2024年高考数学第二轮专题复习专题1：切线问题12页

这是一份2024年高考数学第二轮专题复习专题1：切线问题12页，共12页。试卷主要包含了已知是曲线等内容，欢迎下载使用。
A．B．C．D．
1．A
【解析】设公切线与函数切于点，则切线方程为；设公切线与函数切于点，则切线方程为，所以有∵，∴．
又，令，∴．
设，则，∴在(0，2)上为减函数，则，∴，故选A．
2．已知直线与曲线相切，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
2．C
【解析】设切点，则由得，
又由，得，则，
有，令，则，
故当时；当时，故当时取得极大值也即最大值.
故选：C.
3．已知是曲线：上任意一点，点是曲线：上任意一点，则的最小值是（ ）
A．B．
C．2D．
3．D
【解析】（1）曲线：，求导得，易知在点处切线方程为.
下面证明恒成立：
构造函数，求导得，则时，，单调递减；时，，单调递增.
故函数，即恒成立，有为下凸曲线
（2）曲线：，求导得，当时，，且过点
故在点处的切线方程为.
下面证明在上恒成立：
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以，即，
则，即在上恒成立，有为上凸曲线
（3）由在处切线与在B处的切线，知：它们相互平行
又直线AB的斜率k = -1，即可知：直线AB与两条切线同时垂直
∴综上，知：最小时，A即为P点，B即为Q点，故
∴
故选：D
4．若曲线y＝ax+2csx上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是（ ）
A．[，]B．[﹣1，1]C．（﹣∞，1]D．[，1]
4．A
【解析】，要使曲线上存在两条切线相互垂直，
只需切线斜率最小时，其负倒数仍在导函数值域内取值，即，显然，
故只需，
因为最小值为，最大值为，
所以，即，
解得．
故选：A．
5．已知关于不等式对任意和正数恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
5．B
【解析】设，，
若，对任意和正数恒成立，
则，对任意和正数恒成立，
如图，
时，，对任意和正数不恒成立；
如图，
时，
，则，
设，解得，且，
∴当的切线斜率为1时，切点坐标为，
由直线的点斜式方程可得切线方程为，
即，
若，对任意和正数恒成立，则
∴
∴，
设，
，
∴，，，
∴，
∴
故选：B.
6．若存在实数，使不等式对一切正数都成立（其中为自然对数的底数），则实数的最大值是（ ）
A．B．C．D．
6．C
【解析】存在实数，使不等式对一切正数都成立，要求的最大值，临界条件即为直线恰为函数的公切线.
设的切点为，.
设的切点为，,
所以.
由题得.
设，
所以，
所以函数在上单调递减，在单调递增.
又，
当时，，
所以方程另外一个零点一定大于.
所以方程小的零点为，
所以.
故选：C
7．若对函数的图象上任意一点处的切线，函数的图象上总存在一点处的切线，使得，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．D
【解析】由，得，所以，
由，得.
(1)当时，导函数单调递增，，
由题意得
故，解得；
(2)当时，导函数单调递减，，同理可得，与矛盾，舍去；
（3）当时，不符合题意.
综上所述：的取值范围为.
故选：.
8．若过点可以作三条直线与曲线相切，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．A
【解析】设切点为，∵，∴，
∴M处的切线斜率，则过点P的切线方程为，
代入点P的坐标，化简得，
∵过点可以作三条直线与曲线相切，
∴方程有三个不等实根.
令，求导得到，
可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
如图所示，故，即.
故选：A.
9．已知是函数的切线，则的最小值为______．
9．
【解析】根据题意，直线y＝kx+b与函数f（x）＝lnx+x相切，设切点为（m，lnm+m），
函数f（x）＝lnx+x，其导数f′（x）1，则f′（m）1，
则切线的方程为：y﹣（lnm+m）＝（1）（x﹣m），变形可得y＝（1）x+lnm﹣1，
又由切线的方程为y＝kx+b，
则k1，b＝lnm﹣1，
则2k+b2+lnm﹣1＝lnm1，
设g（m）＝lnm1，其导数g′（m），
在区间（0，2）上，g′（m）＜0，则g（m）＝lnm1为减函数，
在（2，+∞）上，g′（m）＞0，则g（m）＝lnm1为增函数，
则g（m）min＝g（2）＝ln2+2，即2k+b的最小值为ln2+2；
故答案为ln2+2．
10．存在使对任意的恒成立，则的最小值为________.
10．
【解析】存在使对任意的恒成立，
则等价于等价于存在，，在的上方.
直线过定点，即定点在直线上，
设直线与相切于点，
，所以，
由得，
化简得，故.
构造函数，
则，
所以当时，，函数递减，
当时，，函数递增，
所以.所以的最小值为.
故答案为：
11．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则_____．
11．或
【解析】设与和，分别切于点，，
由导数的几何意义可得：，即，①
则切线方程为，即，
或，即，②
将①代入②得，
又直线是曲线的切线，也是曲线的切线，
则，
即，
则或，
即或，
故答案为：或.
12．已知直线与函数的图像相切于点，与函数的图像相切于点，若，且，，则__________．
12．4
【解析】依题意，可得，整理得
令，则在单调递增
且，∴存在唯一实数，使
，，，
，，∴，故.
13．若直线既是曲线的切线，又是曲线的切线，则______.
13．或
【解析】令，，则，.
设切点分别，，
则切线方程为，即；
，即，
∴，即，
∴，∴或.
当时，切线方程为，∴；
当时，切线方程为，∴.
综上所述，或.
故答案为: 或
14．已知实数 ，满足 ，那么的最小值为_________．
14．
【解析】由可知，点在函数上，由知，点在直线上，则，所以当点处的切线与直线平行时，点到直线的距离的平方就是的最小值.
由得，，所以，
所以，所以，
故答案为.
15．若直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则=_________.
15．
【解析】设直线与相切与点，此时斜率为，由点斜式得切线方程为，即.对于曲线，其导数，令，得，故切点坐标为，代入切线方程得，解得，故.