备战2024年高考数学二轮复习专题07利用导数处理双变量问题(原卷版+解析)

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常见考点
考点一 双变量问题
典例1．已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）已知为函数的两个极值点，求的最大值．
变式1-1．已知函数（为常数）.
（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；
（2）若函数存在两个极值点，，且，求的范围.
变式1-2．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）函数有两个不同的极值点，求的取值范围.
变式1-3．已知函数有两个零点，.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：.
典例2．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在上的最大值；
（3）若存在，使得，证明：.
变式2-1．已知函数在时取得极值且有两个零点.
（1）求的值与实数的取值范围；
（2）记函数两个相异零点，求证：.
变式2-2．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：，，.
16．已知函数，且是函数的导函数，
(1)求函数的极值；
(2)当时，若方程有两个不等实根．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：．
巩固练习
练习一 双变量问题
1．已知函数
(1)当，研究的单调性；
(2)令，若存在使得，求证.
2．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，（）是的两个零点，是的导函数，证明：.
3．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且，证明：.
4．已知函数.
(1)若在定义域上单调递增，求ab的最小值；
(2)当，，有两个不同的实数根，，证明：.
5．已知函数．
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若函数存在两个不同的零点，证明：．
6．设，是函数的两个极值点，其中，．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若，求的最大值（注：e是自然对数的底数）
7．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)设存在两个极值点，且，若，求证：.
8．已知函数（），.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，若函数有两个极值点，（），求证：.
第六篇 导数
专题07 利用导数处理双变量问题
常见考点
考点一 双变量问题
典例1．已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）已知为函数的两个极值点，求的最大值．
【答案】（1）在和单调递增，单调递减；（2）.
【解析】
【分析】
（1）当时，求出导函数，利用导数求单调区间；
（2）先由为函数的两个极值点，得到，令，则由，求出；
对于换元后得到利用导数判断单调性，求出最大值即可.
【详解】
定义域为.
（1）当时，
令，
当时，；
当时，，
∴在和单调递增，单调递减．
（2）由题得，
因为为函数的两个极值点，则为方程的两个实根，∴，所以
∴，∴，
所以令，则有，∴，∴
对于，
令则
当时，有；当，有，
所以在为增函数，时为减函数，所以
所以y有最大值为．
【点睛】
（1）函数的单调性与导数的关系：
已知函数在某个区间内可导，①如果>0，那么函数在这个区间内单调递增；如果<0，那么函数在这个区间内单调递减；②函数在这个区间内单调递增，则有；函数在这个区间内单调递减，则有；
（2）对二元变量类问题常见的处理方法：①变量分离，构造同构的形式，构造新函数；②整体换元，建立新函数.
变式1-1．已知函数（为常数）.
（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；
（2）若函数存在两个极值点，，且，求的范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）求出，解不等式即得解；
（2）求导得到韦达定理，再化简，设，求出的最值即得解.
【详解】
（1）∵，
∴只要，即时恒成立，在定义域上单调递增.
（2）由（1）知有两个极值点则，
的二根为，
则，，
，
设，又，∴.
则，，
∴在递增，.
即的范围是.
【点睛】
方法点睛：关于双变量的问题，一般转化成单变量的函数问题来解决.本题就是把双变量的化成关于的函数再来解答.
变式1-2．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）函数有两个不同的极值点，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）对求导，切线斜率为，再求切点坐标，利用点斜式即可写出切线方程；
（2）由题意可得，是方程的两个不等式的实根，等价于，是方程的两个根，由根与系数的关系可得，，将转化为关于的函数，再利用单调性求最值即可求解.
【详解】
（1）由题意知，因为，
所以，，
所以所求切线方程为，即；
（2）由（1）知，
因为是的两个不同的极值点，
所以，是方程的两个根，可得，，，
易得，所以
，
，，
，因为可得，
所以，在单调递减，
，
所以在上单调递减，，
从而的取值范围为.
【点睛】
方法点睛：求曲线切线方程的一般步骤是
（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；
（2）由点斜式求得切线方程.
变式1-3．已知函数有两个零点，.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）写出函数定义域并求导，从而得到函数的单调性，根据单调性得到函数的最大值，要使有两个零点，只需最大值即可.
（2）函数有两个零点，，可得，两式相减得，
欲证，即证，设，构造函数，通过函数的单调性即可得到证明.
【详解】
（1）函数定义域为，.
令得，可得在上单调递增，在上单调递减，
又时，，时，，
故欲使有两个零点，只需，即.
（2）证明：不妨设，则由（1）可知，
且，两式相减可得.
欲证，即证，
设，则即证，
构造函数，
则，
所以在上单调递增，故，
所以，原不等式得证.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的零点，单调性以及最值问题，考查利用变量集中的思想解决不等式的证明，考查构造函数的思想，属于中档题.
典例2．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数在上的最大值；
（3）若存在，使得，证明：.
【答案】（1）增区间为，减区间为；
（2）；（3）见解析
【解析】
（1）利用导数证明单调区间即可；
（2）讨论区间端点的大小关系，确定在的单调性，即可得出其最大值；
（3）由有两个零点，得出，进而得出的取值范围，根据，由不等式的性质得出，由得出，，进而得出，结合，即可证明.
【详解】
（1）
，
的增区间为，减区间为.
（2）当即时，函数在上单调递增
当即时，函数在上单调递增，在上单调递减
当即时，函数在上单调递减
综上：.
（3）当有两个零点必有
∴，∴
∴，∴，即
又，
∴，
得证.
【点睛】
本题主要考查了利用导数求函数的单调性以及最值，利用导数研究双变量问题，属于中档题.
变式2-1．已知函数在时取得极值且有两个零点.
（1）求的值与实数的取值范围；
（2）记函数两个相异零点，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先对函数求导，根据极值点求出，得到函数解析式，再由有两个零点，得到方程有2个不同实根，令，根据导数的方法研究单调性与最值，即可求出的取值范围；
（2）利用函数零点的性质，结合函数单调性和导数之间的关系，进行转化即可证明不等式.
【详解】
（1）因为，所以，
又在时取得极值，所以，即；
所以，
因为有两个零点，所以方程有2个不同实根，
令，则，
由得；由得；
所以函数在上单调递增；在上单调递减，
所以，又时，；时，；
因此，要使方程有2个不同实根，只需与有两不同交点，
所以；
（2）因为函数两个相异零点，所以，①；
即，即②；
又等价于，即③；
由①②③可得；
不妨令，则，
上式可化为；
设，则在上恒成立；
故函数在上单调递增；
所以，即不等式成立；
因此，所证不等式成立.
【点睛】
本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性、极值、最值等，属于常考题型.
变式2-2．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：，，.
【答案】（1）单调递减区间，单调递增区间为；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出，令和可得答案.
（2）即证明：,设，可得为上的减函数，可得，从而得证.
【详解】
解：（1）由，则，，
，
令，解得；令，解得.
所以函数的单调递减区间，单调递增区间为.
（2）证明：，要证明.
即证明：.
即证明：.
令，，且.
，所以函数在上单调递减，
则，由，则，
所以，
即：，，成立.
【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数求函数的单调区间和利用导数证明不等式，解答本题的关键是设，求出其导数得为上的减函数，从而，，属于中档题.
16．已知函数，且是函数的导函数，
(1)求函数的极值；
(2)当时，若方程有两个不等实根．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）证明：．
【答案】(1)极小值为，没有极大值．
(2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出函数的定义域和，利用导数研究函数的单调性，然后确定极值；
（2）（ⅰ）将不等式等价变形，进行比值换元，构造函数，利用导数证明；（ⅱ）由，是方程的两个不等实根，得到同构方程，两方程相减转化，利用（ⅰ）的结论和重要不等式进行推理证明．
(1)
由题意可知函数的定义域为．
由，
所以．
令，解得．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数有极小值为，函数没有极大值．
(2)
（ⅰ）由题意，，
因为．
设，则,，
构造函数，则．
当时，，所以函数在上单调递减，
故，所以．
（ⅱ）因为当时，方程有两个不等实根，
所以
即
两式相减得，
所以．
由（ⅰ）得．
由重要不等式得，
所以，
即，所以，
所以，
所以，即．
因为，
所以，所以．
故由（Ⅰ）得
【点睛】
方法点睛：1、对于不等式的证明，需要构造函数，然后转化为的求函数的最值问题；
2、对于双变量问题，需要通过换元法，转化为单变量问题.
巩固练习
练习一 双变量问题
1．已知函数
(1)当，研究的单调性；
(2)令，若存在使得，求证.
【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，由的正负确定单调区间；
（2）求出，，由导数确定的单调性，函数的变化趋势，从而得出的范围，由的关系，设，把都用表示，则可表示的函数，同样利用导数得出新函数是增函数，得出，再由对数函数的性质得证不等式成立．
(1)
，，在上单调递增，且，所以时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增；
(2)
，（），
时，递增，时，，递减，
时，，
存在使得，则，令，，
，令，
则，在上单调递增，，，
，，.
2．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，（）是的两个零点，是的导函数，证明：.
【答案】(1)当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当时，f（x）在（0，）上单调递增；在（）上单调递减.
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求定义域，求导，对a进行分类讨论，求出不同情况下的的单调性；（2）利用方程组得到，问题转化为恒成立，换元后构造函数求出函数单调性及最值，从而得到证明.
(1)
f（x）的定义域为（0，+∞）,.
（i）当时，，f（x）在（0，+∞）上单调递增，.
（ii）当时，令，得，则f（x）在（0，）上单调递增；
令，得，则f（x）在（）上单调递减.
综上：当时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当时，f（x）在（0，）上单调递增；在（）上单调递减.
(2)
证明：因为，是f（x）的两个零点，所以，
两式相减得：，即，
.
因为f（x）有两个零点，所以f（x）不单调，则，
要证，只需证，
即证.
令，则，所以只需证，
即证.
令，则，
设，则，所以在上单调递减，
，则在（1，+∞）上单调递减，从而，
则，故.
【点睛】
对于多元问题，要能转化为单元问题，通常情况下会由对数的运算性质进行转化，另外会构造新函数进行求解.
3．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且，证明：.
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)求导并通过导数的正负讨论f(x)的单调性；
(2)换元，将问题转化为即可.
(1)
函数定义域为，
，
①当时，在上恒成立，即函数的单调递减区间为
②当时，，解得，当时，，
函数的单调递增区间为，
当时，函数的单调递减区间为，
综上可知：
①当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间；
②当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为
(2)
依题意，是函数的两个零点，
设，因为，
，，
不等式，
，所证不等式即
设，令，
则，在上是增函数，且，
所以在上是增函数，且，
即，从而所证不等式成立.
【点睛】
本题关键是换元，结合已知条件可将双变量转换为单变量问题求解.
4．已知函数.
(1)若在定义域上单调递增，求ab的最小值；
(2)当，，有两个不同的实数根，，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导得二次不等式，根据二次不等式的恒成立列式计算；
（2）将有两个不同的实数根，转化为，是方程的两个根，利用韦达定理得，进而通过换元，将转化为关于的函数，利用导数研究其最值即可.
(1)
恒成立，即恒成立，
，所以，
，即ab的最小值为.
(2)
有两个不同的根，，则，是方程的两个根，
所以，，
所以，，.
，
令，
，
在单调递增，
所以，
令，
在上单调递增，
所以，
所以，
即.
【点睛】
方法点睛：1.对于证明题，我们可以构造函数，转化为函数的最值来研究；2.含双变量的问题，要通过计算转化为一个变量的问题来解答.
5．已知函数．
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若函数存在两个不同的零点，证明：．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先对函数进行求导，然后对a进行分类讨论，便可得到函数零点的个数;
（2）利用（1）的结论，便可知函数在时有两个零点，再构造一个新函数，可将双变量变为单变量，对该新函数进行研究即可.
(1)
因为
①当，，函数在区间单调递增，
（i）时，函数在上无零点；
（ii），由时，，，
∴在只有一个零点；
②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；（注意时，，时，）
所以，
（i）即时，无零点；
（ii），即时，只有一个零点；
（iii）即时，有两个零点；
综上所述，当或时，在只有一个零点；当时，无零点；当时，有两个零点；
方法二：时，函数在上无零点；
时，由，令，则，
由，
则时，单调递增，
时，单调递减，
则，
做出简图，由图可知：
（注意：时，，时）
当或，即或时，只有一个根，
即在只有一个零点；
当时，即时，有两个根，即在有两个零点；
当时，即时，无实根，即在无零点；
综上所述，当或时，在只有一个零点；
当时，无零点；
当时，有两个零点；
(2)
由（1）可知时，有两个零点，设两个零点分别为，且，
由，即，
所以，
即
要证明，即证，需证，
再证，然后证，
设，则，即证，即，
令，
则，
故函数在上单调递增，所以，即有，
所以．
6．设，是函数的两个极值点，其中，．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若，求的最大值（注：e是自然对数的底数）
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）对求导，令并结合函数定义域、根与系数关系、判别式列不等式求参数范围.
（2）由（1）可得，根据已知求的范围，应用换元法令，构造并利用导数求最大值即可.
(1)
∵且，
∴，令，则，
∴，可得．
(2)
，
由（1）可得：，
所以，
∵，即，
∴，由对勾函数性质有，
令，则
令，则，
∴在上单调递减，则，
∴.
7．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)设存在两个极值点，且，若，求证：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先把函数进行求导并进行化简，由题意知，，在对进行讨论即可得到答案.
（2）由（1）知在时，存在两个极值点，利用韦达定理求出的关系式，并用分别表示出和，把代入中进行化简，，所以可以求出最小值，即可证出.
(1)
由题意可知，，
当时，，则在是单调递增；
当时，若，即时，
若，即时，和时，时，，
综上，时，在是单调递增；时，在和递增，在递减
(2)
由题意可设，是的两个根，
则
（用分别表示出和）
，整理，得
，此时
设，求导得
恒成立，
在上单调递减，
8．已知函数（），.
（Ⅰ）讨论函数的单调性；
（Ⅱ）当时，若函数有两个极值点，（），求证：.
【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先对函数求导，并对参数的取值范围分类讨论，再利用导数研究函数的单调性即可；
（Ⅱ）先确定存在极值点的条件，再利用韦达定理对进行化简，然后构造函数求其最大值并比较即可得出结论.
【详解】
解：（Ⅰ）函数（）的定义域为，，
当时，，
∴函数在上单调递增；
当时，令，，
显然这两个图象有一个交点.
不妨令，
则当时，，
即，
∴函数在上单调递减；
当时，，即，
∴函数在上单调递增.
综上所述：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.
（Ⅱ）证明：，
则，
此时，是方程的两根，
且，解得.
由韦达定理得，，
∴
.
令（），
则.
令，
则.∵，∴，
∴函数在上单调递减，
∴.
∵，∴，
∴，∴.
【点睛】
（1）在判断导函数的正负时，要对进行讨论，分拆为，两个简单的函数来判断.
（2）将，通过，代换为，减少变量个数，转化为关于的函数来求解是这个题目的关键所在.