2024年高考数学第二轮专题复习专题7：零点问题28页

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A．B．C．D．
【解析】令，
则，
设，
令，，
，发现函数，在上都是单调递增，在，上都是单调递减，
函数在上单调递增，在，上单调递减，
故当时，得，
函数至少存在一个零点需满足，
即．
故选：．
2．设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是
A．，B．，
C．，D．，
【解析】的定义域为，
又，
函数至少存在一个零点可化为
函数至少有一个零点；
即方程有解，
则，
；
故当时，，
当时，；
则在上单调递增，
在上单调递减，
故；
又当时，，
故；
故选：．
3．已知函数与函数的图象有两个不同的交点，则实数取值范围为
A．，B．C．D．
【解析】由题意得：，
，
问题转化为函数的图象和函数的图象有2个交点，
，
故函数在和上递增，
在，单调递减，且时，
，，（2），
作出函数的图象，
如图示：
观察图象得：函数和的图象有2个不同的交点时，
实数，，
故选：．
4．已知函数的定义域为，且对任意都满足，当时，．（其中为自然对数的底数），若函数与的图象恰有两个交点，则实数的取值范围是
A．或B．C．D．
【解析】由函数则函数的图象关于对称，
如图所示：
由于和函数的图象只有两个交点，
设，图象上的切点，，
所以，则，
所以曲线的切线方程为，
把代入可得，
则，结合图象，
要使图象有两个交点，则或．
故选：．
5．定义：如果函数在区间，上存在，，满足，，则称函数在区间，上的一个双中值函数，已知函数是区间，上的双中值函数，则实数的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】函数，，
函数是区间，上的双中值函数，
区间，上存在，，
满足，即方程在区间，有两个解，
令，
对称轴，
则，
解得．
实数的取值范围是．
故选：．
6．定义：如果函数在定义域内给定区间，上存在，满足，则称函数是，上的“平均值函数”， 是它的一个均值点．则下列叙述正确的个数是
①是区间，上的平均值函数，0是它的均值点；
②函数在区间，上是平均值函数，它的均值点是5；
③函数在区间，（其中上都是平均值函数；
④若函数是区间，上的平均值函数，则实数的取值范围是
A．1B．2C．3D．4
【解析】根据题意，依次分析题目中的四个结论：
对于①，若是区间，上的平均值函数，设其均值点为，
则有，解可得，即0是它的均值点，①正确；
对于②，若函数在区间，上是平均值函数，设其均值点为，
则有，解可得或（舍即5是它的均值点，②正确，
对于③，函数在区间，都是平均值函数，则恒成立，明显错误，③错误；
对于④，若函数是区间，上的平均值函数，
则关于的方程在内有实数根，
而，解得，（舍，
必有必为均值点，即，即实数的取值范围是，④正确；
其中①②④正确；
故选：．
7．若存在正实数，使得关于的方程有两个不同的根，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是
A．B．
C．，，D．，
【解析】由题意得，，
令，，
则，，
当时，（e），
当时，（e），
（e），
，
而时，，
则要满足，
解得：，
故选：．
8．已知函数，若存在，使得关于的方程有解，其中为自然对数的底数则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【解析】由可得，
即，即，
令，则方程有解．
设，则，
显然为减函数，又（e），
当时，，当时，，
在上单调递增，在上单调递减，
的最大值为（e），
，解得或．
故选：．
9．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为
A．B．C．D．1
【解析】由方程
，
令，则有．
，
令函数，，
在递增，在递减，
其图象如下，
要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且
结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，
且，，
．
．
．
故选：．
10．若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为
A．B．C．D．1
【解析】由方程，
令，则有．
，
令函数，，
在递增，在递减，
其图象如下，
要使关于的方程有3个不相等的实数解，，，且
结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，
且，
．
．
．
故选：．
11．若关于的方程有三个不相等的实数解、、，其中，，则的值为
A．B．4C．D．
【解析】令，函数的图象如下：
方程．即，
要使方程有三个不相等的实数解、、，，
则方程一定有两个实根，，
可验证或1不符合题意，
所以方程一定有两个实根，，且．
且，，
则．
．
则，
故选：．
12．已知函数若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则的取值范围是
A．B．C．D．
【解析】函数的图象如下图所示：
若关于的方程恰有三个不相等的实数解，
则函数的图象与直线有三个交点，
当直线经过原点时，，
由的导数得：，
当直线与相切时，切点坐标为：，，
当直线经过，时，，
故，
故选：．
13．已知函数，若有且仅有两个整数使得，则实数的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解析】由得，
即，
设，，
，
由得，即，
由得，即，
即当时，函数取得极大值，
当时，满足的整数解超过2个，不满足条件．
当时，要使的整数解只有2个，
则满足，即，
即，即，
即实数的取值范围是，，
故选：．
14．已知函数，若有且仅有两个整数使得，则实数的取值范围是 ．
【解析】由得，
即，
设，，
，
由得，即，
由得，即，
即当时，函数取得极大值，
当时，满足的整数解超过2个，不满足条件．
当时，要使的整数解只有2个，
则满足，即，
即，
即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
15．已知函数，是常数，且．
（Ⅰ）讨论零点的个数；
（Ⅱ）证明：，．
【解析】证明：（Ⅰ），
解得，或
①时，，若，，，若，，．有一个零点，
②时，，
由上表可知，在区间，有一个零点，
，又，
任取，，
在区间有一个零点，从而有两个零点，
③时，，在上单调递增，有一个零点，
④时，，
由上表可知，在区间有一个零点，在区间，有一个零点，从而有两个零点，
（Ⅱ）证明：取，由（1）知在上单调递增，
取，则，化简得，
取，由（1）知在区间上单调递减，
取，由得，
即，
综上，，
16．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解析】（1）由，求导，
当时，，
当，单调递减，
当时，，
令，解得：，
当，解得：，
当，解得：，
时，单调递减，，单调递增；
当时，，恒成立，
当，单调递减，
综上可知：当时，在单调减函数，
当时，在是减函数，在，是增函数；
（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，
当时，，
当时，，，
当时，，
当，，且远远大于和，
当，，
函数有两个零点，的最小值小于0即可，
由在是减函数，在，是增函数，
，
，即，
设，则，，
求导，由（1），
，解得：，
的取值范围．
方法二：（1）由，求导，
当时，，
当，单调递减，
当时，，
令，解得：，
当，解得：，
当，解得：，
时，单调递减，单调递增；
当时，，恒成立，
当，单调递减，
综上可知：当时，在单调减函数，
当时，在是减函数，在是增函数；
（2）①若时，由（1）可知：最多有一个零点，
②当时，由（1）可知：当时，取得最小值，，
当，时，，故只有一个零点，
当时，由，即，
故没有零点，
当时，，，
由，
故在有一个零点，
假设存在正整数，满足，则，
由，
因此在有一个零点．
的取值范围．
17．已知函数，．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由题，，
（1）当时，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增；
（2）当 时，，
当，时，，函数单调递增，
当，时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增；
（3）当时，恒成立，函数在上单调递增；
（4）当时，，
当时，，函数单调递增，
当，时，，函数单调递减，
当，时，，函数单调递增；
（Ⅱ）当时，，有唯一零点，不符合题意；
由（Ⅰ）知：
①当时，故时，函数单调递减，时，函数单调递增，
且时，；时，，，
函数必有两个零点；
②当 时，故，时，函数单调递增，
，时，函数单调递减，时，函数单调递增，
又，
函数至多有一个零点；
③当时，函数单调递增，函数至多有一个零点；
④当时，故时，函数单调递增，，时，函数单调递减，，时，函数单调递增，
又，函数至多有一个零点；
综上所述：当时，函数有两个零点．
18．已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围．
【解析】（Ⅰ）由，
可得，
①当时，由，可得；由，可得，
即有在递减；在递增（如右上图）；
②当时，（如右下图）若，则恒成立，即有在上递增；
若时，由，可得或；
由，可得．
即有在，，递增；
在，递减；
若，由，可得或；
由，可得．
即有在，，递增；
在，递减；
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可得当时，
在递减；在递增，
且（1），，；
当时或找到一个使得对于恒成立，
有两个零点；
②当时，，所以只有一个零点；
③当时，
若时，在，递减，
在，，递增，
又当时，，所以不存在两个零点；
当时，在，单调增，在单调增，
在，单调减，
只有等于0才有两个零点，
而当时，，所以只有一个零点不符题意．
综上可得，有两个零点时，的取值范围为．
19．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【解析】（1）的定义域为，，
①若，则，所以在上是单调递减．
②若，则由得，．
当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
（2）若，至多有一个零点，不符合题意；
若，当时，取得最小值．
①当时，，只有一个零点；
②当时，，没有零点；
③当时，．又，故在有一个零点．
设整数满足，则，故在有一个零点．
综上，的取值范围是．
20．已知函数，
当为何值时，轴为曲线的切线；
用，表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．
【解析】．
设曲线与轴相切于点，，则，，
，解得，．
因此当时，轴为曲线的切线；
当时，，
函数，，
故在时无零点．
当时，若，则（1），
（1），（1）（1），故是函数的一个零点；
若，则（1），（1），（1）（1），故不是函数的零点；
当时，，因此只考虑在内的零点个数即可．
①当或时，在内无零点，因此在区间内单调，
而，（1），当时，函数在区间内有一个零点，
当时，函数在区间内没有零点．
②当时，函数在内单调递减，在内单调递增，故当时，取得最小值．
若，即，则在内无零点．
若，即，则在内有唯一零点．
若，即，由，（1），
当时，在内有两个零点．当时，在内有一个零点．
综上可得：时，函数有一个零点．
当时，有一个零点；
当或时，有两个零点；
当时，函数有三个零点．
21．已知函数．
（1）当为何值时，轴为曲线的切线，
（2）用，表示，中的最大值，设函数，，当时，讨论零点的个数．
【解析】（1）设曲线与轴相切与点，，则，
即，，
当时，轴为曲线的切线．
（2）令，，则
，，，
由，得，
当时，，为增函数；
当，时，为减函数，
，，
①当，即时，有一个零点；
②当，即时，有两个零点；
③当，即时，有三个零点；
④当，即时，有两个零点；
⑤当，即时，有一个零点，
综上，或时，有一个零点；
当或时，有两个零点；
当，有三个零点．
22．已知函数．
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
（2）设函数，讨论在区间上零点的个数．
【解析】（1）的导数为，
设切点为，，可得，，
即，，
解得，；
（2），，，
当时，，在递增，可得
，（1），有一个零点；
当时，，在递减，，（1），在无零点；
当时，在递增，在，递减，
可得在的最大值为，
①若，即，在无零点；
②若，即，在有一个零点；
③若，即，，（1），
当时，在有两个零点；
当时，在有一个零点；
综上可得，时，在无零点；
当或时，在有一个零点；
当时，在有两个零点．
23．已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若且有两个零点，求的取值范围．
【解析】（1），，△，
①当△即时，恒成立，故在上单调递增，
②当△时，即或时，方程的两根分布为，，
当时，，，
结合二次函数的性质可知，时，，函数单调递增，
，时，，函数单调递减，
当，时，，函数单调递增，
时，，，
结合二次函数的性质可知， 0，时，，函数单调递增，
（2）因为，则，
当时，，，则，即在上单调递增且，
故在上没有零点，
因为有两个零点，
所以在时有两个零点，
，，
当时，，故在上单调递减，最多1个零点，不合题意；
当时，易得，函数在上单调递减，在，上单调递增，
又时，，时，，
故，
解可得，．
综上可得，的范围．
24．已知函数．
（1）若，求函数的极值；
（2）若函数有且仅有两个零点，求的取值范围．
【解析】解析：（1）当时，，，，
显然在单调递增，且，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
在处取得极小值，无极大值．
（2）函数有两个零点，即有两个解，即有两个解，
设，则，单调递增，
有两个解，即有两个解．
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
，，当时，
，
0
0
0
0
，
0
0