备战2024年高考数学二轮复习专题07数列中的恒成立与能成立问题(原卷版+解析)

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常见考点
考点一 恒成立问题
典例1．已知正项数列的前n项和为，数列的前n项和为，且.
(1)证明是等差数列；
(2)数列的前n项和为，若对任意，恒成立，求m的取值范围.
变式1-1．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
变式1-2．已知数列和满足，，.
(1)求与；
(2)设的前n项和为，若不等式，对一切都成立，求实数的最小值.
变式1-3．已知数列的前n项和为，满足，．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和，
①求；
②若不等式对任意的正整数n恒成立，求实数的取值范围．
考点二 能成立问题
典例2．在①，，，成等比数列；②；；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：已知是递增的等差数列，前n项和为，且___.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，是否存在，使得取得最大值？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
变式2-1．已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．
变式2-2．已知是等比数列的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数n，使得？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由.
变式2-3．已知正项等比数列的前项和为，是和的等差中项，且.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，且的前项和为，求使得成立的的最小值.
巩固练习
练习一 恒成立问题
1．已知数列的前n项和为Sn，满足．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若不等式2对任意的正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．
2．已知数列中，，且满足．
(1)求的值；
(2)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(3)若恒成立，求实数的取值范围．
3．已知在等比数列中，，数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若任意，恒成立，求的取值范围.
4．已知等比数列中，数列满足，且．
（1）求数列与的通项公式；
（2）记数列的前项和，数列的前n项和，若对于任意正整数，不等式恒成立，求正整数的最小值．
练习二 能成立问题
5．设等比数列的前项和为，已知是与的等差中项，且.
（1）求的通项公式.
（2）是否存在正整数，使得?若存在，请求出符合条件的所有的集合，若不存在，请说明理由.
6．已知数列和满足，，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的正整数的值.
7．已知单调递增的等比数列满足：，且是，的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求使成立的正整数的最小值．
8．已知数列的前项和为，，，公比为2的等比数列的前项和为，并且满足．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）已知，规定，若存在使不等式成立，求实数的取值范围．
第二篇 数列
专题07 数列中的恒成立与能成立问题
常见考点
考点一 恒成立问题
典例1．已知正项数列的前n项和为，数列的前n项和为，且.
(1)证明是等差数列；
(2)数列的前n项和为，若对任意，恒成立，求m的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）先求出当时，将中的换成，然后两式相减，可得，再换成，再相减可得从而可证.
（2）由（1）可知，即得到，由裂项相消法求和可得答案.
(1)
当时，，则，解得.
当时，因为，所以，
两式相减得，即.
又满足，所以，.
所以，两式相减得.
所以，又数列的各项为正数，所以，
所以是首项为1，公差为2的等差数列.
(2)
由（1）可知，，.
则，
.
所以m的取值范围为.
变式1-1．已知公差不为零的等差数列中，，且，，成等比数列，
(1)求数列的通项公式；
(2)数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据等差数列的通项公式和等比中项，建立方程，求出等差数列的公差为，进而求出数列的通项公式；
（2）根据（1）求出，根据错位相减求出，根据题意可知，再根据为偶数和奇数两种情况求解，根据数列的单调性，即可得到结果.
(1)
解：设等差数列的公差为，且，，成等比数列，
则，即，又，解得，
所以;
(2)
解：因为，
设，
①，
②，
①-②：，
，.
则，得，
当为偶数时，，又单调递增，当时，最小，
即，即；
当为奇数时,，又单调递减，当时，最大，
即，即；
所以.
变式1-2．已知数列和满足，，.
(1)求与；
(2)设的前n项和为，若不等式，对一切都成立，求实数的最小值.
【答案】(1)，；
(2).
【解析】
【分析】
(1)根据给定条件利用累加法，结合等比数列前n项和公式计算得，再借助前n项和第n项的关系推理计算作答.
(2)由(1)求出，变形给定不等式，再分奇偶讨论计算作答.
(1)
依题意，当时，，则
，
而满足上式，故有；
，，当时，，
两式相减得：，则，而，满足上式，即有，
所以，.
(2)
由(1)知，，
两边同乘-2得：，
两式相减得：，
，由得：，
依题意，对一切，都成立，
当n为正奇数时，，而数列是递增数列，当时，，则，
当n为正偶数时，，解得，因此，，
所以实数的最小值.
变式1-3．已知数列的前n项和为，满足，．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，为数列的前n项和，
①求；
②若不等式对任意的正整数n恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)证明见解析，
(2)①；②
【解析】
【分析】
（1）由得到，即可得到，从而得证，即可求出的通项公式，从而得到的通项公式；
（2）①由（1）可得，再利用错位相减法求和即可；
②利用作差法证明的单调性，即可得到，即可得到，再解一元二次不等式即可；
(1)
证明：由，，当时，可得，解得，
当时，，
又，两式相减得，
所以，所以，即，
则数列是首项为，公比为的等比数列；
所以，所以
(2)
解：①由（1）可得，所以，所以，所以，所以
整理得
②由①知，所以，即单调递增，所以，因为不等式对任意的正整数n恒成立，所以，即，解得或，即
考点二 能成立问题
典例2．在①，，，成等比数列；②；；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.问题：已知是递增的等差数列，前n项和为，且___.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，是否存在，使得取得最大值？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1).
(2)存在，，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据所选条件，利用等比中项的性质求基本量，写出通项公式；应用等差数列通项公式，结合已知求基本量，写出通项公式；根据关系求通项公式.
（2）根据所得通项公式可知有，有，由题设讨论确定的值及符号，即可判断存在性.
(1)
是递增的等差数列，若公差为，
选①：，则，可得.
∴.
选②：，可得 ，
∴.
选③：当时，，
又，显然符合通项公式.
∴.
(2)
由（1）知：，可得，
∴当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，.
综上，存在，使得取得最大值.
变式2-1．已知等差数列中，公差，，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由题中条件，列出方程组求解，得出首项和公差，即可得出通项公式；
（2）根据裂项相消的方法，先求出，得出，求出的最大值，即可得出结果.
【详解】
（1）由题意可得即
又因为，所以所以．
（2）∵，
∴．
∵存在，使得成立．
∴存在，使得成立．
即存在，使得成立．
∵（当且仅当时取等号）．
∴，即实数的取值范围是．
【点睛】
结论点睛：
裂项相消法求数列和的常见类型：
（1）等差型，其中是公差为的等差数列；
（2）无理型；
（3）指数型；
（4）对数型.
变式2-2．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）是否存在正整数n，使得？若存在，求出符合条件的n的最小值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）.（2）存在，最小值为
【解析】
【分析】
（1）根据条件列关于首项与公比的方程组，解得首项与公比，代入等比数列通项公式即可；
（2）先求和项，再根据奇偶讨论化简不等式，即得结果.
【详解】
（1）设等比数列的公比为q，则.
由题意得
即
解得
故数列的通项公式为.
（2）由（1）有.
假设存在，使得则
即
当为偶数时，，上式不成立；
当为奇数时，即
解得
综上，存在符合条件的正整数，最小值为11.
【点睛】
本题考查等比数列通项公式、等比数列求和公式、解数列不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
变式2-3．已知正项等比数列的前项和为，是和的等差中项，且.
(1)求的通项公式；
(2)若数列满足，且的前项和为，求使得成立的的最小值.
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
(1)由条件转化为首相和公比的等式，求得首项和公比，再求通项公式；
（2）由等差和等比数列的前项和，转化不等式为，
(1)
，
∵，∴，
∴，.∴，
(2)
.
，，数列为单调递增，
当时，.
当时，.
∴.
巩固练习
练习一 恒成立问题
1．已知数列的前n项和为Sn，满足．
(1)求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；
(2)若不等式2对任意的正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．
【答案】(1)证明见详解；
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用得，变形得，则可证明等比数列，根据等比数列的通项公式可得答案；
（3）令，通过计算的正负，求出的最大值，将题目转化为，解不等式即可.
(1)
①
②
①-②得，即，
变形可得，
又，得
故数列是以-1为首项，为公比的等比数列，
由等比数列的通项公式可得，
.
(2)
令，则
当或时，，
当时，
又，，
因为不等式对任意的正整数恒成立，
，解得.
2．已知数列中，，且满足．
(1)求的值；
(2)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(3)若恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)证明见解析；
(3)
【解析】
【分析】
（1）令时代入递推公式可求解；
（2）利用等差数列的定义进行证明，得到公差为1，首项为2，写其通项公式；
（3）由题意化简得，求出的最值便可求出的范围.
(1)
解：由题意得：
(2)
为常数
数列是首项为2，公差为1的等差数列
(3)
令，
当时，，递增
当时，，递减
当或n=3时，有最大值
3．已知在等比数列中，，数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，若任意，恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知求出的公比即可得出通项公式，再由即可求出的通项公式；
（2）利用错位相减法求出，记，可得数列递增，求出的最小值即可.
【详解】
(1)设公比为，，
则，解得，.
，
当时，，
当时，，即.
∴；
（2）当时，，，
两式相减得：.
又，∴，有，
，
记，则，
∴，
∴数列递增，其最小值为.
故.
4．已知等比数列中，数列满足，且．
（1）求数列与的通项公式；
（2）记数列的前项和，数列的前n项和，若对于任意正整数，不等式恒成立，求正整数的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）首先令、，求出，即可求出等比数列的通项公式，再作差即可得到的通项公式；
（2）首先求出，，即可求出与，依题意可得不等式恒成立，所以，即可求出参数的范围，即可得解；
【详解】
解：（1）因为①，，
当时，，所以
当时，，所以，所以，所以，所以，
当时，②；
①-②得，因为，所以，当，也成立；所以
（2）由（1）可得，所以，即
又，所以 ，因为对于任意正整数，不等式恒成立，所以对于任意正整数，不等式恒成立，所以，即，又因为为正整数，所以的最小值为
练习二 能成立问题
5．设等比数列的前项和为，已知是与的等差中项，且.
（1）求的通项公式.
（2）是否存在正整数，使得?若存在，请求出符合条件的所有的集合，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】
【分析】
（1）根据是与的等差中项，所以，求得，即可得解；
（2）由（1）先求得，解不等式，即，分为偶数时和为奇数进行讨论即可得解.
【详解】
（1）设的公比为，显然
由题意得，解得或（舍去）.
所以.
（2）由（1）知，
要使，即，
当为偶数时，无解;
当为奇数时，即则，
综上所述，存在符合条件的正整数，所有符合条件的的集合为.
6．已知数列和满足，，且.
（1）求数列和的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求满足的正整数的值.
【答案】（1），；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得的通项公式，即可得出的通项公式，利用裂项求和法可求得的通项公式；
（2）利用错位相减法结合分组求和法可求得，根据已知条件可得出关于的二次不等式，结合可得出的取值.
【详解】
（1）对任意的，，则，且，
所以，数列是等比数列，且首项和公比均为，
故，，
因为，
所以，
；
（2）设数列的前项和为，
则，
所以，，
上式下式，得，
所以，，
，
则，
由可得，
整理可得，解得，
因为，故或.
7．已知单调递增的等比数列满足：，且是，的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，，求使成立的正整数的最小值．
【答案】（1）；（2）5.
【解析】
【分析】
（1）设等比数列的首项为，公比为，代入已知条件可求得后得通项公式；
（2）求出，用错位相减法求得，再解不等式可得．
【详解】
（1）设等比数列的首项为，公比为．
依题意，有，代入，可得，
，
解之得或
又数列单调递增，
所以，，
数列的通项公式为．
（2），
，①
，②
②－①，得．
即，即．
易知：当时，，
当时，，
使成立的正整数的最小值为．
8．已知数列的前项和为，，，公比为2的等比数列的前项和为，并且满足．
（Ⅰ）求数列，的通项公式；
（Ⅱ）已知，规定，若存在使不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由递推式，令求，写出的通项公式及，结合已知条件求通项公式.
（Ⅱ）应用裂项求和求，即有，进而求的范围．
【详解】
（Ⅰ）由题设，，即，可得，又等比数列的公比为2，
∴，故，即，
当时，，即，
当时，，
∴上有，即，而，
∴是常数列且，即；
（Ⅱ）由题意，，
∴，对有解，则，
令，故，
∴当时，；当时，，知：为的最小项，
∴．
【点睛】
关键点点睛：第二问，利用裂项求和求，将有解问题转化为，利用数列的性质求最小项，即可得参数范围.