备战2024年高考数学二轮复习专题01平行问题的证明(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题01平行问题的证明(原卷版+解析)，共43页。试卷主要包含了线面平行的判定，面面平行的判定，线面平行的性质，面面平行的性质等内容，欢迎下载使用。

常见考点
考点一 线面平行的判定
典例1．如图所示，在三棱柱中，为的中点，求证：平面
变式1-1．如图所示，平面五边形可分割成一个边长为2的等边三角形ABC和一个直角梯形ACDE，其中AECD，AE＝CD＝AC，∠EAC＝90°，现将直角梯形ACDE沿边AC折起，使得AE⊥AB，连接BE、BD，设线段BC的中点为F．
求证：AF平面BDE；
变式1-2．如图，四棱锥中，点M、N分别为直线上的点，且满足，求证：平面.
变式1-3．如图所示，已知正方形.、分别是、的中点，将沿折起.证明平面.
考点二 面面平行的判定
典例2．如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC//AB，求证：平面PAB//平面EFG.
变式2-1．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是A1C1，A1D和B1A上任意一点．求证：平面平面.
变式2-2．如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D， D1分别在AC， A1C1上，那么当点D在什么位置时，平面BC1D∥平面AB1D1
变式2-3．如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，，求证：平面平面.
考点三 线面平行的性质
典例3．如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，点在棱上，平面．
求证：为的中点；
变式3-1．四面体如图所示，过棱的中点作平行于，的平面，分别交四面体的棱于点．证明：四边形是平行四边形．
变式3-2．如图所示，已知三棱柱ABC-A'B'C'中，D是BC的中点，D'是B'C'的中点，设平面A'D'B∩平面ABC=a，平面ADC'∩平面A'B'C'=b，判断直线a，b的位置关系，并证明．
变式3-3．如图，三棱锥被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：平面EFGH．
考点四 面面平行的性质
典例4．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接FN，求证：FN∥CM．
变式4-1．如图，在棱锥中，，截面底面BDC．已知的周长是18，求的周长．
变式4-2．如图，已知平面平面，点P是平面，外一点，且直线PB，PD分别与，相交于点A，B和点C，D．如果，，，求PD的长．
变式4-3．如图所示，两条异面直线，与两平行平面，分别交于点，和，，点，分别是，的中点，求证：平面
巩固练习
练习一 线面平行的判定
1．如图，四棱锥中，O为底面平行四边形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：平面DCF．
2．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点.求证：EF平面ABC1D1.
3．如图所示，在四棱锥中，，，，底面， 为的中点。求证：平面
4．如图，四棱锥中，平面，，，，点在线段上，且满足.求证:平面.
练习二 面面平行的判定
5．如图，在三棱柱中，、分别是棱、的中点，求证：平面平面．
6．如图甲，在直角梯形中，，，，、、分别为、、的中点，现将沿折起，如图乙.求证：平面平面.
7．如图，在三棱锥中，，过A作，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.求证：平面平面ABC.
8．如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，，G是DE的中点.求证：面面BEF.
练习三 线面平行的性质
9．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点.记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明.
10．如图，五面体中，四边形为矩形，平面，，，为中点．求证：平面；
11．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，在上取一点，过点和作平面，交平面于，点在线段上.求证：.
12．如图所示，在多面体中，四边形，，均为正方形，为的中点，过的平面交于.
证明：.
练习四 面面平行的性质
13．如图，已知，点P是平面外的一点，直线和分别与相交于B和D.
（1）求证：；
（2）已知，求的长.
14．如图①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P-ABCD，如图②.求证:在四棱锥P-ABCD中，AP平面EFG.
15．如图，在四棱锥中，，，，，、、分别为线段、、的中点，
证明：直线平面.
16．如图，空间几何体ABCDFE中，四边形ABCD是菱形，直角梯形ADFE所在平面与平面ABCD垂直，且AE⊥AD，EF∥AD，其中P，Q分别为棱BE，DF的中点．
求证：PQ∥平面ABCD．
第三篇 立体几何
专题01 平行问题的证明
常见考点
考点一 线面平行的判定
典例1．如图所示，在三棱柱中，为的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
连接交于，连接，则由平行四边形的性质和三角形中位线定理可得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论
【详解】
证明：如图，连接交于，连接，
∵四边形是平行四边形．∴点为的中点．
∵为的中点，∴为的中位线，∴．
∵平面，平面，∴平面．
变式1-1．如图所示，平面五边形可分割成一个边长为2的等边三角形ABC和一个直角梯形ACDE，其中AECD，AE＝CD＝AC，∠EAC＝90°，现将直角梯形ACDE沿边AC折起，使得AE⊥AB，连接BE、BD，设线段BC的中点为F．
求证：AF平面BDE；
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
取BD的中点G，连接EG、FG，利用平行四边形证AFEG，由线面平行的判定可证AF面BDE.
【详解】
证明：取BD的中点G，连接EG、FG，由F为BC的中点，
∴FGDC且FG＝CD，又AECD且CD＝2AE，
∴AEFG且AE＝FG，即四边形AFGE为平行四边形，
∴AFEG，又面BDE，面BDE，
∴AF平面BDE.
变式1-2．如图，四棱锥中，点M、N分别为直线上的点，且满足，求证：平面.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
通过线线平行来证得平面.
【详解】
连接BD，
∵，∴，
∵平面ABCD，平面ABCD，
∴平面.
变式1-3．如图所示，已知正方形.、分别是、的中点，将沿折起.证明平面.
【答案】证明见解析.
【解析】
通过证明，证得平面.
【详解】
、分别为正方形的边、的中点，
∴，且，∴四边形为平行四边形，
∴，∵平面，而平面，∴平面.
考点二 面面平行的判定
典例2．如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC//AB，求证：平面PAB//平面EFG.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据面面平行的判定定理进行证明.
【详解】
由于分别是的中点，
所以是三角形的中位线，
所以，
由于，所以，
由于平面，平面，
所以平面.
由于分别是的中点，
所以是三角形的中位线，
所以，
由于平面，平面，
所以平面.
由于，
所以平面PAB//平面EFG.
变式2-1．已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M分别是A1C1，A1D和B1A上任意一点．求证：平面平面.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
通过证明平面平面来证得平面平面.
【详解】
根据正方体的性质可知，
由于平面，平面，
所以平面.
同理可证得平面，
由于,
所以平面平面，
所以平面平面.
百世2-2．如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D， D1分别在AC， A1C1上，那么当点D在什么位置时，平面BC1D∥平面AB1D1
【答案】D为AC的中点
【解析】
【分析】
根据面面平行的性质定理即可求解．
【详解】
连接A1B交AB1于点O，连接OD1，由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
因此BC1∥D1O．同理AD1∥DC1，
所以＝， ＝．
又因为＝1，所以＝1，即D为AC的中点．
变式2-3．如图为一简单组合体，其底面为正方形，棱与均垂直于底面，，求证：平面平面.
【答案】见解析
【解析】
由正方形的性质得出，可得出平面，由线面垂直的性质定理得出，可得出平面，再利用面面平行的判定定理可证得结论.
【详解】
由于四边形是正方形，，
平面，平面，平面，
平面，平面，，
平面，平面，平面，
，平面平面.
【点睛】
本题考查面面平行的证明，考查推理能力，属于基础题.
考点三 线面平行的性质
典例3．如图，在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，点在棱上，平面．
求证：为的中点；
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
连接交于点，连接，根据线面平行的性质可得，结合正方形的性质易知是的中点，即是中位线，即可证结论.
【详解】
证明：连接，交于点，连接．
∵面，面面，面，面，
∴．
∵四边形是正方形，，即是的中点．
∴△中是中位线，故为的中点．
变式3-1．四面体如图所示，过棱的中点作平行于，的平面，分别交四面体的棱于点．证明：四边形是平行四边形．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】
根据线面平行的性质定理，分别证得，所以，同理证得.根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证得结论.
【详解】
由题设知，∥平面，
又平面 平面，平面 平面，
∥，∥，∥．
同理∥，∥，∥．
故四边形是平行四边形．
【点睛】
本小题主要考查线面平行的性质定理的应用，考查平行四边形的判定，属于基础题.
变式3-2．如图所示，已知三棱柱ABC-A'B'C'中，D是BC的中点，D'是B'C'的中点，设平面A'D'B∩平面ABC=a，平面ADC'∩平面A'B'C'=b，判断直线a，b的位置关系，并证明．
【答案】直线a，b的位置关系是平行，证明见试题解析．
【解析】
【分析】
根据线面平行的性质定理，分别证得，再证得，利用平行公理，可证得.
【详解】
∵平面ABC//平面A'B'C'，平面A'D'B∩平面ABC=a，平面A'D'B∩平面A'B'C'=A'D'，
∴A'D'//a，同理可得AD//b．
又D是BC的中点，D'是B'C'的中点，∴ ，而 ，∴ ，
∴四边形AA'D'D为平行四边形，∴A'D'//AD，因此a//b．
【点睛】
本小题主要考查线面平行的性质定理和平行公理的应用.要证明线线平行，可以先证两条直线和第三条直线平行，利用公理，即平行公理可证得两直线平行.属于基础题.
变式3-3．如图，三棱锥被一平面所截，截面为平行四边形EFGH，求证：平面EFGH．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
根据线面平行的判定定理、性质定理即可得证
【详解】
因为四边形EFGH为平行四边形，
所以，
因为平面BCD，平面BCD，
所以平面BCD，
又因为平面ACD，且平面平面BCD，
所以，
又因为平面EFGH，平面EFGH，
所以平面EFGH
考点四 面面平行的性质
典例4．如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接FN，求证：FN∥CM．
【答案】见解析．
【解析】
【分析】
先通过中位线，通过线线平行，证得平面平面，在根据面面平行的性质定理证得.
【详解】
因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB．
又DE平面ABC，AB平面ABC，所以DE∥平面ABC，
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
所以平面DEF∥平面ABC．
又平面PCM∩平面DEF＝FN，
平面PCM∩平面ABC＝CM，
所以FN∥CM．
【点睛】
本小题主要考查线线平行的证明、线面平行的证明和面面平行的证明，其中涉及到了线面平行的判定定理、面面平行的判定定理，还有面面平行的性质定理.在平行转化的过程中，已知和求之间，用判定定理还是性质定理，要看清楚题目所给的条件来判断.
变式4-1．如图，在棱锥中，，截面底面BDC．已知的周长是18，求的周长．
【答案】6
【解析】
【分析】
由面面平行可得线线平行，然后由相似三角形可解.
【详解】
因为截面底面BDC，且面面，面面
所以，
所以
又
所以
同理可得，
所以，即
所以，，即的周长等于6.
变式4-2．如图，已知平面平面，点P是平面，外一点，且直线PB，PD分别与，相交于点A，B和点C，D．如果，，，求PD的长．
【答案】
【解析】
【分析】
根据面面平行的性质，结合平行线的性质进行求解即可
【详解】
由题意可知：平面，平面，
因为平面平面，所以，
因此有.
变式4-3．如图所示，两条异面直线，与两平行平面，分别交于点，和，，点，分别是，的中点，求证：平面
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
过点作交于点，取的中点，连接，，，，，，根据面面平行的性质得到，，即可得到平面，再利用面面平行的性质即可得到平面。
【详解】
过点作交于点，取的中点，
连接，，，，，，如图所示：
因为，所以，确定平面.
则平面，平面，因为，所以.
又分别为，的中点，
所以，，，所以.
又分别为，的中点，
所以，且，
所以，因为，
所以平面.
又平面，所以平面.
巩固练习
练习一 线面平行的判定
1．如图，四棱锥中，O为底面平行四边形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：平面DCF．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
以线面平行判定定理去证明即可.
【详解】
连接OF
O为底面平行四边形DBCE对角线的交点，则
△中，，，则
又平面，平面，则平面DCF．
2．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点.求证：EF平面ABC1D1.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
由E为DD1的中点，F为BD的中点，得EF为△BDD1的中位线，所以EFBD1，从而可证明线面平行.
【详解】
如图，连接BD1，在△BDD1中，
因为E为DD1的中点，F为BD的中点，
所以EF为△BDD1的中位线，所以EFBD1，
又BD1⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1，
所以EF平面ABC1D1.
3．如图所示，在四棱锥中，，，，底面， 为的中点。求证：平面
【答案】证明见解析.
【解析】
取的中点，连接，由三角形的中位线定理可得∥,，而已知∥，，从而得∥，，所以四边形为平行四边形，从而得，再利用线面平行的判定定理可证明
【详解】
证明：取的中点，连接
因为为的中点，
所以∥,，
因为∥，，
所以∥，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
4．如图，四棱锥中，平面，，，，点在线段上，且满足.求证:平面.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
连结，连结，可证，结合已知可证，即可证明结论.
【详解】
连结，∵，
，,在中，连结，
∵，∴，
又面，面，∴面.
【点睛】
本题考查线线垂直的证明，注意空间垂直之间互相转化，考查线面线平行，属于基础题.
练习二 面面平行的判定
5．如图，在三棱柱中，、分别是棱、的中点，求证：平面平面．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
设与的交点为，连结，证明，再由线面平行的判定可得平面；由为线段的中点，点是的中点，证得四边形为平行四边形，得到，进一步得到平面．再由平面，结合面面平行的判定可得平面平面．
【详解】
证明：设与的交点为，连结，
四边形为平行四边形，为中点，
又是的中点，是三角形的中位线，则，
又平面，平面，
平面；
为线段的中点，点是的中点，
且，则四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面．
又平面，，且平面，平面，
平面平面．
【点睛】
本题考查直线与平面，平面与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题．
6．如图甲，在直角梯形中，，，，、、分别为、、的中点，现将沿折起，如图乙.求证：平面平面.
【答案】证明见解析
【解析】
分别证明出平面，平面，然后利用面面平行的判定定理可得出平面平面.
【详解】
翻折前，在图甲中，，，，
翻折后，在图乙中，仍有，
、、分别为、、的中点，，，，
平面，平面，平面.
平面，平面，平面.
又，平面平面.
【点睛】
本题考查面面平行的证明，证明时要注意线线位置关系在翻折前后的变化，考查推理能力，属于中等题.
7．如图，在三棱锥中，，过A作，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.求证：平面平面ABC.
【答案】证明见解析
【解析】
由已知可得为中点，点E，G分别是棱SA，SC的中点，可得，证得
平面ABC，同理平面ABC，即可证明结论.
【详解】
证明：因为，，垂足为F，所以F是SB的中点.
又E是SA的中点，所以.
因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC.
同理平面ABC.又，平面，
所以平面平面ABC.
【点睛】
本题考查面面平行的证明，属于基础题.
8．如图所示，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，，G是DE的中点.求证：面面BEF.
【答案】证明见解析
【解析】
根据已知条件可证面BEF，面BEF，即可证明结论.
【详解】
如图所示，
连接BD交AC于点O，连接OG，
易知O是BD的中点，故.
又面BEF，面BEF，所以面BEF.
因为，面BEF，所以面BEF.
又AC与OG相交于点O，AC，OG面，
所以面面BEF.
【点睛】
本题考查面面平行的证明，属于基础题.
练习三 线面平行的性质
9．如图，是圆的直径，点是圆上异于的点，为平面外一点，分别是的中点.记平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并加以证明.
【答案】平面，证明见解析.
【解析】
【分析】
利用线面平行的判定定理可得平面，再由线面平行的性质定理可得，最后再次根据线面平行的判定定理可得平面.
【详解】
直线平面，证明如下：
因为分别是的中点，所以.
又平面，且平面，
所以平面.
而平面，且平面平面，
所以.
因为平面，平面，
所以平面.
【点睛】
本题考查线面平行的判定与性质，解题时注意两类平行关系的转化，本题属于基础题.
10．如图，五面体中，四边形为矩形，平面，，，为中点．求证：平面；
【答案】详见解析.
【解析】
取中点，连，由平面，可证，进而证明四边形为平行四边形，得到，即可证明结论.
【详解】
取中点，连，
平面，平面，
平面平面
为中点，，
且，
四边形为平行四边形，，
平面平面，
平面.
【点睛】
本题考查空间点、线、面位置关系，证明直线与平面平行，要注意直线与平面平行性质定理的应用，属于基础题.
11．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是的中点，在上取一点，过点和作平面，交平面于，点在线段上.求证：.
【答案】证明见解析
【解析】
连接交于点，连接，推导出．从而平面．由线面平行的性质定理可证明．
【详解】
证明：如图，连接，设交于点，连接．
∵四边形是平行四边形，
∴是的中点
又是的中点，∴.
又平面，平面BDM，
∴平面
又平面，平面平面，
∴．
【点睛】
本题考查线线平行的判定定理和性质定理的应用，属于基础题．
12．如图所示，在多面体中，四边形，，均为正方形，为的中点，过的平面交于.
证明：.
【答案】见解析
【解析】
通过四边形为平行四边形，可得，利用线面平行的判定定理即得结论；
【详解】
证明： 且，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面
平面，
又因为平面平面，平面，
；
【点睛】
本题考查线面平行的判定及性质定理的应用，属于基础题.
练习四 面面平行的性质
13．如图，已知，点P是平面外的一点，直线和分别与相交于B和D.
（1）求证：；
（2）已知，求的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由面面平行的性质定理得证线线平行；
（2）由平行线的性质可求得线段长．
【详解】
（1），所以确定一个平面，
由题意平面，平面，
所以；
（2）由（1），所以，所以，
所以．
14．如图①，在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP，D为AP的中点，E，F，G分别为PC，PD，CB的中点，将△PCD沿CD折起，得到四棱锥P-ABCD，如图②.求证:在四棱锥P-ABCD中，AP平面EFG.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
通过证明平面平面来证得平面.
【详解】
在四棱锥P-ABCD中，E，F分别为PC，PD的中点，∴EFCD.
∵ABCD，∴EFAB.∵EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，
∴EF平面PAB.
同理EG平面PAB.
又EF∩EG=E，∴平面EFG平面PAB.
∵AP⊂平面PAB，
∴AP平面EFG.
15．如图，在四棱锥中，，，，，、、分别为线段、、的中点，
证明：直线平面.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
连接、，与相交于点，连接，则由已知结合三角形中位线定理可得，由线面平行的判定定理可得平面，由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得平面，由面面平行的判定定理可得平面平面，然后由面面平行的性质可得结论
【详解】
如图，连接、，与相交于点，连接，
因为，，为线段的中点，，
所以四边形为矩形，为的中点，
因为为的中点，所以为的中位线，，
因为平面，平面，所以平面，
因为、分别为线段、的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，平面，，
所以平面平面，
因为平面，所以平面.
16．如图，空间几何体ABCDFE中，四边形ABCD是菱形，直角梯形ADFE所在平面与平面ABCD垂直，且AE⊥AD，EF∥AD，其中P，Q分别为棱BE，DF的中点．
求证：PQ∥平面ABCD．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
通过作的中点，连，结合中位线定理进一步证明，，从而得证平面平面，推出PQ∥平面ABCD，即通过面面平行来证线面平行
【详解】
取的中点，连，
在中，所以，
又平面，平面，
所以平面；
在梯形中，，
所以，同理平面；
又平面，
所以平面平面.
又平面，所以平面
【点睛】
本题考查通过面面平行来证线面平行，采用面面平行来证线面平行，一般都是都过证另外两条直线和另一平面平行，得出面面平行，进而推出线面平行