沪教版 (五四制)八年级下册22.2 平行四边形精品练习题

这是一份沪教版 (五四制)八年级下册22.2 平行四边形精品练习题，文件包含2221平行四边形的性质原卷版docx、2221平行四边形的性质解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共55页， 欢迎下载使用。

一、平行四边形的定义
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
要点：平行四边形的基本元素：边、角、对角线.相邻的两边为邻边，有四对；相对的边为对边，有两对；相邻的两角为邻角，有四对；相对的角为对角，有两对；对角线有两条.
二、平行四边形的性质
1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
要点：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
题型1：平行四边形的性质
1．在下列性质中，平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．内角和为
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质即可得出结论．
【解析】∵平行四边形的对边相等，对角相等，内角和为，
∴平行四边形不一定具有的性质是对角线相等；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、四边形内角和定理；熟记平行四边形的性质是解决问题的关键．
2．下列说法不正确的是（ ）
A．平行四边形两组对边分别平行B．平行四边形的对角线互相平分
C．平行四边形的对角互补，邻角相等D．平行四边形的两组对边分别相等
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质依次分析判断即可．
【解析】解：A．平行四边形两组对边分别平行，原说法正确，故该项不符合题意；
B．平行四边形的对角线互相平分，原说法正确，故该项不符合题意；
C．平行四边形的对角相等，邻角互补，原说法不正确，故该项符合题意；
D．平行四边形的两组对边分别相等，原说法正确，故该项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行且相等，平行四边形的对角相等，邻角互补，平行四边形的对角线互相平分，熟记性质是解题的关键．
题型2：根据平行四边形的性质求角度
3．如图，在平行四边形中，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角互补，即可求得答案．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质．注意掌握平行四边形的对角相等，邻角互补是解此题的关键．
4．已知平行四边形中，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据平行四边形性质求出，，推出，求出的度数，即可求出．
【解析】∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选D．
【点睛】考查平行四边形的性质，平行四边形的对角相等，邻角互补是解题的关键．
5．如图，在中，过点C作，垂足为E，若，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质，求得，利用三角形内角和的性质即可求解．
【解析】解：在中，
∵
∴，
∵，
∴，
∴
故选：A
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，三角形内角和的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．
题型3：根据平行四边形的性质求长度
6．如图，平行四边形的周长为80，的周长比的周长多20，则长为（ ）
A．15B．20C．25D．30
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质，结合已知条件推出即可得到答案．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平行四边形的周长为80，的周长比的周长多20，
∴，
∴，
∴，
故选D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形对边相等，对角线互相平分是解题的关键．
7．在平行四边形中，边上的高为4，，，则平行四边形的周长是（ ）
A．12或20B．12或16C．16或20D．14或20
【答案】A
【分析】根据题意分别画出图形，边上的高在平行四边形的内部和外部，进而利用勾股定理求出即可．
【解析】解：①如图1所示：
∵在中，边上的高为4，，，
∴，，
，
∴，
∴的周长等于20；
②如图2所示：
∵在中，边上的高为4，，，
∴，，
，
∴，
∴的周长等于：，
则的周长等于20或12，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
8．如图，平行四边形中，的平分线交于E，，，则的长（ ）
A．4B．5C．5.5D．6
【答案】B
【分析】由在平行四边形中，的平分线交于点E，易证得，继而求得的长．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
9．平行四边形的周长为24cm，相邻两边的差为2cm，则平行四边形的各边长为（ ）
A．4cm，8cm，4cm，8cmB．5cm，7cm，5cm，7cm
C．5.5cm，6.5cm，5.5cm，6.5cmD．3cm，9cm，3cm，9cm
【答案】B
【分析】利用平行四边形两组对边相等求出相邻两边的和，再结合相邻两边的差列二元一次方程组，即可求解．
【解析】解：设两边分别为x cm，y cm，
由题意可得，
解得：，
所以平行四边形的各边长为5cm，7cm，5cm，7cm，
故选B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的基本性质、二元一次方程组的实际应用，解题的关键是掌握平行四边形的两组对边相等．
题型4：根据平行四边形的性质求周长和面积
10．如图，的对角线相交于O，过点O与分别相交于E，F，若，那么四边形的周长为（ ）
A．16B．17C．18D．19
【答案】A
【分析】根据平行四边形的对边相等得：，再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：，根据全等三角形的性质，得：，，故四边形的周长为．
【解析】解：四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
，
，，
四边形的周长为，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．
11．如图，已知平行四边形的面积为48，E为的中点，连接，则的面积为（ ）
A．8B．6C．4D．3
【答案】B
【分析】根据平行四边形的性质得出O为的中点，利用三角形中线将原三角形分成两个面积相等的三角形求解即可．
【解析】解：四边形为平行四边形，
O为、的中点，，
E为的中点，
，
O为的中点，
，
故选B．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．
题型5：平行四边形的性质与点的坐标
12．如图，将平行四边形放置在平面直角坐标系中，为坐标原点，若点的坐标是，点C的坐标是，则点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平行四边形的性质解答即可．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质等知识．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
题型6：平行四边形的性质的综合应用
13．如图，在平行四边形中，，平分交于点E，作于点G并延长交于点F，则线段的长为（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质证明，进而证明得到，得到，由此即可得到答案．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，证明，是解题的关键．
14．如图，过对角线的交点，交于点，交于点，则：
①；
②图中共有4对全等三角形；
③若，，则；
④；
其中正确的结论有（ ）
A．①④B．①②④C．①③④D．①②③
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，判断①，根据平行四边形是中心对称图形，得出6对全等三角形，进而判断②，根据三角形三边关系得出的取值范围，判断③，根据全等三角形的性质判断④．
【解析】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴；故①正确，
由平行四边形的中心对称性，全等三角形有：，，，，，共6对，故②错误；
∵，
∴，
∴，
∴，故③正确；
∵，
∴；
故④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
15．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上一点，且BC=EC，交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：
①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC=FB；④PF=PC．
其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】分别利用平行线的性质结合线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质分别判断得出答案．
【解析】证明：∵BC=EC，
∴∠CEB=∠CBE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DCAB，
∴∠CEB=∠EBF，
∴∠CBE=∠EBF，
∴①BE平分∠CBF，正确；
∵BC=EC，CF⊥BE，
∴∠ECF=∠BCF，
∴②CF平分∠DCB，正确；
∵DCAB，
∴∠DCF=∠CFB，
∵∠ECF=∠BCF，
∴∠CFB=∠BCF，
∴BF=BC，
∴③正确；
∵FB=BC，CF⊥BE，
∴B点一定在FC的垂直平分线上，即PB垂直平分FC，
∴PF=PC，故④正确．
综上，四个选项均正确，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，正确应用等腰三角形的性质是解题关键．
题型7：平行四边形的性质的证明
16．如图，在中，点E，F分别在上，且，连接交于点O，求证：．
【答案】见解析
【分析】先利用平行四边形的性质证明，再利用证明即可证明．
【解析】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质，证明是解题的关键．
17．如图，、是的对角线上的两点，．
求证： 且．
【答案】见解析
【分析】由四边形为平行四边形，可证，．然后根据证明，即可证明．
【解析】四边形为平行四边形，
，．
．
在和中，

．
．
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
18．如图，已知在中，对角线，，平分交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)设，连接交于点，画出图形，并求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析，
【分析】（1）根据角平分线的性质可得，再根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，利用等量代换可得，根据等角对等边可得；
（2）首先根据30°角算出，再根据勾股定理可得长，然后再根据平行四边形的性质可得，，再利用勾股定理可得的值，进而可得答案．
【解析】（1）解：证明：平分，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
；
（2），，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及勾股定理的应用，关键是掌握平行四边形对角线互相平分．
19．如图，的对角线和相交于点，过点且与边，分别相交于点和点.
(1)求证：；
(2)若，，，求四边形的周长.
【答案】(1)见解析
(2)四边形的周长为11
【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，，继而可证得，则可证得结论；
（2）由全等三角形的性质及平行四边形的性质可得出答案．
【解析】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵在和中，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
20．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BC，CF平分∠ACB交BD于点F，OH⊥CF于点H，OH=FH．
(1)当AB=4时，求OH的值；
(2)求证：DF=2BF．
【答案】(1)1
(2)见解析
【分析】（1）延长OH交BC于点E，证明△HCO≌△HCE（ASA），得CO=CE．OH=EH=OE．再证OE是△ABC的中位线，得OE=AB．即可求解．
（2）连接AF，作CM⊥BD于M． 证△ACF≌△BCF（SAS），得AF=BF．从而可得∠ABD=∠BAF=45°．再利用平行四边形的性质证得DF=2DM，然后证明△ABF≌△CDM（ASA），得BF=DM，即可得出结论．
【解析】（1）解：延长OH交BC于点E，
∵OH⊥FH，
∴∠CHO=∠CHE=90°．
∵CF平分∠ACB，
∴∠HCO=∠HCE．
在△HCO和△HCE中
，
∴△HCO≌△HCE（ASA）
∴CO=CE，OH=EH=OE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OC．
∵AC=BC，
∴BC=2CE，
∴点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB．
∵AB=4
∴OE=2，
∴OH=1．
（2）证明：连接AF，作CM⊥BD于M．
∴∠CMD=90°．
∵OE是△ABC的中位线，
∴OHAB，
∴∠ABD=∠HOF．
∵OH⊥FH
∴∠FHO=90°．
∵OH=FH．
∴∠HOF=∠HFO=45°，
∴∠ABD=45°．
在△ACF和△BCF中
，
△ACF≌△BCF（SAS），
∴AF=BF．
∴∠ABD=∠BAF=45°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，ABCD，
∴∠ABD=∠CDB=45°
∴∠DCM=45°，
∴∠ABD=∠BAF=∠CDB=∠HFO=∠DCM=45°．
∴CF=CD．
∵CM⊥BD，
∴DF=2DM，
在△ABF和△CDM中
，
∴△ABF≌△CDM（ASA）
∴BF=DM，
∴DF=2BF．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形中位线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形中位线的判定与性质是解题的关键．
一、单选题
1．下列选项中，平行四边形不一定具有的性质是( )
A．两组对边分别平行B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分D．对角线相等
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，对角线互相平分，可得正确选项．
【解析】解：∵平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分，
∴选项A. B. C正确，D错误.
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题关键在于对平行四边形性质的理解．
2．已知四边形是平行四边形，则下列各图中与一定不相等的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由对顶角的性质得出A正确；由平行四边形的性质得出B、D正确，再根据外角的性质得到∠2=∠CBE+∠1，即可判断C．
【解析】解：A正确；
∵∠1和∠2是对顶角，
∴∠1=∠2；
B、D正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，AB∥CD，
∴∠1=∠2；
C不正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠1=∠BCE，
∵∠2=∠CBE+∠BCE，
∴∠2=∠CBE+∠1，
∴∠2＞∠1，即一定不相等；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、对顶角的性质、平行线的性质以及外角的性质；熟练掌握平行四边形的性质时解决问题的关键．
3．已知平行四边形中，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由平行四边形ABCD的性质可得，∠A=∠C，∠A+∠B＝180°．再根据，即可求出答案．
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，∠A+∠B＝180°．
又∵∠A+∠C=240°，
∴∠A=∠C=120°，
∠B=180°－∠A=60°．
故选：B
【点睛】本题考查了平行四边形的基本性质，利用平行四边形的对角相等，邻角互补是解题的关键．
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列式子一定成立的是（ ）
A．AC⊥BDB．AC＝BDC．OA＝OCD．OA＝OD
【答案】C
【分析】根据平行四边形的性质（对角线性质）逐项判断即可得．
【解析】解：平行四边形的对角线互相平分，
，
则选项一定成立，选项不一定成立，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
5．已知平行四边形相邻两边的长度之比为3：2，周长为20cm，则平行四边形中较长一边的长为（ ）
A．12cmB．8cmC．6cmD．4cm
【答案】C
【分析】设平行四边形的两邻边分别为3x和2x，根据平行四边形的周长公式列出方程解答即可．
【解析】解：∵平行四边形相邻两边的长度之比为3：2，
∴设平行四边形的两邻边分别为3x和2x，
∵周长为20cm，
∴2(3x+2x)=20，
解得x=2，
∴3x=3×2=6，
即平行四边形中较长一边的长为6．
故选C．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的周长．关键是根据平行四边形的周长公式列出方程．
6．在中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能是（ ）
A．1∶2∶2∶1B．1∶2∶3∶4C．2∶1∶1∶2D．2∶1∶2∶1
【答案】D
【分析】由平行四边形的对角相等得出∠A=∠C，∠B=∠D，即可得出结果．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A：∠B：∠C：∠D可能是2∶1∶2∶1；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的对角相等的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
7．平行四边形的一边长为10，那么它的两条对角线的长可以是（ ）
A．4和6B．6和8C．8和12D．20和30
【答案】D
【分析】根据平行四边形对角线互相平分和三角形两边之和大于第三边逐项判断即可．
【解析】解：如图，设AB=10，对角线相交于点E，
它的两条对角线的长为4和6时，，不符合题意；
它的两条对角线的长为6和8时，，不符合题意；
它的两条对角线的长为8和12时，，不符合题意；
它的两条对角线的长为20和30时，设AE=15，BE=10，，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和三角形的三边关系，解题关键是明确两条较短边的和大于最长边可构成三角形．
8．有下列说法：
①平行四边形具有四边形的所有性质：
②平行四边形是中心对称图形：
③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形；
④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形．
其中正确说法的序号是（ ）．
A．①②④B．①③④C．①②③D．①②③④
【答案】D
【分析】根据平行四边形的性质、中心对称图形的定义和全等三角形的判定进行逐一判定即可．
【解析】解：∵平行四边形是四边形的一种，
∴平行四边形具有四边形的所有性质，故①正确：
∵平行四边形绕其对角线的交点旋转180度能够与自身重合，
∴平行四边形是中心对称图形，故②正确：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，CD=AB，∠ADC=∠CBA
∴△ADC≌△CBA（SAS）
同理可以证明△ABD≌△CDB
∴平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形，故③正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OD=OB，
∴，，，
∴，
∴平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形，故④正确．
故选D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，平行四边形的性质，全等三角形的判定，三角形中线把面积分成相同的两部分等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
9．在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范围是（ ）
A．1【答案】A
【分析】根据三角形三边关系判断即可．
【解析】∵ABCD是平行四边形，AC=12，BD=10，O为AC和BD的交点，
∴AO=6，BO=5，
∴6-5故选：A．
【点睛】本题考查平行四边形的性质和三角形的三边关系,关键在于熟记三角关系．
10．如图，在□ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上（E不与A、B重合），连接EF、CF，则下列结论中一定成立的是 ( )
①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③；④∠DFE=4∠AEF
A．①②③④B．①②③C．①②D．①②④
【答案】B
【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解析】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD．
∵在平行四边形ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF．
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故①正确；
延长EF，交CD延长线于M．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF．
∵F为AD中点，
∴AF=FD．
在△AEF和△DFM中，，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M．
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°．
∵FM=EF，
∴EF=CF，故②正确；
∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM．
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故③正确；
设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x．
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故④错误．
故选：B．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DMF是解题的关键．
二、填空题
11．在□ABCD中，CA⊥AB，∠BAD=120°，若BC=10cm，则AC=________，AB=_________．
【答案】 cm 5cm
【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理得到，根据所对的直角边为斜边的一半以及勾股定理可得出答案．
【解析】解： ∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵∠BAD=120°，
∴，
∵CA⊥AB，
∴，，
∴，，
故答案为：cm；5cm．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，所对直角边的性质，熟知性质定理是解本题的关键．
12．在□ABCD中，AC与BD交于O，若OA=3x，AC=4x+12，则OC的长为______．
【答案】18
【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分，即可得方程，继而求得答案．
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝AC，
∵OA＝3x，AC＝4x+12，
，
解得：x＝6，
∴OC＝3x＝18．
故答案为：18．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质．注意根据平行四边形的对角线互相平分，得到方程是关键．
13．如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的长为______．
【答案】3
【分析】先利用角平分线和平行四边形对边平行得到，进一步得到，从而可得．
【解析】解：四边形为平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出．
14．□ABCD的周长为60cm，其对角线交于O点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB=_____，BC=_____．
【答案】 20cm 10cm
【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对边相等，平行四边形的对角线互相平分．已知周长为60cm，可以求出一组邻边的和为30cm，△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB比BC的值多10cm，则进一步可求出AB，BC的长．
【解析】
解：∵□ABCD的周长为60cm，
AB+BC=30，
∵△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，
∴AB-BC=10，
∴
解得
故答案为：①20cm ②10cm．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的对边相等，平行四边形的对角线互相平分，做题的关键是由一组邻边的和为30cm，△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，列出方程解方程即可．
15．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4cm，AD＝7cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF＝_____cm．
【答案】3
【分析】先证明CB=CF，再结合平行四边形的性质，计算即可．
【解析】因为四边形ABCD是平行四边形，
所以BC=AD，ABCF，AB=CD，
所以∠ABF=∠BFC，
因为BF平分∠ABC，
所以∠ABF=∠CBF，
所以∠BFC=∠CBF，
所以CB=CF，
因为CF=CD+DF，
所以AD=AB+DF，
所以AB=7-4=3(cm)，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角的平分线的意义，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
16．如图，在中，，于点E，F为的中点，连结、，现有以下结论：①；②；③；其中结论正确的是________．
【答案】①②③
【分析】延长交的延长线于G，取的中点H，连接．先证，推出，结合，可得，可判断①；利用证明，推出，再证，，可判断②；根据可判断③．
【解析】解：如图，延长交的延长线于G，取的中点H，连接．
，，
，
，
，
，
，
．故①正确，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，故②正确，
∵，
∴，故③正确，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三、解答题
17．已知：如图，四边形是平行四边形，P，Q是对角线上的两个点，且．求证：AP∥QC，AP=QC．
【答案】见解析
【分析】直接利用平行四边形的性质得出AB＝DC，AB∥DC，进而得出△ABP≌△CDQ（SAS），即可得出答案．
【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝DC，AB∥DC，
∴∠ABP＝∠CDQ，
在△ABP和△CDQ中，
，
∴△ABP≌△CDQ（SAS），
∴∠APB＝∠CQD，AP=QC，
∴180°﹣∠APB＝180°﹣∠DQC，
即∠APQ＝∠CQP，
∴AP∥QC，
∴AP∥QC，AP=QC．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确得出△ABP≌△CDQ是解题关键．
18．如图，四边形是平行四边形．求：
（1）和的度数；
（2）和的长度．
【答案】（1）；（2）25，30
【分析】（1）根据平行四边形的性质：对角相等、邻角互补，结合已知条件即可得到相关答案；
（2）根据平行四边形的性质：两组对边分别相等，即可得到正确答案．
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴ ,
∵
∴
（2）∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∵
∴
【点睛】本题考查平行四边形的性质，牢记相关知识点灵活应用是解题的关键．
19．如图，在中，对角线与相交于点O，．求的长度及的面积．
【答案】OB的长为3，▱ABCD的面积为48．
【分析】直接利用勾股定理得出BD的长，再由平行四边形的性质即可得出答案．
【解析】解：∵BD⊥AD，AB=10，AD=8，
∴BD==6．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=BD=3，
∴S▱ABCD=6×8=48．
故OB的长为3，▱ABCD的面积为48．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出BD的长是解题关键．
20．如图，中，、是直线上两点，且．
求证：（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）利用平行四边形的性质借助全等三角形的判定与性质得出即可；
（2）利用全等三角形的性质结合平行线的判定方法得出即可．
【解析】证明：（1）四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2），
，
．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，得出△FAD≌△ECB是解题的关键．
21．如图，在ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠AED的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠AED=85°．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可知BC=AD，由已知AB=AE可得∠B=∠AEB，进而得∠B=∠DAE，根据边角边可证明全等；
（2）由（1）知∠AEB=∠DAE，由角平分线知∠BAE=∠DAE，进而可得∠AEB=∠BAE，从而求得∠BAE=60°再进行角度的计算即可求解．
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴∠AEB=∠DAE，
∵AB=AE，
∴∠B=∠AEB，
∴∠B=∠DAE，
∴△ABC≌△EAD（SAS）．
（2）解：由（1）知，∠AEB=∠DAE，
∵AE平分∠DAB，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠AEB=∠BAE，
又∠B=∠AEB，∠BAE=∠B=∠AEB=60°，
∵∠AED=∠BAC，∠EAC=25°，
∴∠AED=∠BAE+∠EAC=60°+25°=85°．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的证明，等边对等角，角平分线的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键．
22．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BC，CF平分∠ACB交BD于点F，OH⊥CF于点H，OH=FH．
(1)当AB=4时，求OH的值；
(2)求证：DF=2BF．
【答案】(1)1
(2)见解析
【分析】（1）延长OH交BC于点E，证明△HCO≌△HCE（ASA），得CO=CE．OH=EH=OE．再证OE是△ABC的中位线，得OE=AB．即可求解．
（2）连接AF，作CM⊥BD于M． 证△ACF≌△BCF（SAS），得AF=BF．从而可得∠ABD=∠BAF=45°．再利用平行四边形的性质证得DF=2DM，然后证明△ABF≌△CDM（ASA），得BF=DM，即可得出结论．
【解析】（1）解：延长OH交BC于点E，
∵OH⊥FH，
∴∠CHO=∠CHE=90°．
∵CF平分∠ACB，
∴∠HCO=∠HCE．
在△HCO和△HCE中
，
∴△HCO≌△HCE（ASA）
∴CO=CE，OH=EH=OE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OC．
∵AC=BC，
∴BC=2CE，
∴点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE=AB．
∵AB=4
∴OE=2，
∴OH=1．
（2）证明：连接AF，作CM⊥BD于M．
∴∠CMD=90°．
∵OE是△ABC的中位线，
∴OHAB，
∴∠ABD=∠HOF．
∵OH⊥FH
∴∠FHO=90°．
∵OH=FH．
∴∠HOF=∠HFO=45°，
∴∠ABD=45°．
在△ACF和△BCF中
，
△ACF≌△BCF（SAS），
∴AF=BF．
∴∠ABD=∠BAF=45°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，ABCD，
∴∠ABD=∠CDB=45°
∴∠DCM=45°，
∴∠ABD=∠BAF=∠CDB=∠HFO=∠DCM=45°．
∴CF=CD．
∵CM⊥BD，
∴DF=2DM，
在△ABF和△CDM中
，
∴△ABF≌△CDM（ASA）
∴BF=DM，
∴DF=2BF．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形中位线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，三角形中位线的判定与性质是解题的关键．
23．如图1，在▱ABCD中，∠D=45°，E为BC上一点，连接AC，AE，
（1）若AB=2，AE=4，求BE的长；
（2）如图2，过C作CM⊥AD于M，F为AE上一点，CA=CF，且∠ACF=∠BAE，求证：AF+AB=AM．
【答案】（1）2-2；（2）见解析
【分析】（1）如图（1），过A作AH⊥BC于H，解直角三角形即可得到结论；
（2）如图（2），在AM上截取MN=MC，在△ACF内以AF为底边作等腰直角三角形AFP，连接CP，根据平行线的性质函数三角形的内角和得到∠CAN=∠PAC，求得∠APC=∠FPC==135°=∠ANC，根据全等三角形的性质得到AP=AN，于是得到结论．
【解析】解：（1）如图（1），过A作AH⊥BC于H，
在▱ABCD中，∠D=∠B=45°，AB=2，
∴AH=BH=2，
∵AE=4，
∴EH==2，
∴BE=BH-EH=2-2；
（2）如图（2），在AM上截取MN=MC，在△ACF内以AF为底边作等腰直角三角形AFP，连接CP，
∵∠AFC+∠FAC+∠ACF=180°，∠B+∠FAC+∠BAF+∠CAN=180°，
∴∠AFC=∠B+∠CAN=45°+∠CAN，
∵∠FAC=∠FAP+∠PAC=45°+∠PAC，∴∠FAC=∠AFC，
∴∠CAN=∠PAC，
∵∠APC=∠FPC==135°=∠ANC，
∴△APC≌△ANC（AAS），
∴AP=AN，
∵AM=AN+MN，
∴AM=AN+MN=AF+CD=AF+AB，
即AF+AB=AM．
【点睛】考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线解题的关键．
24．如图，在中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F．
（1）在图1中证明CE＝CF；
（2）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB，DG（如图2），求∠BDG的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）60°．
【分析】（1）根据AF平分∠BAD，可得∠BAF=∠DAF，利用四边形ABCD是平行四边形，求证∠CEF=∠F即可．
（2）延长AB、FG交于H，连接HD．根据AD∥GF，AB∥DF易得四边形AHFD为平行四边形，由∠ABC=120°，AF平分∠BAD，易得△DAF为等腰三角形，进而推出AD=DF=HF=AH，得出△ADH，△DHF为全等的等边三角形；根据SAS判定△BHD≌△GFD，推出∠BDH=∠GDF，根据∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG进而求解即可．
【解析】（1）∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF=∠DAF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB∥CD，
∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，
∴∠CEF=∠F．
∴CE=CF．
（2）延长AB、FG交于H，连接HD．
∵AD∥GF，AB∥DF，
∴四边形AHFD为平行四边形，
∴AD=HF， AH=DF，
∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD，
∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°，
∴∠DAH=∠HFD=60°，
∴△DAF为等腰三角形，
∴AD=DF=HF=AH，
∴△ADH，△DHF为全等的等边三角形，
∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°．
∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，
∴BH=GF，
在△BHD与△GFD中，
∵，
∴△BHD≌△GFD，
∴∠BDH=∠GDF，
∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°．
【点睛】本题考查了四边形的综合问题，主要考查平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．
25．已知：如图，在ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，∠1=∠2．
（l）若CF=2，AE=3，求BE的长；
（2）求证：．
【答案】（1）;（2）见解析
【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质，由已知，经过等量代换得到直角三角形ABE的AB长，从而由已知的AE长，应用勾股定理可求得BE的长．
（2）过点GH∥BC交AE于点H，则∠CEG=∠EGH，通过△CEG≌△CDF得到点G为CD的中点，从而确定GH是AE的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质，得到GA=GE，进而根据等腰三角形三线合一的性质，得∠EGH=∠AGH，从而得证．
【解析】解：（1）∵CF=2，点F为CE的中点，∴CE=4．
∵CE=CD，∴CD=4．
∵四边ABCD是平行四边形，∴AB=CD=4．
∵ AE⊥BC，AE=3，∴．
（2）如图，过点GH∥BC交AE于点H，则∠CEG=∠EGH．
∵∠1=∠2，∠C=∠C，CE=CD，
∴△CEG≌△CDF（AAS）．∴CG=CF．
∵点F为CE的中点，∴点G为CD的中点．
∴点H为AE的中点，即GH是AE的垂直平分线．
∴GA=GE．∴∠EGH=∠AGH．
∴．
26．已知在平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥BC于点E，且AD=DE．连接AC交DE于点F，作DG⊥AC于点G．
（1）如图1，若，AF=，求DG的长；
（2）如图2，作EM⊥AC于点M，连接DM，求证：AM﹣EM=2DG．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）设EF=x，DF=2x，则DE=EF+DF=3x=AD，根据勾股定理求出x，在△ADF中，根据三角形面积公式求出即可；
（2）过D点作DK⊥DM交AC于点K，求出为等腰直角三角形，求出MK=2DG即可．
【解析】（1）解：设EF=x，
，
DF=2x，则DE=EF+DF=3x=AD
在Rt中，AD2+DF2=AF2，
，
∵x＞0，
∴x=1，
∴EF=1，DF=2，AD=3，
∴由三角形面积公式得：
即
（2）证明：过D点作DK⊥DM交AC于点K，
∵∠1+∠KDF=90°，∠2+∠KDF=90°，
∴∠1=∠2，
∵∠3+∠4=90°，∠5+∠EFM=90°，
又∵∠4=∠EFM，
∴∠3=∠5，
在△ADK和△EDM中
，
∴（ASA），
∴DK=DM，AK=EM，
∴为等腰直角三角形，
∵DG⊥AC，
∴MK=2DG，
∴AM﹣EM=AM﹣AK=MK=2DG．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
27．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作OE⊥BC交BC于点E．过点O作FG⊥AB交AB、CD于点F、G．
(1)如图1，若BC＝5，OE＝3，求平行四边形ABCD的面积；
(2)如图2，若∠ACB＝45°，试探究AF，FO，EG之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)30
(2)AF+OF＝EG，理由见解析
【分析】（1）连接BD，求出S△OBC，再根据平行四边形的性质得出平行四边形的面积与S△OBC的关系求得结果；
（2）过点E作EH⊥EG，与GC的延长线交于点H，证明△OEG≌△CEH得OG＝CH，EG＝EH，再证明△OAF≌△OCG，得AF＝CG，OF＝OG，进而根据等腰直角三角形的性质得结论．
【解析】（1）解：连接BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD过点O，
∴．
∴平行四边形ABCD的面积==30；
（2）解：．理由如下：
过点E作EH⊥EG，与GC的延长线交于点H，如图2，
∵OE⊥BC，
∴∠OEG+∠GEC＝∠GEC+∠CEH＝90°，
∴∠OEG＝∠CEH，
∵∠ACB＝45°，
∴∠COE＝45°，
∴OE＝CE，
∵平行四边形ABCD中，AB∥CD，
又FG⊥AB，
∴FG⊥CD，
∴∠EOG+∠ECG＝360°-90°-90°＝180°，
∵∠ECH+∠ECG＝180°，
∴∠EOG＝∠ECH，
∴△OEG≌△CEH（ASA），
∴OG＝CH，EG＝EH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠OAF＝∠OCG，
∵∠AOF＝∠COG，
∴△OAF≌△OCG（ASA），
∴AF＝CG，OF＝OG，
∵CG+CH＝GH，
∴AF+OF＝GH，
∵∠GEH＝90°，EG＝EH，
∴GH＝EG，
∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等内容，综合性比较强，准确找出题中各个量之间的关系并进行转化是解题的关键．