备战2024年高考数学二轮复习专题07立体几何中的最值问题(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题07立体几何中的最值问题(原卷版+解析)，共44页。试卷主要包含了最大值问题，最小值问题等内容，欢迎下载使用。

常见考点
考点一 最大值问题
典例1．如图，在中，，，为的外心，平面，且.
(1)求证：平面；
(2)设平面面，若点在线段（不含端点）上运动，当直线与平面所成角取最大值时，求二面角的正弦值.
变式1-1．如图，在正三棱柱中，，点D在边BC上，E为的中点.
(1)如果D为BC的中点，求证：平面平面；
(2)设锐二面角的平面角为，，，当取何值时，取得最大值？
变式1-2．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，，，M是棱SB的中点．
(1)求证：平面SCD；
(2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值；
(3)设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为，求的最大值.
变式1-3．如图，在正四棱锥中，点，分别是，中点，点是上的一点.
(1)证明：；
(2)若四棱锥的所有棱长为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
考点二 最小值问题
典例2．如图，在梯形ABCD中，，，，四边形BFED为矩形，，平面平面ABCD.
(1)求证：平面BDEF；
(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成的夹角为，试求的最小值.
变式2-1．如图，在中，，，，将绕边翻转至，使面面，是的中点.
(1)求二面角的平面角的余弦值；
(2)设是线段上的动点，当与所成角取得最小值时，求线段的长度.
变式2-2．如图，四棱锥的底面为矩形，底面，设平面与平面的交线为m．
（1）证明：，且平面；
（2）已知，R为m上的点求与平面所成角的余弦值的最小值．
变式2-3．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.
（1）求证：平面，平面；
（2）点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的最小值.
巩固练习
练习一 最大值问题
1．如图所示，在三棱柱中，，点在平面的射影为线段的中点，侧面是菱形，过点的平面与棱交于点．
(1)证明：四边形为矩形；
(2)求与平面所成角的正弦值的最大值．
2．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是线段AB、CD的中点，，，将沿DM翻折，在翻折过程中A点记为P点．
(1)从翻折至的过程中，求点P运动的轨迹长度；
(2)翻折过程中，二面角P−BC−D的平面角为θ，求的最大值.
3．在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，为棱上的点，且．
(1)求证：平面；
(2)若二面角的平面角的正切值为，求的长；
(3)在（2）的条件下，若为线段上一点，求与面所成角为，求的最大值．
4．如图，在直角三角形中，，斜边，直角三角形可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角，动点在斜边上.
(1)求证：平面平面；
(2)当为的中点时，求异面直线与所成角的正切值；
(3)求与平面所成角的正切值的最大值.
练习二 最小值问题
5．如图，为正方形，为直角梯形，，平面平面，且.
（1）若和延长交于点，求证：平面；
（2）若为边上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最小值.
6．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，设点在线段上运动.
（1）证明：；
（2）设平面与平面所成锐二面角为，求的最小值.
7．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.
(1)求证：AD⊥平面BFED；
(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．
8．如图，正方形边长为1，平面，平面，且（，在平面同侧），为线段上的动点．
（1）求证：；
（2）求的最小值，并求取得最小值时二面角的余弦值．
第三篇 立体几何
专题07 立体几何中的最值问题
常见考点
考点一 最大值问题
典例1．如图，在中，，，为的外心，平面，且.
(1)求证：平面；
(2)设平面面，若点在线段（不含端点）上运动，当直线与平面所成角取最大值时，求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
如图，连接，交于点，为的外心，
所以，又因为，所以，
所以，
故和都为等边三角形，可得，
即四边形为菱形，所以；
又平面、平面，
所以平面，
(2)
因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，平面平面，所以.
如图，以点为原点，分别以，所在的直线为，轴，过点垂直于面的直线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，.
因为点在线段不含端点）上运动，所以，设，
所以，设平面的法向量为，
则
可得：，令可得，所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为：，
即当时直线与平面所成角取最大值.
此时，所以，，
设平面的法向量为，
则，令，，，
所以，所以，
设二面角的平面角为，则，
所以，则二面角的正弦值为.
变式1-1．如图，在正三棱柱中，，点D在边BC上，E为的中点.
(1)如果D为BC的中点，求证：平面平面；
(2)设锐二面角的平面角为，，，当取何值时，取得最大值？
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用几何法证明，若要证明面面平行，只要证明其中一个平面中的两条相交直线平行于另一个平面即可；
（2）建立如图所示空间直角坐标系，利用法向量来求二面角的大小即可得解.
(1)
证明：在正三棱柱中，
因为D，E分别为BC，的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面，同理可证平面，
，，平面，所以平面平面；
(2)
以A为坐标原点，方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，
则即
令，得，，所以，
由，，得，
设平面的法向量为，即
令，得，，所以，
由，得，
因为锐二面角的平面角为，
所以，
令，则，故，
所以，
令，则在上单调递增，
所以在上单调递减，
当，此时，即点D与点B重合时，取得最大值.
变式1-2．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，侧棱底面ABCD，AB垂直于AD和BC，，，M是棱SB的中点．
(1)求证：平面SCD；
(2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值；
(3)设点N是线段CD上的动点，MN与平面SAB所成的角为，求的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面SCD.
（2）利用向量法求得平面SCD与平面SAB所成的角的余弦值.
（3）设出点的坐标，求得的表达式，结合二次函数的性质求得的最大值.
(1)
底面ABCD，所以，
由于，所以两两垂直，
以点A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，．
设平面SCD的法向量为，
则，，
令，得是平面SCD的一个法向量．
，，
平面，
平面SCD．
(2)
平面SAB的一个法向量为，
设平面SCD与平面SAB的夹角为，
则
平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为．
(3)
由题可设，
则．
平面SAB的一个法向量为，
，
当，即时，取得最大值，最大值为．
变式1-3．如图，在正四棱锥中，点，分别是，中点，点是上的一点.
(1)证明：；
(2)若四棱锥的所有棱长为，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）作出辅助线，证明线面垂直，进而证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解.
(1)
如图，连接SO和OE，
因为是正四棱锥，所以平面ABCD，
又因为平面ABCD，所以
因为ABCD是正方形，所以，
又因为点O，E分别是BD，BC中点，所以∥，
所以
又因为，OE、平面SOE，
所以平面SOE，
因为平面SOE，所以.
(2)
易知OB，OC，OS两两相互垂直，如图，以点O为原点，OB，OC，OS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
因为四棱锥的所有棱长为，所以，，
所以，，，，
设，得，则
，，
设平面SDE的法向量为，则
，解得，取，得，
设直线OF与平面SDE所成角为，则
，
当时，取得最小值，此时取得最大值.
考点二 最小值问题
典例2．如图，在梯形ABCD中，，，，四边形BFED为矩形，，平面平面ABCD.
(1)求证：平面BDEF；
(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成的夹角为，试求的最小值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由已知条件可得，再由平面平面ABCD，可得平面ADB，则，然后由线面垂直的判定定理可证得结论，
（2）由于，，，所以建立直线DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令，然后利用空间向量求解即可
(1)
证明，在梯形ABCD中，
∵，，，
∴，，
∴，∴.
又∵平面平面ABCD，平面平面，，
∴平面ADB，∴.
又∵，∴平面BDEF.
(2)
由（1）可知，，.
可建立直线DA，DB，DE为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，令，则
，，，，
∴，
设为平面的法向量，由，得，
取，
∵是平面的一个法向量，∴.
∵，∴当时，有最大值，∴的最小值为
变式2-1．如图，在中，，，，将绕边翻转至，使面面，是的中点.
(1)求二面角的平面角的余弦值；
(2)设是线段上的动点，当与所成角取得最小值时，求线段的长度.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）延长，过点作,垂足为，过点作,垂足为,连接,则是二面角的平面角，再解三角形即得解；
（2）连接,以为原点，由题得,以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出当=时，与所成的角最小，即得解.
(1)
解：
由题得.
所以，所以是钝角.
延长，过点作,垂足为，过点作,垂足为,连接,
则是二面角的平面角.
由题得，
所以，
所以,.
所以二面角的平面角的余弦值为.
(2)
解：连接,以为原点，由题得,以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由题得设
即,
因为
所以
令，
令
时，函数单调递增，时，，函数单调递减.
所以当=时，取最大值，此时与所成的角最小，
.
变式2-2．如图，四棱锥的底面为矩形，底面，设平面与平面的交线为m．
（1）证明：，且平面；
（2）已知，R为m上的点求与平面所成角的余弦值的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先由证明平面，再由线面平行推线线平行，可得；
由，可得平面，再由，即得证；
（2）建立空间直角坐标系，计算平面的法向量，表示与平面所成角，计算最值即得解
【详解】
（1）由题意，四棱锥的底面为矩形，可知，
又平面，平面
所以平面
又m为平面与平面的交线，且平面，故
因为底面，平面，所以，
又，且，
所以平面，
又，所以平面
（2）
由（1）可知，，，两两互相垂直，以D为坐标原点，，的方向分别为x轴，y轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系
，，，，因为点R在平面内的m上，且，所以可设
，，
设平面的法向量为，则
即可取
设与平面所成角为
则
因为当且仅当时等号成立
所以，
所以与平面所成角的余弦值的最小值为
变式2-3．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.
（1）求证：平面，平面；
（2）点在线段上运动，设平面与平面所成锐二面角为，试求的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件转化垂直关系，利用线面垂直的判断定理，即可证明；
（2）分别以直线，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，令，然后写出各点坐标，求出平面和平面的法向量，由法向量夹角与二面角的关系求得（为的函数），由函数知识可得最小值．
【详解】
解：（1）证明，在梯形中，
∵，，，
∴，，∴，∴.
∵平面平面，平面平面，平面，，
又∵，∴平面.
又四边形是矩形，∴，∴平面，∴，
∵，∴平面.
（2）由（1）可建立直线，，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，，
∴，.
设为平面的法向量，由，得，
取，则.
∵是平面的一个法向量，∴.
∵，∴当时，有最大值，∴的最小值为.
巩固练习
练习一 最大值问题
1．如图所示，在三棱柱中，，点在平面的射影为线段的中点，侧面是菱形，过点的平面与棱交于点．
(1)证明：四边形为矩形；
(2)求与平面所成角的正弦值的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)由已知线面平行的判定定理得到平面，在运用面面平行的判定与性质得四边形为平行四边形．运用线面垂直判定定理可得平面，从而得出结论.
(2) 以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系,依题意得 ，分别求解平面的法向量和的方向向量，运用线面角的向量求解方法得到答案.
(1)
取中点为，连接，．
在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面．
因为平面，且平面平面，所以．
因为在三棱柱中，平面平面，平面平面，
平面平面，所以，所以四边形为平行四边形．
在△中，因为，是的中点，所以．
由题可知平面，所以，，
因为，所以平面，
所以，所以四边形为矩形．
(2)
由（1）知，，两两垂直，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
设，，在中，，，所以，
所以，，，，则，．
因为，所以，即．
因为，所以．设平面的法向量为，
则即所以
令，则，，所以．
设与平面所成角为，
则
，
当且仅当，即时等号成立．
故与平面所成角的正弦值最大为．
2．如图，在矩形ABCD中，M、N分别是线段AB、CD的中点，，，将沿DM翻折，在翻折过程中A点记为P点．
(1)从翻折至的过程中，求点P运动的轨迹长度；
(2)翻折过程中，二面角P−BC−D的平面角为θ，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）取DM的中点E，则从翻折至的过程中，点P运动的轨迹是以点E为圆心，AE为半径的半圆，由此可求得点P运动的轨迹长度.
（2）由（1）得，连接AN，并延长交BC延长线于F，过P作，再过点O 作，则就是二面角P−BC−D的平面角θ，设，，，可得，令，运用辅助角公式和正弦函数的性质可求得最大值.
(1)
解：取DM的中点E，则从翻折至的过程中，点P运动的轨迹是以点E为圆心，AE为半径的半圆，
因为，，所以，所以点P运动的轨迹长度为.

(2)
解：由（1）得，连接AN，并延长交BC延长线于F，，折起后，有面，过P作，则面，再过点O 作，则就是二面角P−BC−D的平面角θ，
设， ，，
，
令，所以，所以，解得.
所以的最大值为.

3．在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，为棱上的点，且．
(1)求证：平面；
(2)若二面角的平面角的正切值为，求的长；
(3)在（2）的条件下，若为线段上一点，求与面所成角为，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）如图建系，设，求出、、的坐标，计算，，可证明，，由线面垂直的判定定理即可求证；
（2）设二面角的平面角为，由图知为锐角，则，所以，分别求出平面和平面的一个法向量，利用空间向量夹角公式列方程求出的值即可求解；
（3）设，则，由（2）知平面的一个法向量，利用空间向量夹角公式将表示为关于的函数，结合二次函数的性质即可求解.
(1)
因为平面，面，所以，，
因为，所以两两垂直，
如图以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
所以，，，
因为，，所以，，
即，，因为，所以平面
(2)
由（1）知：平面，取平面的法向量，
因为，，
设平面的一个法向量为，
由，取，则，，所以，
设二面角的平面角为，且为锐角，
则，所以
所以，
整理可得：，解得：，所以的长为.
(3)
由（2）知的长为，即，
因为为线段上一点，所以，设，
所以，
平面的一个法向量，
则
，
当时，最小为，
所以最大值为，
综上所述：的最大值为.
4．如图，在直角三角形中，，斜边，直角三角形可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角，动点在斜边上.
(1)求证：平面平面；
(2)当为的中点时，求异面直线与所成角的正切值；
(3)求与平面所成角的正切值的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)．
【解析】
【分析】
（1）证明为二面角的平面角，然后证明平面，得证面面垂直；
（2）取中点．连接，证明异面直线与所成角为（或其补角），在中计算其正切值；
（3）证明是与平面所成角，求出的最小值即到的距离即可得结论．
(1)
证明：因为，，所以为二面角的平面角，即，，
又，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面；
(2)
解：取中点．连接，如图，
因为是中点，所以，所以异面直线与所成角为（或其补角），
由已知，，，平面，所以平面，
而平面，所以，所以，
又，，所以，，从而，，
，
；
(3)
由（1）知平面，所以是与平面所成角，
又平面，则，
，
直角中，到上点的距离的最小值为边上的高即，
所以的最大值为．
练习二 最小值问题
5．如图，为正方形，为直角梯形，，平面平面，且.
（1）若和延长交于点，求证：平面；
（2）若为边上的动点，求直线与平面所成角正弦值的最小值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【详解】
试题分析：（1）先根据三角形中位线性质得为中点，再根据为平行四边形得，最后根据线面平行判定定理得结论,（2）利用空间向量求线面角,关键求出平面法向量:先建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组求出平面法向量,根据向量数量积求出直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值,最后根据线面角与两向量夹角之间关系求线面角正弦值,再根据自变量取值范围求最小值.
试题解析：（1）证明：在梯形PDCE中，PD＝2EC，为中点，，且AB//CF，为平行四边形，面，面，BF∥平面PAC.
（2）方法一：令点在面PBD上的射影为，直线与平面PDB所成角．
EC∥PD，所以EC平行于平面PBD，因为ABCD为正方形，所以，又因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，所以AC⊥平面PBD，所以点C到面PBD的距离为，因为EC平行于平面PBD，所以点到PBD的距离，
令，所以，所以．
方法二：建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，可知平面PDB的一个法向量为，，，
，令直线与平面PDB所成角为，
．
6．如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，设点在线段上运动.
（1）证明：；
（2）设平面与平面所成锐二面角为，求的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
（1）由平面几何知识，余弦定理可得.，再由面面垂直、线面垂直的性质可得证；
（2）由（1）可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，令，由二面角的向量求解方法可表示，由二次函数的性质可求得最值.
【详解】
（1）证明：在梯形中，因为，，，
所以，所以，
所以，所以.
因为平面平面，平面平面，
因为平面，所以平面.所以；
（2）解：由（1）可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，
令，则，，，.∴，.
设为平面的一个法向量，
由得，取，则，
∵是平面的一个法向量，
∴
∵，∴当时，有最大值，的最小值为.
【点睛】
向量法求二面角的步骤：建、设、求、算、取.
1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线;建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上。
2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标.
3、求：求出两个面的法向量.
4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；
5、取：根据二面角的范围和图示得出的二面角是锐角还是钝角,再取值.
7．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED为矩形，平面BFED⊥平面ABCD，BF＝1.
(1)求证：AD⊥平面BFED；
(2)点P在线段EF上运动，设平面PAB与平面ADE所成锐二面角为θ，试求θ的最小值．
【答案】（1）证明见解析 （2）θ最小值为60°
【解析】
【分析】
（1）在梯形ABCD中，利用勾股定理，得到AD⊥BD，再结合面面垂直的判定，证得DE⊥平面ABCD，即可证得AD⊥平面BFED；
（2）以D为原点，直线DA，DB，DE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面PAB与平面ADE法向量，利用向量的夹角公式，即可求解。
【详解】
（1）证明：在梯形ABCD中，
∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，∴AB＝2.
∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cs 60°＝3.
∴AB2＝AD2＋BD2，∴AD⊥BD.
∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，
DE⊂平面BFED，DE⊥DB，∴DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥AD，又DE∩BD＝D，∴AD⊥平面BFED.
（1）由(1)知，直线AD，BD，ED两两垂直，故以D为原点，直线DA，DB，DE分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
令EP＝λ(0≤λ≤)，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0，，0)，P(0，λ，1)，
所以＝(－1，，0)，＝(0，λ－，1)．
设n1＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，
由得，取y＝1，则n1＝(，1，－λ)．
因为n2＝(0,1,0)是平面ADE的一个法向量，
所以cs θ＝＝＝.
因为0≤λ≤，所以当λ＝时，cs θ有最大值，所以θ的最小值为60°.
【点睛】
本题考查了线面垂直关系的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
8．如图，正方形边长为1，平面，平面，且（，在平面同侧），为线段上的动点．
（1）求证：；
（2）求的最小值，并求取得最小值时二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）最小值，二面角的余弦值为．
【解析】
【分析】
法一：（1）将几何体补形为正方体，分别证明，，可得平面，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，将转化为向量的模长问题，即可求解的最小值，然后利用向量的方法求二面角即可.
法二：（1）直接建立空间直角坐标系，用证明；（2）将转化为向量的模长问题，即可求解的最小值，然后利用向量的方法求二面角即可.
【详解】
法一:（1）分别作平面，平面，取，顺次连接，，，,如图，
易得几何体为正方体，连接，∴，
∵平面，平面，
∴，又∵，
平面，平面，
∴平面，又∵平面，∴，同理可证，
又∵，平面，平面，
∴平面，∵平面，∴．
（2）∵平面，，故以为原点，，，的正方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意得，，，，，，，
∵在上，∴设（），则有
，
，
，
当且仅当时，取得最小值，
此时在平面中，，，
设平面的法向量为，则有即
设，得，，，
此时在平面中，，，
设平面的法向量为，则有
即
设，得，，，
设二面角大小为，
则，
由题意可知，为锐角，所以．
法二:（1）∵平面，，故以为原点，，，的正方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，由题意得，，，，，，，
∵在上，∴设（），则有
，
，
∵，
∴．
（2）由（1）得：
，
，
当且仅当时，取得最小值，
此时在平面中，，，
设平面的法向量为，则有即
设，得，，，
此时在平面中，，，
设平面的法向量为，则有
即
设，得，，，
设二面角大小为，
则，
由题意可知，为锐角，所以．
【点睛】
方法点睛：本题主要考查线面垂直的判定定理、利用向量的方法解决垂直问题及二面角问题，属于中档题. 利用向量法证明垂直问题的3种方法：
(1)证明线线垂直：两条直线的方向向量的数量积为0.
(2)证明线面垂直：直线的方向向量与平面的法向量平行．
(3)证明面面垂直：
①其中一个平面与另一个平面的法向量平行；
②两个平面的法向量垂直．