备战2024年高考数学二轮复习专题08立体几何中的体积表面积问题(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题08立体几何中的体积表面积问题(原卷版+解析)，共36页。试卷主要包含了体积问题，表面积问题等内容，欢迎下载使用。

常见考点
考点一 体积问题
典例1．已知长方体，，分别为和的中点，．
(1)求三棱锥体积；
(2)求证：平面平面．
变式1-1．在五面体EF﹣ABCD中，正方形CDEF所在平面与平面ABCD垂直，四边形 ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝AB．
(1)求证：AC⊥BF；
(2)若三棱锥A﹣BCE的体积为，求线段AB的长．
变式1-2．如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点.
(1)证明：；
(2)若是边长为2的等边三角形，点E在棱AD上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
变式1-3．如图①，在平面五边形SBCDA中，ADBC，AD⊥AB，AD=2BC=2AB，将△SAB沿AB折起到P的位置，使得平面PAB⊥底面ABCD，如图②，且E为PD的中点.
(1)求证：CE平面PAB；
(2)若PA=PB=6，AB=4，求三棱锥A-BCE的体积.
考点二 表面积问题
典例2．如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：
（1）正四棱锥的表面积；
（2）侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值：若不存在，试说明理由．
变式2-1．如图，在底面为矩形的四棱锥中，为棱上一点，底面．
(1)证明：；
(2)若，，过作平面，垂足为，求三棱锥的侧面积．
变式2-2．已知圆柱的底面半径为，上底面圆心为，正六边形内接于下底面圆，
（1）试用表示圆柱的表面积和体积;
（2）若圆柱体积为，求点到平面的距离.
变式2-3．如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，为底面圆周上一点.
（1）若弧的中点为，求证：平面；
（2）如果面积是9，求此圆锥的表面积及三棱锥-体积的最大值.
巩固练习
练习一 体积问题
1．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且，E为AB的中点，F为与的交点.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求三棱锥的体积.
2．如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，点O，M，E分别是AD，PC，BC的中点，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求三棱锥的体积．
3．如图所示的直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别是棱BC，CD上的点，且BE=2EC，DF=2FC，，G在棱上，为上底面的中心，平面EFG.
(1)求的值；
(2)求三棱锥的体积.
4．如图，在直三棱柱中，分别是的中点，F是棱上的点，满足，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
练习二 表面积问题
5．如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，其中，且.
(1)求四棱锥S－ABCD的侧面积；
(2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.
6．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的封闭图形.
(1)设，，求这个几何体的表面积；
(2)设G是弧DF的中点，设P是弧CE上的一点，且.求异面直线AG与BP所成角的大小.
7．如图，在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，分别是线段，的中点.
(1)证明：；
(2)求四棱锥的表面积；
(3)求直线与平面所成角的大小.
8．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，且，.
（1）证明：平面平面；
（2）求四棱锥的侧面积.
第三篇 立体几何
专题08 立体几何中的体积表面积问题
常见考点
考点一 体积问题
典例1．已知长方体，，分别为和的中点，．
(1)求三棱锥体积；
(2)求证：平面平面．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由平面，可得结合题干条件，即得解；
（2）先证明平面，平面，结合面面平行的判断定理，即得证
(1)
由题意可知：平面，，为的中点，
，，
，
；
(2)
∵ABCD-A1B1C1D1是长方体
∴AD//BC且AD=BC
∵点E、F分别为CC1和BB1的中点
∴EF//BC且EF=BC
∴AD//EF且AD=EF
∴四边形ADEF是平行四边形
∴AF//DE
∵平面，平面
∴平面
又，分别是线段，的中点
平面，平面
平面
又
平面平面．
变式1-1．在五面体EF﹣ABCD中，正方形CDEF所在平面与平面ABCD垂直，四边形 ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝AB．
(1)求证：AC⊥BF；
(2)若三棱锥A﹣BCE的体积为，求线段AB的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)AB＝4
【解析】
【分析】
（1）取AB中点O，连CO，通过证明FC⊥面ABCD，得到FC⊥AC，再结合AC⊥BC可得答案；
（2）利用可得答案.
(1)
证明：取AB中点O，连CO．
∵AD＝DC＝BC＝AB，AB∥CD，
∴四边形AOCD为菱形，∴CO＝OA＝OB，∴△OCB为正三角形，
∴AC⊥BC，
∵正方形CDEF所在平面与平面ABCD垂直，
∴FC⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，
∴FC⊥AC．
BC∩FC＝C，∴AC⊥面BCF，
∵BF⊂面BCF，∴AC⊥BF．
(2)
解：设BC＝x，则AB＝2x，由勾股定理得AC＝，
由（1）可知ED⊥面ABCD，
故，
即，解得x＝2．
∴AB＝4．
变式1-2．如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点.
(1)证明：；
(2)若是边长为2的等边三角形，点E在棱AD上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)4.
【解析】
【分析】
（1）证明平面BCD，原题即得证；
（2）过点E作交BD于N.过点N作交BC于点M，连接ME，求出，即得三棱锥的体积.
(1)
证明：∵，O为BD中点，∴，
因为平面ABD，平面平面BCD，且平面平面，
∴平面BCD，∵平面BCD，∴.
(2)
解：过点E作交BD于N.过点N作交BC于点M，连接ME，
因为且由（1）知平面BCD，
所以平面BCD， ∵平面BCD，∴
在△BCD中，∵，∴，
因为 ，∴，∴平面MNE
∴
∴为所求的二面角的平面角，
∴，∴
∵，，∴，
因为，∴，
∵，∴.∴，∴.
∴
∴.
变式1-3．如图①，在平面五边形SBCDA中，ADBC，AD⊥AB，AD=2BC=2AB，将△SAB沿AB折起到P的位置，使得平面PAB⊥底面ABCD，如图②，且E为PD的中点.
(1)求证：CE平面PAB；
(2)若PA=PB=6，AB=4，求三棱锥A-BCE的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）设F为PA的中点，连接EF，FB，证明四边形BCEF为平行四边形，然后根据线面平行的判定定理进行证明即可；
（2）设O为AB中点，连接PO､OD，过E作EHPO交OD于点H，然后根据
进行求解即可.
(1)
证明：设F为PA的中点，连接EF，FB，
∵E为PD的中点，∴EFAD且EF=AD，
又∵ADBC且AD=2BC，
∴EFBC且EF=BC，
∴四边形BCEF为平行四边形，
∴CEBF，
又∵BF平面PAB，CE平面PAB，
∴CE平面PAB；
(2)
如图，设O为AB中点，连接PO､OD，过E作EHPO交OD于点H，
∵PA=PB=6，AB=4，
∴PO⊥AB，即，
又∵平面PAB⊥底面ABCD，平面PAB底面ABCD=AB，
∴PO⊥底面ABCD，
又∵EHPO，∴ EH⊥底面ABCD，
∴EH是三棱锥E-ABC的底面ABC上的高，且，
又∵ADBC，AD⊥AB，BC=AB，
∴AB⊥BC，S△ABC=AB•BC×4×4=8，
所以.
VA-BCE=VE-ABC=•S△ABC•EH=×8×.
考点二 表面积问题
典例2．如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：
（1）正四棱锥的表面积；
（2）侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值：若不存在，试说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，2.
【解析】
【分析】
（1）根据棱锥的表面积的计算公式即可求出结果；
（2）分析可得在侧棱上存在一点，使平面，满足．证得平面平面，根据面面平行的性质定理即可证出结论.
【详解】
（1）正四棱锥中，，，
侧面的高，
正四棱锥的表面积．
（2）在侧棱上存在一点，使平面，满足．
理由如下：
取中点为，因为，则，
过作的平行线交于，连接，．
在中，有，
平面，平面，平面，
由于，．
又由于，
平面，平面，平面，
，平面平面，得平面，
变式2-1．如图，在底面为矩形的四棱锥中，为棱上一点，底面．
(1)证明：；
(2)若，，过作平面，垂足为，求三棱锥的侧面积．
【答案】(1)证明见解析；(2)．
【解析】
【分析】
（1）由线面垂直的性质定理证明，结合由线面垂直判定定理证明平面，由此可证；
(2)由面面垂直的判定定理和性质定理平面，由此求三棱锥的各个侧面的面积，由此可求其侧面积.
【详解】
（1）证明：因为底面，
所以．
在矩形中，，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以．
（2）解：因为，平面，所以平面．
因为平面，
所以平面平面．
又平面平面，平面，
所以．
因为，
所以为的中点．
连接，，，易知，
所以的面积为．
又的面积为，
故三棱锥的侧面积为
变式2-2．已知圆柱的底面半径为，上底面圆心为，正六边形内接于下底面圆，
（1）试用表示圆柱的表面积和体积;
（2）若圆柱体积为，求点到平面的距离.
【答案】（1），；（2）..
【解析】
【分析】
（1）根据，可求得圆柱得高h，再根据圆柱得表面积和体积公式即可得出答案；
（2）根据圆柱体积为，求出r，计算出和，由，利用等体积法即可求得点到平面的距离.
【详解】
（1）连接，设圆柱得高为h，
因为，则，，
所以，圆柱的表面积为；
体积；
（2）连接，
，，，设点到平面的距离为，
由题意知，，，
，，
所以，，
，
由，，，
即点到平面的距离为.
变式2-3．如图，O是圆锥底面圆的圆心，圆锥的轴截面为等腰直角三角形，为底面圆周上一点.
（1）若弧的中点为，求证：平面；
（2）如果面积是9，求此圆锥的表面积及三棱锥-体积的最大值.
【答案】（1）证明见解析；（2）表面积；的最大值为9
【解析】
【分析】
（1）证明即可；
（2）由条件可得，，然后由的面积是9求出，当是弧中点时，三棱锥-体积的最大，最后利用相关公式可算出答案.
【详解】
（1） ∵是底面圆的直径，
∴
∵弧的中点为，
∴
又，共面，
∴
又平面，平面，
∴平面
（2）设圆锥底面半径为，高为，母线长为，
∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形，
∴，
由，得
∴圆锥的表面积
易知当是弧中点时，三棱锥-体积的最大，
且最大值为：
巩固练习
练习一 体积问题
1．如图，在直四棱柱中，底面ABCD为菱形，且，E为AB的中点，F为与的交点.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求三棱锥的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
(1)如图，连接BD，根据题意可得DE⊥CD，利用线面垂直的性质和判定定理可得DE⊥平面，进而即可证明面面垂直；
(2)结合(1)和线面垂直的性质和判定定理可得平面，取的中点G，连接GF，进而可得平面，求出、、，利用三棱锥的体积公式计算即可.
(1)
如图，连接BD.
在菱形ABCD中，∠BAD=60°，所以为正三角形，
因为E为AB的中点，所以DE⊥AB.
因为AB//CD，所以DE⊥CD.
因为平面ABCD，平面ABCD，所以，
而，且，平面，
所以DE⊥平面.又因为平面DEF，
所以平面DEF⊥平面.
(2)
由（1）知.
因为平面ABCD，平面ABCD，所以.
而，且，平面，所以平面.
如图，取的中点G，连接GF.
因为F为的中点，所以，所以平面.
由条件知，，，，
所以三棱锥的体积.
2．如图，四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面平面ABCD，点O，M，E分别是AD，PC，BC的中点，，．
(1)求证：平面平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析；
(2)．
【解析】
【分析】
（1）证明平面后可得面面垂直；
（2）利用棱锥体积公式进行转换后计算．
(1)
是正方形，分别为中点，则，
又，所以，
，平面，所以平面，
又平面，所以平面平面；
(2)
平面平面ABCD，，平面，平面平面，
所以平面，
是中点，
所以．
3．如图所示的直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，E，F分别是棱BC，CD上的点，且BE=2EC，DF=2FC，，G在棱上，为上底面的中心，平面EFG.
(1)求的值；
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接，，则，连接AC，BD，设，连接，易知，再根据平面EFG，利用线面平行的性质定理得到求解；
（2）利用等体积法，由求解.
(1)
解：如图所示，连接，，
因为为上底面的中心，所以，
连接AC，BD，设，连接，则，
设，由BE=2EC，DF=2FC，可得，
因为平面EFG，所以平面EFG，
又因为平面，
记平面平面EFG=HG，则，
所以.
(2)
因为，所以由（1）的证明可知，可知CG=1，
又由BE=2EC及BC=2，可知，
所以，
所以三棱锥的体积为.
4．如图，在直三棱柱中，分别是的中点，F是棱上的点，满足，是的中点．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取的中点，得到且，证得且，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面．
（2）根据题意先证得平面，得到点到平面的距离，结合和锥体的体积公式，即可求解.
(1)
证明：如图所示，取的中点，连接，
因为分别是的中点，所以且，
又因为是的中点，所以且，
所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，平面，所以平面．
(2)
解：由直三棱柱中，可得，
又由，且，平面，
所以平面，
又因为平面，且，
所以点到平面的距离，
由，
所以三棱锥的体积为．
练习二 表面积问题
5．如图，在四棱锥S－ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，其中，且.
(1)求四棱锥S－ABCD的侧面积；
(2)求平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据垂直关系依次求解每个侧面三角形边长和面积即可得解；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.
(1)
由题可得：，则，
SA⊥底面ABCD，所以，
SA平面SAB，平面SAB⊥底面ABCD，交线，
所以BC⊥平面SAB，BC⊥BS，
，
所以四棱锥的侧面积
(2)
以A为原点，建立空间直角坐标系如图所示：
设平面SCD的法向量，
，取
所以
取为平面SAB的的法向量
所以平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值.
6．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的封闭图形.
(1)设，，求这个几何体的表面积；
(2)设G是弧DF的中点，设P是弧CE上的一点，且.求异面直线AG与BP所成角的大小.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）将几何体的表面积分成上下两个扇形、两个矩形和一个圆柱形侧面的一部分组成，分别求出后相加即可；
（2）先根据条件得到面，通过平移将异面直线转化为同一个平面内的直线夹角即可
(1)
上下两个扇形的面积之和为：
两个矩形面积之和为：4
侧面圆弧段的面积为：
故这个几何体的表面积为：
(2)
如下图，将直线平移到下底面上为
由，且，，可得：面
则
而G是弧DF的中点，则
由于上下两个平面平行且全等，则直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即为所求，则
则直线与直线的夹角为
7．如图，在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，分别是线段，的中点.
(1)证明：；
(2)求四棱锥的表面积；
(3)求直线与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理逆定理可得，由线面垂直的性质可得，由线面垂直的判定定理可证明面即可求证；
（2）证明，，分别求五个面的面积之和即可求解；
（3）利用三棱锥等体积求出点到平面的距离为，设直线与平面所成角为，求出的值即可得角.
(1)
底面是矩形，且，，，分别是线段，的中点，
连接，则，且，
因为，所以，所以，
因为平面，面，所以，
因为，所以面，
因为面，所以.
(2)
因为平面，面，所以，
因为，，所以面，
因为面，所以，
因为平面，面，所以，
因为，，所以面，
因为面，所以，
；；
；；
；
所以四棱锥的表面积为.
(3)
连接，，，
，
所以，
设点到平面的距离为，
由可得，
因为，，，
因为，所以，
所以，
所以，可得，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角为.
8．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，且，.
（1）证明：平面平面；
（2）求四棱锥的侧面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由平面得，再结合几何关系得，进而平面，再根据判定定理即可得平面平面.
（2）由（1）知平面四棱锥的四个侧面均为直角三角形，再计算即可得答案.
【详解】
（1）由，知，故，
又，，，平面，
所以平面.
因为平面，所以.
又在直角梯形中，易求得，
所以，故.
又，，平面，
所以平面.
又平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知平面四棱锥的四个侧面均为直角三角形，
所以，，，
.
故四棱锥的侧面积为.