第03讲 与圆有关的性质-圆周角定理与内接四边形-2024-2025学年九年级数学上册高效讲与练（人教版）

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第03讲 与圆有关的性质—圆周角定理与内接四边形知识点01 圆周角的认识 圆周角的认识：如图，像∠BAC这样顶点在 圆上 ，且两边都与圆 相交 的角叫做圆周角。 题型考点：①圆周角的认识与判断。【即学即练1】1．如图，∠APB是圆周角的是（　　）A． B． C． D．【解答】解：A、B顶点没在圆上，C虽然顶点在圆上，但一条边没有与圆相交，D符合圆周角的概念，故选：D．知识点02 圆周角定理圆周角定理：在 同圆 或 等圆 中，同弧或等弧所对的圆周角 相等 ，且都等于这条弧所对的圆心角的 一半 。即：∠BAC＝ ∠BDC ＝ ∠BEC ＝ ∠BOC 题型考点：①圆周角定理的应用。【即学即练1】2．如图所示，在⊙O中，∠BOD＝30°，OD∥AB，AD，OB相交于点C，那么∠BCD的度数是（　　）A．15° B．30° C．45° D．60°【解答】解：∠A＝∠BOD＝15°，∵OD∥AB，∴∠D＝∠A＝15°，∴∠BCD＝∠BOD+∠D＝45°，故选：C．【即学即练2】3．如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝45°，OC＝2，则BC的长为（　　）A． B．2 C．2 D．4【解答】解：由圆周角定理得，∠BOC＝2∠A＝90°，∴BC＝OC＝2，故选：B．知识点03 圆周角定理的推论圆周角定理的推论： 半圆或直径所对的圆周角是 直角（等于90°） 。90°的圆周角所对的弦是 直径 。 题型考点：①圆周角定理推论的应用。【即学即练1】4．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝37°，则∠BDC＝（　　）A．53° B．63° C．43° D．74°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝37°，∴∠CAB＝53°，∴∠BDC＝∠CAB＝53°，故选：A．【即学即练2】5．如图，A、B、C、D在⊙O上，BC是⊙O的直径．若∠D＝36°，则∠BCA的度数是（　　）A．72° B．54° C．45° D．36°【解答】解：∠B＝∠D＝36°，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∴∠BCA＝90°﹣∠B＝54°，故选：B．知识点04 圆的内接四边形圆的内接四边形的概念： 如图：四个顶点都在 圆上 的四边形叫做圆的内接四边形。圆的内接四边形的性质：圆的内接四边形的对角 互补 。 即∠B＋∠D＝ 180° ，∠C＋∠BAD＝ 180° 。（2）圆的内接四边形的任意一个外角等于它的 内对角 （就是和它相邻的内角的对角）即：∠EAD＝ ∠C 。 题型考点：①圆的内接四边形的性质的应用。【即学即练1】6．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠D＝50°，则∠B为（　　）A．140° B．130° C．120° D．100°【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D+∠B＝180°，∵∠D＝50°，∴∠B＝180°﹣50°＝130°，故选：B．【即学即练2】7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD＝100°，则∠BCD＝　130　°．【解答】解：∵∠BOD＝100°，∴∠A＝50°．∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣50°＝130°．故答案为：130．【即学即练3】8．⊙O中，∠AOB＝100°，若C是上一点，则∠ACB等于（　　）A．80° B．100° C．120° D．130°【解答】解：如图：在优弧上取点D，连接AD，BD，∵⊙O中，∠AOB＝100°，∴∠ADB＝∠AOB＝50°，∵四边形ACBD是⊙O的内接四边形，∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝130°．故选：D．题型01 圆周角定理及其推论【典例1】如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC＝78°，则∠A的度数是（　　）A．39° B．40° C．78° D．100°【解答】解：∵∠BOC与∠A是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝78°，∴∠A＝∠BOC＝39°．故选：A．【典例2】如图所示，在⊙O中，∠BAC＝25°，∠CED＝30°，则∠BOD的度数是（　　）A．55° B．110° C．125° D．150°【解答】解：连接BE，∵∠BEC＝∠BAC＝25°，∠CED＝30°，∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝55°，∴∠BOD＝2∠BED＝110°．故选：B．【典例3】如图，AB、CD为⊙O的两条弦，⊙O的半径为r，AB＝r，CD＝r，连接AC、BD，AC与BD交于点H，则∠BHC的度数为（　　）A．100° B．105° C．110° D．115°【解答】解：如图，连接OA、OB、OC、OD、BC，则OA＝OB＝OC＝OD＝r，∵AB＝r，CD＝r，∴△AOB是等边三角形，△OCD是等腰直角三角形，∴∠AOB＝60°，∠COD＝90°，∴∠ACB＝∠AOB＝30°，∠DBC＝∠COD＝45°，∴∠BHC＝180°﹣∠ACB﹣∠DBC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：B．【典例4】如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数为（　　）A．25° B．30° C．45° D．50°【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠CAB＝40°，∠∠ABC＝90°﹣∠CAB＝50°，∴∠ADC＝∠ABC＝50°故选：D．【典例5】如图，AB为⊙O的直径，点C、D均在⊙O上，∠ABC＝58°，则∠D为（　　）A．32° B．42° C．29° D．22°【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝58°，∴∠A＝90°﹣∠ABC＝32°，∴∠D＝∠A＝32°，故选：A．题型02 圆的内接四边形【典例1】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠D＝85°，则∠B的度数为（　　）A．95° B．105° C．115° D．125°【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D+∠B＝180°，∵∠D＝85°，∴∠B＝180°﹣∠D＝180°﹣85°＝95°．故选：A．【典例2】如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC，∠BAO＝75°，则∠D＝（　　）A．60° B．30° C．45° D．无法确定【解答】解：连接OC，∵AB＝BC，∴＝，∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，∵∠D＝∠AOC，∴∠D＝∠AOB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝75°，∴∠AOB＝180°﹣75°﹣75°＝30°，∴∠D＝∠AOB＝30°．故选：B．【典例3】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝60°，点E在BC的延长线上，则∠DCE的度数是（　　）A．60° B．45° C．30° D．无法确定【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝60°，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝120°，∴∠DCE＝180°﹣∠BCD＝60°，故选：A．【典例4】如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝128°，则∠AOC的度数是（　　）A．100° B．128° C．104° D．124°【解答】解：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，即∠D＝180°﹣∠B＝52°，由圆周角定理可得：∠AOC＝2∠D＝104°，故选：C． 1．如图，AB是⊙O的直径，∠B＝30°，BC＝3，则AC的长为（　　）A． B． C．1 D．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠B＝30°，∵tanB＝＝tan30°＝，BC＝3，∴AC＝．故选：A．2．已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠A＝70°，则∠C的度数为（　　）A．70° B．80° C．100° D．110°【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠C＝180°，∵∠A＝70°，∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣70°＝110°．故选：D．3．如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠DAC＝25°，AD＝CD，则∠BAC的度数是（　　）A．30° B．35° C．40° D．50°【解答】解：连接BD，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠DAC＝∠DBC＝25°，∵DA＝DC，∴弧AD＝弧CD，∴∠DBC＝∠ABD＝25°，∴∠ABC＝50°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣50°＝40°．故选：C．4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为上一点，若∠CEA＝28°，则∠ABD的度数为（　　）A．14° B．28° C．56° D．无法确定【解答】解：∵AB为直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴∠ABD＝∠CEA＝28°，故选：B．5．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠BAO＝20°，则∠ACB的大小是（　　）A．90° B．70° C．60° D．40°【解答】解：∵AO＝OB，∴△AOB是等腰三角形，∵∠BAO＝20°，∴∠OBA＝20°，即∠AOB＝140°，∵∠AOB＝2∠ACB，∴∠ACB＝70°．故选：B．6．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝100°，点B是弧AC的中点，则∠D的度数是（　　）A．25° B．30° C．50° D．60°【解答】解：连接OB，∵∠AOC＝100°，点B是弧AC的中点，∴∠AOB＝∠AOC＝50°．∵∠AOB与∠D是同弧所对的圆心角和圆周角，∴∠D＝∠AOB＝25°．故选：A．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，∠CBE＝50°，∠AOD的大小为（　　）A．130° B．100° C．120° D．110°【解答】解：∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBE＝180°，∴∠ADC＝∠CBE＝50°，∵DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣50°）＝65°，∴∠AOD＝2∠ACD＝130°，故选：A．8．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，＝，AD、BC的延长线相交于点E，AF为直径，连接BF．若∠BAF＝32°，∠E＝40°，则∠CBF的度数为（　　）A．16° B．24° C．12° D．14°【解答】解：∵AF为圆的直径，∴∠ABF＝90°，＝，∵＝，∴＝，∴∠DAF＝∠BAF＝32°，∴∠BAD＝64°，∵∠E＝40°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAD﹣∠E＝76°，∴∠CBF＝∠ABF﹣∠ABC＝14°．故选：D．9．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，若∠DAB＝66°，则∠ACD＝　 　度．【解答】解：如图，连接OD，∵OA＝OD，∠DAB＝66°，∴∠ODA＝∠OAD＝66°，∴∠AOD＝180°﹣66°﹣66°＝48°，∴∠ACD＝∠AOD＝24°，故答案为：24．10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线BD过点O，若∠ABD＝65°，则∠ACB的度数为 　 　°．【解答】解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BCD＝90°，∵∠ABD＝65°，∠ABD＝∠ACD，∴∠ACD＝65°，∵∠ACB+∠ACD＝∠BCD，∴∠ACB＝25°，故答案为：25．11．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，且∠B＝22.5°，CD＝10，则直径AB的长为 　 　．【解答】解：连接OD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，CD＝10，∴CE＝DE＝5，AC＝AD，∴∠B＝∠ACD，∵∠B＝22.5°，∴∠ACD＝22.5°，∴∠AOD＝45°，∴OE＝DE＝5，在Rt△OED中，根据勾股定理可得，∴，∴，故答案为：．12．如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处（不与点A重合），连结CB，CD，AD，设CD与直径AB交于点E，连结CD、AC．若OD∥AC，∠B＝　 　度；＝　 　．【解答】解：如图，连接BD，由轴对称可知，直线CO是线段BD的垂直平分线，即CO⊥BD，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，∴CO∥AD，又∵OD∥AC，∴四边形ACOD是平行四边形，∵OD＝OC，∴四边形ACOD是菱形，∴AC＝AD＝OC＝OD＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠ABC＝∠AOC＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，∠OAC＝60°，∴BC＝AC，即BC＝AD，∴＝，故答案为：30，．13．如图所示，⊙O的直径AB为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D．（1）判断△ADB的形状，并证明；（2）求BD的长．【解答】解：（1）△ADB是等腰直角三角形，证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴＝，∴AD＝BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴△ADB是等腰直角三角形；（2）由（1）得：∠ADB＝90°，AD＝BD，∵AB＝6cm，∴BD＝＝＝3（cm），∴BD的长为3．14．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD，CD．（1）求证：DB＝DE；（2）若，，求BC的长．【解答】（1）证明：由圆周角定理可得：∠CAD＝∠CBD，∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，∴∠BED＝∠DBE．∴BD＝ED．（2）解：连接OC、OD，OD交BC于点F，由圆周角定理可得：∠BAD＝∠BCD，由（1）知∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，∴∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．∴BD＝DC．∵OB＝OC．∴OD垂直平分BC．∵AB为直径，BD＝ED∴∠ADB＝90°，则△BDE是等腰直角三角形．∵，BE2＝BD2+ED2＝2BD2∴BD＝2．∵，AB2＝BD2+AD2，解得：AD＝4（负根已经舍去），∴OB＝OD＝2．设OF＝t，则DF＝2﹣t，在Rt△BOF和Rt△BDF中，OB2﹣OF2＝BD2﹣DF2＝BF2，即：（）2﹣t2＝22﹣（2﹣t）2，解得t＝，即OF＝，∴BF＝＝＝．∴BC＝2BF＝．15．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且OC⊥AB于点O，点D是的中点，连接AD交OC于M，连接BD，CD．（1）∠DAB的度数为 　 　度．（2）求证：DC＝DM；（3）过点C作CE⊥AD于点E，若BD＝，求ME的长．【解答】解：（1）如图，连接OD，∵OC⊥AB，∴∠COB＝90°，∵D是的中点，∴，∴∠COD＝∠BOD＝45°，∵，∴∠BAD＝∠BOD＝22.5°，故答案为：22.5．（2）∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵OC⊥AB，∴∠AMO＝∠ABD，∵，∴∠COD＝∠BOD，∵OC＝OD＝OB，∴∠OCD＝∠ODC＝∠ODB＝∠OBD，∵∠AMO＝∠CMD，∴∠MCD＝∠CMD，∴DC＝DM．（3）∵CD＝BD＝，∴DM＝DC＝，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝22.5°，∵∠COD＝45°，OC＝OD，∴∠ODC＝67.5°，∴∠CDE＝45，∵CE⊥AD，∴DE＝•CD，∴DE＝1，∴ME＝﹣1．课程标准学习目标①圆周角的定义②圆周角定理③圆周角定理的推论④圆的内接四边形掌握圆周角的定义，理解认识圆周角。掌握圆周角定理，并能够熟练运用圆周角定理解决相应的题目。掌握圆周角定理的推论并对其熟练应用。掌握圆的内接四边形的性质并树熟练应用。