹣3x+4；
（2）设P（t，﹣t2﹣3t+4），
∵点P在第二象限内，
∴﹣4＜t＜0，
∵PD∥y轴，
∴D（t，t+4），
∴PD＝﹣t2﹣4t，
∵OA＝OB＝4，
∴∠BAC＝45°，
∴∠PDE＝45°，
过点E作EG⊥PD交于G，
∵DE＝，
∴GE＝GD＝2，
∴E（t+2，t+6），
∵EF∥PD，
∴F（t+2，﹣t2﹣7t﹣6），
∴EF＝﹣t2﹣8t﹣12
∴S四边形PDEF＝×2×（﹣t2﹣4t﹣t2﹣8t﹣12）＝﹣2（t+3）2+6，
∴当t＝﹣3时，四边形PDEF的面积最大，最大值为6，
此时P（﹣3，4）；
（3）存在点M，使得△FMN为等腰三角形，理由如下：
∵A（﹣4，0），点F为AO的中点，
∴F（﹣2，0），
∵GO＝2，点G在y轴负半轴上，
∴G（0，﹣2），
设直线AB的解析式为y＝kx+h，
∴，
解得，
∴y＝﹣x﹣2，
设直线AB向右平移m个单位长度，
∴平移后的直线解析式为y＝﹣x+m﹣2，
∴M（﹣4+m，0），
联立方程组，
解得，
∴N（m﹣4，m），
∴FM2＝（2﹣m）2，FN2＝（m﹣2）2+（m）2，MN＝（m）2+（m）2，
①当FM＝FN时，（2﹣m）2＝（m﹣2）2+（m）2，
解得m＝0（舍）或m＝，
∴M（﹣，0）；
②当FM＝MN时，（2﹣m）2＝（m）2+（m）2，
解得m＝或m＝，
∴M（，0）或（，0）；
③当FN＝MN时，（m﹣2）2+（m）2＝（m）2+（m）2，
解得m＝2（舍去）或m＝﹣6（舍），
综上所述：M点坐标为（﹣，0）或（，0）或（，0）．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，函数图象平移的性质，分类讨论是解题的关键．