备战2024年高考数学二轮复习专题08独立性检验(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题08独立性检验(原卷版+解析)，共46页。试卷主要包含了独立性检验等内容，欢迎下载使用。
常见考点
考点一 独立性检验
典例1．在2021年的一次车展上，某国产汽车厂家的一个品牌推出了1.5升混动版和纯电动版两款车型，自这两款车型上市后，便获得了不错的口碑，汽车测评人老李通过自媒体平台，分8个指标对这两款车型进行了综合评测打分（满分：5分），如图所示：
(1)求综合评测分数的平均值；从上图8个指标中任选1个，求指标分数为4.93的概率；
(2)老李对两款车型的车主的性别作了统计，得到数据如下2×2列联表：
请将上述列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为喜欢哪款车型和性别有关．
附：，其中．
变式1-1．数字人民币是由中国人民银行发行的数字形式的法定货币，由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价．为了进一步了解普通大众对数字人民币的认知情况，某机构进行了一次问卷调查，统计结果如下：
(1)如果将高中及以下学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的列联表；
(2)根据（1）中所得列联表，判断是否有的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？
附：，其中．
变式1-2．某校开展党史知识竞赛.现从参加竞赛活动的学生中随机抽取了n名学生，将他们的比赛成绩（满分为100分）分为6组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求a的值；
(2)估计这n名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
(3)活动规定：竞赛成绩位于60分以下为不及格，不低于80分为“优秀”，若抽取的学生中成绩不及格的有15人.请将下面的2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为“比赛成绩是否优秀与性别有关”？
参考公式及数据：，.
变式1-3．某科研机构为了研究喝酒与糖尿病是否有关，对该市名成年男性进行了问卷调查，并得到了如下列联表，规定“”平均每天喝以上的”为常喝.已知在所有的人中随机抽取人，患糖尿病的概率为.
(1)请将上表补充完整，并判断是否有的把握认为糖尿病与喝酒有关？请说明理由；
(2)已知常喝酒且有糖尿病的人中恰有两名老年人，其余为中年人，现从常喝酒且有糖尿病的这人中随机抽取人，求恰好抽到一名老年人和一名中年人的概率.
参考公式及数据：，.
典例2．2021年9月3日，教育部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国学生体质与健康调研结果.根绝调研结果数据显示，我国大中小中学的健康情况有了明显改善，学生总体身高水平也有所增加.但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有一定程度上升，大学生整体身体素质也有所下滑.某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如下：
附：.
(1)根据所给数据，完成下面列联表，并据此判断：能否有95%的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有关.（注：体质测试成绩为优秀、良好或及格则体质达标，否则不达标）
(2)体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男、女生体质测试成绩优良的频率视为该市男、女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成绩优良人数为，求的分布列及数学期望.
变式2-1．第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至20日在北京举行.践行“绿色奥运､科技奥运､人文奥运”理念，举办一届“有特色､高水平”的奥运会，是中国向世界的庄严承诺.为宣传北京冬奥会，某市开展了冬奥知识竞答活动.从参与的市民中随机抽取100人，统计他们的竞答成绩得到下面的列联表（单位：人）.
(1)完成列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为该市参与此次冬奥知识竞答的市民的成绩与性别有关？
(2)将频率视为概率，从该市所有参与冬奥知识竞答的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中成绩合格的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差.
参考公式：
变式2-2．从某地区高中二年级学生中随机抽取质量监测数学得分在120分以下和120分以上（含120分）的学生各250名作为样本（全体高二学生均参加监测），分别测出他们的注意力集中水平得分，统计如下表.
(1)若将学生在质量监测中数学得分在120分以上（含120分）定义为数学成绩优秀，将学生注意力集中水平得分在500分以上（含500分）称为注意力集中水平高；试问：能否有99%以上的把握认为数学成绩优秀与注意力集中水平高有关？
(2)若将上述样本的频率视为概率，现从该地区所有高二学生中随机抽取100人，设抽取到的数学得分在120分以上（含120分）且注意力集中水平得分在500分以上（含500分）的人数为随机变量，求的数学期望.
参考公式：，其中
变式2-3．在2021年的一次车展上，某国产汽车厂家的一个品牌推出了1.5升混动版和纯电动版两款车型，自这两款车型上市后，便获得了不错的口碑，汽车测评人老李通过自媒体平台，对市场上这个品牌汽车车主的性别情况进行了调查统计.
(1)统计数据得到如下列联表：
请将上述列联表补充完整，并判断是否有99.9％的把握认为喜欢哪款车型和性别有关；
(2)若两款汽车的操控性能优秀率均为，动力性能优秀率均为，老李又对这两款车型进行操控性能和动力性能测试（假设进行的各项测试之间互相不影响），求两款车型的这两项测试中恰有2项指标优秀的概率.
附：，其中.
巩固练习
练习一 独立性检验
1．每年的六、七月份，我国长江中下游地区进入梅雨季节，如图是江南某镇2012~2021年梅雨季节的降雨量（单位：mm）的频率分布直方图．
(1)请用样本平均数估计该镇明年梅雨季节的降雨量；
(2)该镇某杨梅种植户统计了他种植的某品种杨梅在2012~2021年的亩产量（单位：kg），得到如下列联表（部分数据缺失），依据的独立性检验，能否认为该品种杨梅的亩产量与降雨量有关？（完善列联表，并说明理由）
单位：年
2．某航空公司规定：国内航班（不构成国际运输的国内航段）托运行李每件重量上限为50kg，每件尺寸限制为40cm×60cm×100cm，其中头等舱乘客免费行李额为40kg，经济舱乘客免费行李额为20kg．某调研小组随机抽取了100位国内航班旅客进行调查，得到如下数据：
(1)请完成如下的2×2列联表，依据的独立性检验，能否认为托运行李重量与乘客乘坐的机舱等级有关？
单位：人
(2)调研小组为感谢参与调查的旅客，决定从托运行李重量超出免费行李额且不超出10kg的旅客中（其中女性旅客4人）随机抽取4人，对其中的女性旅客赠送“100元超额行李补助券”，记赠送的补助券总金额为X元，求X的分布列与均值．
附：
参考公式：，．
3． “双十一”已经成为网民们的网购狂欢节，某电子商务平台对某市的网民在今年“双十一”的网购情况进行摸底调查，用随机抽样的方法抽取了100人，其消费金额（百元）的频率分布直方图如图1所示：
(1)利用图1，求网民消费金额的平均值和中位数；
(2)把下表中空格里的数填上，能否有的把握认为网购消费与性别有关.
附表：
参考公式：χ2＝.
4．网课是一种新兴的学习方式，它以互联网为平台，为学习者提供包含视频、图片、文字等多种形式的系列学习课程，由于具有方式多样，灵活便捷等优点，成为许多学生在假期实现自主学习的重要手段．为了调查A地区高中生一周网课学习的时间，随机抽取了500名上网课的学生，将他们一周上网课的时间（单位：h）按分组，得到频率分布直方图如图所示．
(1)求a的值，并估计这500名学生一周上网课时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)为了了解学生与家长对网课的态度是否具有差异性，研究人员随机抽取了200人调查，所得数据统计如下表所示，判断是否有的把握认为学生与家长对网课的态度具有差异性．
附：，其中．
5．2022年2月1日是春节，百节年为首，春节是中华民族最隆重的传统佳节，它不仅集中体现了中华民族的思想信仰、理想愿望、生活娱乐和文化心理，而且还是祈福攮灾、饮食和娛乐活动的狂欢式展示．为调查某地从外地工作回来过年的市民（以下称为“返赣人员”）人数情况，现对某一区域的居民进行抽样调查，并按年龄（单位：岁）分成五组，得到如图所示的频率分布直方图，其中年龄在内的人数为10．
(1)请根据样本数据补充完成列联表，并判断是否有99.9%的把握认为是否是从外地回来过年与性别相关；
(2)据了解，该地区今年返赣人员占．现从该社区居民中随机抽取3人进行调查，记X为这3人中今年是返赣人员的人数，求X的分布列与数学期望．
参考公式：，其中．参考数据：
6．受新冠肺炎疫情的影响，各地推出务工人员就地过年的鼓励政策．某市随机抽选了100名男务工人员和100名女务工人员，调查他们是否有就地过年的意愿，结果如下：
(1)能否有99.9%的把握认为务工人员就地过年的意愿与性别有关?
(2)若用频率估计概率，从该市所有女务工人员中随机抽取3人进行深入调查，表示抽取的女务工人员无就地过年的意愿的人数，求的分布列与数学期望．
附：，其中．
7．2021年1月以来，教育部相继出台文件，对中小学生手机、睡眠、读物、作业、体质管理作出规定．为了在“控量”的同时力求“增效”，提高作业质量，某学校计划设计差异化作业．因此该校对初三年级的400名学生每天完成作业所需时间进行统计，部分数据如下表：
单位：人
(1)求x，y，z的值，并根据题中的列联表，依据小概率值的独立性检验，判断是否可以认为完成作业所需时间在90分钟以上与性别有关；
(2)学校从完成作业所需时间在90分钟以上的学生中用分层随机抽样的方法抽取9人了解情况，甲老师再从这9人中选取3人进行访谈，求甲老师选取的3人中男生人数大于女生人数的概率．
附：
参考公式：，．
8．2022年是奥运会，我国北京和张家口联合承办第二十四届冬季奥运会，本届冬奥会共设7个大项（滑雪、滑冰、冰球、冰壶、雪车、雪橇、冬季两项）、15个分项（高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪、北欧两项、短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶、雪车、钢架雪车、雪橇、冬季两项）共计109个小项.某校为了调查学生是否喜欢冬季冰雪运动与性别有关，在高三年级特选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的列联表：
已知从这200名学生中随机抽取1人，这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8，表格中，.
(1)完成列联表，并判断是否有90%的把握认为喜欢冰雪运动与性别有关；
(2)从上述喜欢冰雪运动的学生中用分层抽样的方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用表示3人中女生的人数，求的分布列及数学期望.
参考公式及数据：，其中.
混动版
纯电动版
合计
男
25
女
15
60
合计
70
0.10
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
小学及以下
初中
高中
大学专科
大学本科
硕士研究生及以上
不了解数字人民币
35
35
80
55
64
6
了解数字人民币
40
60
150
110
140
25
低学历
高学历
合计
不了解数字人民币
了解数字人民币
合计
800
0.050
0.010
0.001
K
3.841
6.635
10.828
优秀
不优秀
合计
男生
40
女生
50
合计
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
常喝
不常喝
合计
有糖尿病
无糖尿病
合计
优秀
良好
及格
不及格
男生
100
200
780
120
女生
120
200
520
120
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
达标
不达标
合计
男生
女生
合计
成绩合格
成绩不合格
合计
男性
40
50
女性
20
合计
0.10
0.05
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
数学得分
注意力集中水平得分
120分以下
120分以上（含120分）
500分以上（含500分）
100
180
500分以下
150
70
0.025
0.010
0.005
0.001
5.024
6.635
7.879
10.828
混动版
纯电动版
合计
男
25
女
15
60
合计
70
0.10
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
亩产量
降雨量
合计