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    2024年高考数学第二轮专题复习专题20:凹凸反转问题9页

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    2024年高考数学第二轮专题复习专题20:凹凸反转问题9页

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    这是一份2024年高考数学第二轮专题复习专题20:凹凸反转问题9页,共9页。试卷主要包含了设函数,,设函数,证明,设函数,已知函数等内容,欢迎下载使用。
    (1)判断函数零点的个数,并说明理由;
    (2)记,讨论的单调性;
    (3)若在恒成立,求实数的取值范围.
    【解析】(1)由题意得:,

    故在递增;
    又(1),(e),
    故函数在内存在零点,
    的零点个数是1;
    (2),

    当时,,在递减,
    当时,由,解得:(舍取负值),
    时,,递减,
    ,时,,递增,
    综上,时,在递减,
    时,在递减,在,递增;
    (3)由题意得:,
    问题等价于在恒成立,
    设,
    若记,则,
    时,,
    在递增,
    (1),即,
    若,由于,
    故,故,
    即当在恒成立时,必有,
    当时,设,
    ①若,即时,
    由(2)得,递减,,,递增,
    故(1),而,
    即存在,使得,
    故时,不恒成立;
    ②若,即时,
    设,

    由于,且,
    即,故,
    因此,
    故在递增,
    故(1),
    即时,在恒成立,
    综上,,时,在恒成立.
    2.设函数,证明.
    【解析】证明: ,
    从而等价于 .
    设函数 ,
    则 ,
    所以当时,;
    当,时,.
    故在上单调递减,在,上单调递增,
    从而在上的最小值为.
    设函数,则.
    所以当时,;
    当时,.
    故在上单调递增,在上单调递减,
    从而在上的最大值为(1);
    因为(1),
    所以当时,,即.
    3.设函数.
    (1)当时,求的极值;
    (2)当时,证明:在上恒成立.
    【解析】(1)当时,,
    当时,;当时,.
    在上单调递增,在上单调递减;
    在处取得极大值(2),无极小值;
    (2)当时,,
    下面证,即证,
    设,则,
    在上,,是减函数;在上,,是增函数.
    所以,
    设,则,
    在上,,是增函数;在上,,是减函数,
    所以,
    所以,即,所以,即,
    即在上恒成立.
    4.已知函数.
    (Ⅰ)当时,求的单调区间与极值;
    (Ⅱ)当时,证明:.
    【解析】(Ⅰ)时,,,
    注意到与都是增函数,于是在上递增,
    又,故时,;故时,,
    所以在上单调递减,在上单调递增,
    当时,取得极小值1,无极大值.(6分)
    (Ⅱ)方法一:当,时,,,
    ,,
    故只需证明当时,.
    当时,在上单增,
    又,,
    故在上有唯一零点.
    当时,;当,时,.
    从而时,取得最小值.
    由得:,,
    故,
    综上,当时,.(12分)
    方法二:先证不等式与,
    设,则,
    可得在上单减,在上单增,
    ,即;
    设,则,
    可得在上单增,在上单减,
    (1),即.
    于是,当时,,
    注意到以上三个不等号的取等条件分别为:、、,它们无法同时取等,
    所以,当时,,即.(12分)
    5.设函数,,其中,,是自然对数的底数.
    (1)设,当时,求的最小值;
    (2)证明:当,时,总存在两条直线与曲线与都相切;
    (3)当时,证明:.
    【解析】(1),,
    当时,,单调递减,
    当时,,单调递增,
    故时,取得最小值;
    (2),
    在处的切线方程为,

    在点处的切线方程为,
    由题意得,则,
    令,则,
    由(1)得时,单调递减,且,
    当时,单调递增,又(1),时,,
    当时,,单调递减;当时,,单调递减,
    由(1)得,
    又,
    (1),所以函数在和内各有一个零点,
    故当时,总存在两条直线与曲线与都相切;
    (3)证明:,
    令,以下证明当时,的最小值大于0,
    求导的,
    ①当时,,(1),
    ②当时,,令,
    ,又(2),
    ,又(2)
    取且使,即,
    则,
    (2),故存在唯一零点,
    即有唯一的极值点,又,
    且,即,故,
    ,故是上的减函数,
    (2),所以,
    综上所求,当时,.
    6.设函数.
    (1)当时,求函数的极值点;
    (2)当时,证明:在上恒成立.
    【解析】(1)由题意得,
    当时,,在上为增函数;
    当时,,在上为减函数;
    所以是的极大值点,无极小值点
    (2)证明:令,
    则,
    令,则因为,
    所以函数在上单调递增,在上最多有一个零点,
    又因为,(1),所以存在唯一的使得(c),
    且当时,;当时,,
    即当时,;当时,,
    所以在上单调递减,在上单调递增,从而(c),
    由(c)得即,两边取对数得:,
    所以(c),(c),从而证得

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