2024年高考数学第二轮专题复习专题16：卡根法专题9页

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求函数的单调区间，
（Ⅱ）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
【解析】（Ⅰ）的定义域是，，
时，，递增，
时，令，解得：，令，解得：，
故在递增，在，递减；
（2）恒成立，可得恒成立，
等价为 在恒成立．
令，只需，
，令，可得，
设，，
在递减，设的根为，当，，
当，时，，
在递增，在，递减，
即有，
由，（1），则，
此时，即，
即，
则有整数的最小值为2．
2．已知函数，．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若，，求在，上的最小值（结果用表示）；
（Ⅲ）关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
【解析】（Ⅰ），，
令，解得：，令，解得：，
故函数在递减，在，递增；
（Ⅱ）函数，，，
令，由（Ⅰ）得：在，上单调递增，
所以，，
的图象的对称轴，若，，
则，
在，上递增，
，
即在，上的最小值是；
（Ⅲ）由恒成立，
化为：，
只需，．
，
令，解得，此时函数单调递增；
令，解得，此时函数单调递减．
当时，函数取得极大值即最大值，（e），
．
整数的最小值为1．
3．已知函数，曲线在，（1）处的切线方程为．
（1）求实数，的值；
（2）如果不等式恒成立，求整数的最大值．
【解析】（1），
，
由题意可得，，
解可得，，，
（2）由可得，，
由恒成立可得，，
令，
则，
令，
则，
单调递增，而（2），（3），
所以有唯一的实数根，且，
，
，，
故的最大值3．
4．已知函数在，（1）处的切线方程为．
（Ⅰ）求实数、的值；
（Ⅱ）设，若，且对任意的恒成立，求的最大值．
【解析】（Ⅰ），
故且，解得：，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：对任意恒成立，
设，则，
令，，则，
故函数为上的增函数，
（8），，
故在上有唯一零点，即成立，
故，
当时，，即，
时，，即，
故在递减，在，递增，
故，
故，，，
，
故的最大值是4．
5．已知函数，．
（Ⅰ）函数与的图象无公共点，试求实数的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数，使得对任意的，，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，请求出最大整数的值；若不存在，请说理由．
（参考数据：，，，．
【解析】设与的图象相切，切点为，，
则，解得，．
函数与的图象无公共点，
．
假设存在实数满足题意，
则不等式在，上恒成立．
即在，上恒成立．
令，则，
，
在，上单调递增，且，（1），
存在，，使得，即，，
当，时，单调递减；当，时，单调递增，
的最小值，
，在区间，内单调递增．
，
存在实数满足题意，且最大整数的值为1．
6．已知函数，，，为自然对数的底数），且在点，（e）处的切线方程为
（Ⅰ）求实数，的值；
（Ⅱ）求证：
【解析】（Ⅰ），
（e），且（e），
又在点，（e）处的切线方程为，
切点为，
，
解得：；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，，且的定义域为，
令，
则，
令，可知在上为减函数，且，（1），
，使得，即，
当时，，，则为增函数；
当，时，，，则为减函数．
，
又，，即，
，即，
．
7．已知函数，，，为自然对数的底数），且在点，（e）处的切线方程为
（1）求实数，的值；
（2）求证：
【解析】（1），
（e），且（e），
又在点，（e）处的切线方程为，
切点为，，
解得：；
（2）证明：由（1）可知，，且的定义域为，
令，
则，
令，可知在上为减函数，且，（1），
，，使得，即，即，
当时，，，则为增函数；
当，时，，，则为减函数．
，
，即，
．
8．已知函数，．
（1）函数的图象与的图象无公共点，求实数的取值范围；
（2）是否存在实数，使得对任意的，都有函数的图象在的图象的下方？若存在，求出整数的最大值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）函数与无公共点，
等价于方程在无解（2分）
令，则，令，得
因为是唯一的极大值点，故（4分）
故要使方程在无解，
当且仅当故实数的取值范围为（5分）
（2）假设存在实数满足题意，则不等式对恒成立．
即对恒成立．（6分）
令，则，
令，则，（7分）
在上单调递增，，（1），
且的图象在上连续，
存在，使得，即，则，（9分）
当时，单调递减；
当，时，单调递增，
则取到最小值，
，即在区间内单调递增．（11分），
存在实数满足题意，且最大整数的值为1．（12分）
0
增
极大值
减