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2024年高考数学第二轮专题复习专题20:凹凸反转问题9页
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这是一份2024年高考数学第二轮专题复习专题20:凹凸反转问题9页,共9页。试卷主要包含了设函数,,设函数,证明,设函数,已知函数等内容,欢迎下载使用。
(1)判断函数零点的个数,并说明理由;
(2)记,讨论的单调性;
(3)若在恒成立,求实数的取值范围.
【解析】(1)由题意得:,
,
故在递增;
又(1),(e),
故函数在内存在零点,
的零点个数是1;
(2),
,
当时,,在递减,
当时,由,解得:(舍取负值),
时,,递减,
,时,,递增,
综上,时,在递减,
时,在递减,在,递增;
(3)由题意得:,
问题等价于在恒成立,
设,
若记,则,
时,,
在递增,
(1),即,
若,由于,
故,故,
即当在恒成立时,必有,
当时,设,
①若,即时,
由(2)得,递减,,,递增,
故(1),而,
即存在,使得,
故时,不恒成立;
②若,即时,
设,
,
由于,且,
即,故,
因此,
故在递增,
故(1),
即时,在恒成立,
综上,,时,在恒成立.
2.设函数,证明.
【解析】证明: ,
从而等价于 .
设函数 ,
则 ,
所以当时,;
当,时,.
故在上单调递减,在,上单调递增,
从而在上的最小值为.
设函数,则.
所以当时,;
当时,.
故在上单调递增,在上单调递减,
从而在上的最大值为(1);
因为(1),
所以当时,,即.
3.设函数.
(1)当时,求的极值;
(2)当时,证明:在上恒成立.
【解析】(1)当时,,
当时,;当时,.
在上单调递增,在上单调递减;
在处取得极大值(2),无极小值;
(2)当时,,
下面证,即证,
设,则,
在上,,是减函数;在上,,是增函数.
所以,
设,则,
在上,,是增函数;在上,,是减函数,
所以,
所以,即,所以,即,
即在上恒成立.
4.已知函数.
(Ⅰ)当时,求的单调区间与极值;
(Ⅱ)当时,证明:.
【解析】(Ⅰ)时,,,
注意到与都是增函数,于是在上递增,
又,故时,;故时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
当时,取得极小值1,无极大值.(6分)
(Ⅱ)方法一:当,时,,,
,,
故只需证明当时,.
当时,在上单增,
又,,
故在上有唯一零点.
当时,;当,时,.
从而时,取得最小值.
由得:,,
故,
综上,当时,.(12分)
方法二:先证不等式与,
设,则,
可得在上单减,在上单增,
,即;
设,则,
可得在上单增,在上单减,
(1),即.
于是,当时,,
注意到以上三个不等号的取等条件分别为:、、,它们无法同时取等,
所以,当时,,即.(12分)
5.设函数,,其中,,是自然对数的底数.
(1)设,当时,求的最小值;
(2)证明:当,时,总存在两条直线与曲线与都相切;
(3)当时,证明:.
【解析】(1),,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
故时,取得最小值;
(2),
在处的切线方程为,
,
在点处的切线方程为,
由题意得,则,
令,则,
由(1)得时,单调递减,且,
当时,单调递增,又(1),时,,
当时,,单调递减;当时,,单调递减,
由(1)得,
又,
(1),所以函数在和内各有一个零点,
故当时,总存在两条直线与曲线与都相切;
(3)证明:,
令,以下证明当时,的最小值大于0,
求导的,
①当时,,(1),
②当时,,令,
,又(2),
,又(2)
取且使,即,
则,
(2),故存在唯一零点,
即有唯一的极值点,又,
且,即,故,
,故是上的减函数,
(2),所以,
综上所求,当时,.
6.设函数.
(1)当时,求函数的极值点;
(2)当时,证明:在上恒成立.
【解析】(1)由题意得,
当时,,在上为增函数;
当时,,在上为减函数;
所以是的极大值点,无极小值点
(2)证明:令,
则,
令,则因为,
所以函数在上单调递增,在上最多有一个零点,
又因为,(1),所以存在唯一的使得(c),
且当时,;当时,,
即当时,;当时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,从而(c),
由(c)得即,两边取对数得:,
所以(c),(c),从而证得
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