备战2024年高考数学二轮复习专题08数列中的新定义问题(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题08数列中的新定义问题(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了“取整与取最值”数列，“新定义”数列等内容，欢迎下载使用。

常见考点
考点一 “取整与取最值”数列
典例1．在①，；②公差为2，且，，成等比数列；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为，______．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，其中表示不超过x的最大整数，求的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
变式1-1．已知数列的前和记其中表示不超过的最大整数，如
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前项和
(3)求数列的项和.
变式1-2．已知等差数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，用符号表示不超过x的最大数，当时，求的值.
变式1-3．已知等比数列的各项均为正数，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前n项和为，表示a与b的最大值，记，求数列的前n项和．
考点二 “新定义”数列
典例2．若数列满足（，是不等于的常数）对任意恒成立，则称是周期为，周期公差为的“类周期等差数列”．已知在数列中，，．
(1)求证：是周期为的“类周期等差数列”，并求的值；
(2)若数列满足，求的前项和．
变式2-1．设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.
(1)若数列的前n项和，证明：是“数列”；
(2)设是等差数列，其首项，公差.若是“数列”，求的值；
变式2-2．设数列的前项和为．若对，总，使得，则称数列是“数列”．
（1）若数列是等差数列，其首项，公差．证明：数列是“数列”；
（2）若数列的前项和，判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立．
变式2-3．在数列中，令，若对任意正整数，总为数列中的项，则称数列是“前项之积封闭数列”．已知数列是首项为，公比为的等比数列．
(1)判断：当，时，数列是否为“前项之积封闭数列”；
(2)证明：当或时，数列是“前项之积封闭数列”．
巩固练习
练习一 “取整与取最值”数列
1．设表示不大于的最大整数.数列的通项公式为.
(1)求，，，；
(2)设，求数列的前项和.
2．高斯函数中用表示不超过的最大整数，对应的为的小数部分，已知数列的前项和为，数列满足．已知函数在上单调递减．
（1）若数列，其前项为，求．
（2）若数列（即为的小数部分），求的最大值．
3．等差数列中，，.
（1）求的前n项和；
（2）设，求数列的前8项和，其中表示不超过的最大整数，如，.
4．已知，，记 ，其中表示这个数中最大的数．
（1）求的值；
（2）证明是等差数列.
练习二 “新定义”数列
5．设数列中，若，则称数列为“凸数列”.
（1）设数列为“凸数列”，若，，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；
（2）在“凸数列”中，求证，.
6．定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.
(1)已知等比数列满足：，，求证：数列为“数列”.
(2)已知数列满足：，，其中为数列的前项和，求数列的通项公式，并判断数列是否为“数列”.
7．若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数.
(1)证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
(2)设（1）中“平方递推数列”的前项积为，即，求；
(3)在（2）的条件下，记，求数列的前项和.
8．给定数列，若满足，对于任意的，都有，则称为“指数型数列”.
(1)已知数列的通项公式为，证明：为“指数型数列”；
(2)若数列满足：；
（I）判断是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(Ⅱ)若，求数列的前项和.
第二篇 数列
专题08 数列中的新定义问题
常见考点
考点一 “取整与取最值”数列
典例1．在①，；②公差为2，且，，成等比数列；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答．
问题：已知数列为公差不为零的等差数列，其前项和为，______．
(1)求数列的通项公式；
(2)令，其中表示不超过x的最大整数，求的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
选①
（1）由等差数列的前项和公式列方程组解得和后可得通项公式；
（2）根据定义求出，然后求和．
选②
（1）由等差数列的前项和公式结合等比数列性质求得后可得通项公式；
（2）根据定义求出，然后求和．
选③
（1）利用和求得通项公式；
（2）根据定义求出，然后求和．
(1)
选①：设的公差为d，则
由已知可得，解得，
故的通项公式为
选②：因为，，，
由题意得，解得，
所以的通项公式为
选③：当时，
当时，，符合
所以的通项公式为
(2)
选①
由知，，
所以
选②
由知
所以
选③
由知
所以
变式1-1．已知数列的前和记其中表示不超过的最大整数，如
(1)求数列的通项公式；
(2)设求数列的前项和
(3)求数列的项和.
【答案】(1)；
(2)=；
(3).
【解析】
【分析】
（1）由，可知当时，，再利用，即可求出数列的通项公式；
（2）由（1）得，=，再利用裂项相消法即可求出；
（3）由（1）知，结合题意可求出，，，，即可求出数列的项和.
(1)
解：，①
当时，，②
由①-②得，
当时，，满足上式，
数列的通项公式为：.
(2)
解：由（1）知，=，
所以数列{}前项和为：
==.
(3)
解：由（1）知，
，
由于在上单调递增，且
，，
，，
数列的前500项和为：.
变式1-2．已知等差数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，用符号表示不超过x的最大数，当时，求的值.
【答案】(1)
(2)9
【解析】
【分析】
(1)首先根据已知条件分别求出的首项和公差，然后利用等差数列的通项公式求解即可；(2)首先利用等差数列求和公式求出，然后利用裂项相消法和分组求和法求出，进而可求出的通项公式，最后利用等差数列求和公式求解即可.
(1)
不妨设等差数列的公差为，
故，，
解得，，
从而，
即的通项公式为.
(2)
由题意可知，，
所以，
故
，
因为当时，；当时，，
所以，
由可知，，
即，解得，
即的值为9.
变式1-3．已知等比数列的各项均为正数，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前n项和为，表示a与b的最大值，记，求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)根据题意，令，列出方程组，解方程组可得公比，进而求出首项，利用等比数列的定义即可求出通项公式；
(2)由(1)，根据等比数列前n项求和公式求出，可得，根据题意给的定义求得所以，再次利用等比数列前n项求和公式计算即可.
(1)
设的公比为．
由，得
②÷①，得，结合，解得．将代入①，解得，
所以数列的通项公式为．
(2)
由（1），，则，
从而当时，；当时，，所以．
当时，
．
综上，．
考点二 “新定义”数列
典例2．若数列满足（，是不等于的常数）对任意恒成立，则称是周期为，周期公差为的“类周期等差数列”．已知在数列中，，．
(1)求证：是周期为的“类周期等差数列”，并求的值；
(2)若数列满足，求的前项和．
【答案】(1)证明见解析；；
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，，相减得，即可得到答案；
（2）对当分为偶数和奇数进行讨论，进行并求和，即可得到答案；
(1)
由，，相减得，
所以周期为，周期公差为的“类周期等差数列”，
由，，得，
所以．
(2)
由，，得，
当为偶数时，；
当为奇数时，．
综上所述，
变式2-1．设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“数列”.
(1)若数列的前n项和，证明：是“数列”；
(2)设是等差数列，其首项，公差.若是“数列”，求的值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）由，再根据数列是“数列”的概念即可证明结果．
（2）依题意，，根据是“数列”，可知则，可得，由此能求出的值，再进行检验，即可求出结果．
(1)
解：因为，
当时，，显然满足题意，
当时， ，（且）
若，，所以，满足题意，
综上，则为“H数列”；
(2)
解：由题意，，所以，所以
又，
若是“H数列”，则由得
所以，
因，则对任意的n为整数，，则或，
验证：时，，
因恒为偶数，所以m恒为整数，成立.
时，，不恒为整数，
不成立.
综上所述，.
变式2-2．设数列的前项和为．若对，总，使得，则称数列是“数列”．
（1）若数列是等差数列，其首项，公差．证明：数列是“数列”；
（2）若数列的前项和，判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立．
【答案】（1）证明见解析；（2）数列不是“数列”；理由见解析；（3）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据数列的定义证明即可；
（2）由，可以判断数列不是“数列”；
（3）若，（为常数），可与判断数列是“数列”，继而可以证明成立．
【详解】
解：（1）证明：由题意，
，
若，
则．
所以，存在，使得．
所以，数列是“数列”．
（2）首先，
当时，，
所以
当时，，得因此数列不是“数列”．
（3）若，（为常数），
则数列的前项和是数列中的第项，因此数列是“数列”．
对任意的等差数列，，（为公差），
设，，
则，而数列和都是“数列”．
变式2-3．在数列中，令，若对任意正整数，总为数列中的项，则称数列是“前项之积封闭数列”．已知数列是首项为，公比为的等比数列．
(1)判断：当，时，数列是否为“前项之积封闭数列”；
(2)证明：当或时，数列是“前项之积封闭数列”．
【答案】(1)不是“前项之积封闭数列”
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题设可得，根据“前项之积封闭数列”的定义，假设为数列中的项即求参数m，即可判断结论.
（2）由题设，时、时，结合“前项之积封闭数列”的定义，求证结论即可.
(1)
由题设，，
若为数列中的项，则存在使，即，
∴，故不是“前项之积封闭数列”.
(2)
由，则，当，时，
1、时，，则，
又，令，则，
∴数列是“前项之积封闭数列”.
2、时，，则，
又，令，则，
∴数列是“前项之积封闭数列”．
综上，结论得证.
巩固练习
练习一 “取整与取最值”数列
1．设表示不大于的最大整数.数列的通项公式为.
(1)求，，，；
(2)设，求数列的前项和.
【答案】(1)1；3；4；5.
(2).
【解析】
【分析】
（1）由，结合的定义，准确运算，即可求解；
（1）根据题意求得，，得到，结合裂项法求和，即可求解.
(1)
解：由题意，数列的通项公式为，
可得，，，.
(2)
解：由题意，可得，，
所以，
故.
2．高斯函数中用表示不超过的最大整数，对应的为的小数部分，已知数列的前项和为，数列满足．已知函数在上单调递减．
（1）若数列，其前项为，求．
（2）若数列（即为的小数部分），求的最大值．
【答案】（1）3；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由数列的前项和为可求出其通项公式，从而得到数列的通项公式，再根据函数的单调性可知，当时，，即可得到当时，，然后分别求出，即可求出；
（2）由（1）可知，当时，，所以，由单调性可知此时最大为，再分别求出，即可得到的最大值．
【详解】
（1）当时，，当时，，当时也满足，所以，即．
∵函数在上单调递减，∴当时，．∴当时，，∴，，，．
∴．
（2）由（1）可知当时，．
∴当时，，
又∵，，，，
∴的最大值为．
3．等差数列中，，.
（1）求的前n项和；
（2）设，求数列的前8项和，其中表示不超过的最大整数，如，.
【答案】（1）；（2）16.
【解析】
【分析】
由等差数列的性质，得，再求出等差数列的公差为，求出的通项公式，进而求出的前n项和；根据，列出的前8项，相加可得答案.
【详解】
（1），
，即，
又，
，
，
，
，
（2）由（1）得：，， ，， ， ，， ，
，
，， ，
数列的前8项和为.
【点睛】
知识点点睛：等差数列中，若，则.
4．已知，，记 ，其中表示这个数中最大的数．
（1）求的值；
（2）证明是等差数列.
【答案】（1），，；（2）证明见解析.
【解析】
（1）首先求出，，根据题意即可求解.
（2）利用作差法求出数列的通项公式，再根据等差数列的定义即可证出.
【详解】
（1）易知，，且，，
所以
，
.
（2）下面证明：对任意且，都有．
当且时，
因为且
所以．
因此对任意且，，则．
又因为，
故对均成立，从而是等差数列.
【点睛】
本题主要考查数列的新定义、等差数列的定义，考查了学生的知识迁移能力，属于中档题.
练习二 “新定义”数列
5．设数列中，若，则称数列为“凸数列”.
（1）设数列为“凸数列”，若，，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；
（2）在“凸数列”中，求证，.
【答案】（1），，，，，，；（2）证明见解析.
【解析】
（1）由数列的递推公式，运算即可得解；
（2）由“凸数列”的性质可得，两式相加化简可得，即可得解.
【详解】
（1）因为，且，，
所以，，，，，，；
（2）证明：由题意，，
∴，即，∴，
∴，.
6．定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.
(1)已知等比数列满足：，，求证：数列为“数列”.
(2)已知数列满足：，，其中为数列的前项和，求数列的通项公式，并判断数列是否为“数列”.
【答案】(1)证明见解析
(2)数列的通项公式为，数列不是“数列”
【解析】
【分析】
（1）根据题干条件求出首项和公比，证明出结论；（2）利用，求出为等差数列，求出通项公式，证明出不是是“数列”.
(1)
证明：设等比数列的公比为，则，.
由得：
解得：因此数列为“数列”.
(2)
因为，所以.
由，，得，则.
由，得，
当时，由，
得，
整理得.
所以数列是首项和公差均为1的等差数列.
因此，数列的通项公式为，
显然数列不是“数列”.
7．若数列满足，则称数列为“平方递推数列”.已知数列中，，点在函数的图象上，其中为正整数.
(1)证明数列是“平方递推数列”，且数列为等比数列；
(2)设（1）中“平方递推数列”的前项积为，即，求；
(3)在（2）的条件下，记，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）根据，得到，即是“平方递推数列”．
对两边取对数得，利用等比数列的定义证明；
(2)由(1)得到，利用等比数列的求和公式和对数的运算公式即可得出结果；
(3)由(20可得通项，进而利用分组求和即可得出.
(1)
由题意得：，即，
则是“平方递推数列”.
对两边取对数得，又
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.
(2)
由（1）知
；
(3)
，
8．给定数列，若满足，对于任意的，都有，则称为“指数型数列”.
(1)已知数列的通项公式为，证明：为“指数型数列”；
(2)若数列满足：；
（I）判断是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；
(Ⅱ)若，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析
(2)（I）是，证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（1）由新定义直接验证即可证明
（2）（I）由题意可得，先求出的通项公式，再由新定义直接验证即可.
(Ⅱ)由题意可得，由分组求和即可得出答案.
(1)
为“指数型数列”
(2)
（I）将 两边同除
得：，
是以为首项，公比为的等比数列
是“指数型数列”
（Ⅱ）因为，则