备战2024年高考数学二轮复习专题02等比数列的基本量的计算(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题02等比数列的基本量的计算(原卷版+解析)，共23页。试卷主要包含了等比数列的基本量的计算，由等比数列求参数的值或最值等内容，欢迎下载使用。

常见考点
考点一 等比数列的基本量的计算
典例1．已知等比数列的首项为2，等差数列的前n项和为，且，，．
(1)求，的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
变式1-1．已知等差数列和正项等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
变式1-2．已知等差数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列满足，求的前项和.
变式1-3．已知等差数列满足，前3项和．
(1)求的通项公式以及前项和；
(2)设等比数列满足，，求的通项公式以及前项和．
考点二 由等比数列求参数的值或最值
典例2．设是等比数列，其前项的和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的最小值.
变式2-1．设是等比数列的前项和，，且、、成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)求使成立的的最大值.
变式2-2．在等比数列中，a2＝1，a5＝8，n∈N*．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若＜100，求n的最大值．
变式2-3．已知等比数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求．
巩固练习
练习一 等比数列的基本量的计算
1．已知等差数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前项和.
2．设是公比不为的等比数列，为，的等差中项，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
3．已知等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
4．等差数列满足，.
（1）求的通项公式.
（2）设等比数列满足，，求数列的前n项和.
练习二 由等比数列求参数的值或最值
5．在等差数列中，已知前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)令，的前n项和，求使得成立的n的最小值．
6．已知等差数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若等比数列的前n项和为，且，，，求满足的n的最大值．
7．已知数列，其前项和为，且满足，．
（1）求；
（2）求满足的最小整数．
8．在各项都是正数的等比数列中，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记为数列的前n项和，若，求正整数m的值．
第二篇 数列
专题02 等比数列的基本量的计算
常见考点
考点一 等比数列的基本量的计算
典例1．已知等比数列的首项为2，等差数列的前n项和为，且，，．
(1)求，的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
【答案】(1)，
(2)
【解析】
【分析】
（1）设数列的公比为q，数列的公差为d．依题意求出，即可求出公比，从而求出的通项公式，再根据，得到方程组，求出和，即可求出；
（2）由（1）可得，再利用等比数列求和公式计算可得；
(1)
解：设数列的公比为q，数列的公差为d．
由，，得，∴．∴．
由得解得
∴．
(2)
（2）由（1）知，，
∴，
∴数列的前项和．
变式1-1．已知等差数列和正项等比数列满足．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据条件列公差与公比方程组，解得结果，代入等差数列通项公式即可；
（2）根据等比数列求和公式直接求解.
【详解】
（1）设等差数列公差为，正项等比数列公比为，
因为，
所以
因此；
（2）数列的前n项和
【点睛】
本题考查等差数列以及等比数列通项公式、等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
变式1-2．已知等差数列中，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若等比数列满足，求的前项和.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）设等差数列的公差为，则，由，可得，解得，求出. （2）设等比数列的公比为求出利用等比数列前n项和公式，求出
【详解】
（1）设等差数列的公差为，则
由，可得，解得
从而.
即数列的通项公式
（2）设等比数列的公比为，则
由， ，
解得，
所以的前项和公式．
【点睛】
本题考查的是等差数列与等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式的应用，属于基础题.
变式1-3．已知等差数列满足，前3项和．
(1)求的通项公式以及前项和；
(2)设等比数列满足，，求的通项公式以及前项和．
【答案】(1)；
(2)；
【解析】
【分析】
（1）根据与求出进而求出通项公式；（2）求出，进而求出公比，通项公式和前项和.
(1)
，
解得：
故通项公式，即．
(2)
由（1）得．
设的公比为q，则，从而．
故的前n项和
．
考点二 由等比数列求参数的值或最值
典例2．设是等比数列，其前项的和为，且，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意易得，根据等比数列的定义，可求出的公比为，由此即可求出的通项公式；
（2）由（1）可求，进而求出的表达式，再根据，列出关于不等式，解不等式，即可求出结果.
【详解】
（1）设的公比为q，因为，所以，所以，
又，所以，所以.
（2）因为，所以，
由，得，即，解得，
所以n的最小值为6.
【点睛】
本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和的求法和应用，属于基础题.
变式2-1．设是等比数列的前项和，，且、、成等差数列.
(1)求的通项公式；
(2)求使成立的的最大值.
【答案】(1)；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求出等比数列的公比，然后利用等比数列的通项公式可求得；
（2）利用等比数列的求和公式以及已知条件可得出关于的不等式，解之即可得解.
(1)
解：设等比数列的公比为，则，
由，
故.
(2)
解：，则，
整理得，
当为偶数时，，不合乎题意；
当为奇数时，则，可得，可得.
因此，的最大值为.
变式2-2．在等比数列中，a2＝1，a5＝8，n∈N*．
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的前n项和为，若＜100，求n的最大值．
【答案】(1)an＝2n﹣2；
(2)n＝7.
【解析】
【分析】
（1）由已知结合等比数控的性质可求公比q，然后结合通项公式即可求解；
（2）结合等比数列的通项公式，即可求解n.
(1)
因为a2＝1，a5＝8，
所以q3＝＝8，故q＝2，则
(2)
Sn＝＝＜100，
则2n＜201，
由于27＝128，28＝256
满足条件的n＝7.
变式2-3．已知等比数列的前项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件求得首项和公比，由此求得的通项公式.
（2）利用列方程，化简求得的值.
(1)
设等比数列首项为，公比为，
，
所以.
(2)
.
巩固练习
练习一 等比数列的基本量的计算
1．已知等差数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求的前项和.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据等差中项可得，进而求出公差，由此即可求出数列的通项公式；
（2）由题意可知是首项为，公比为的等比数列，再根据等比数列的前项和公式，即可求出结果.
(1)
解：设等差数列的公差为，
因为，
所以，即，
所以,
所以，即；
(2)
解：由（1）可知，，
所以，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以的前项和.
2．设是公比不为的等比数列，为，的等差中项，．
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设公比为，由题意可得，解得，可得；（Ⅱ）根据以及，可得，可得.
【详解】
解：（Ⅰ）设的公比为．
因为为，的等差中项，
所以，即，
又因为，
所以，
即，
因为，
所以．
所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以．
3．已知等差数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）先设等差数列的公差为，由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式；
（2）根据（1）的结果，得到，再由等比数列的求和公式，即可得出结果.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，因为，，
所以，解得，所以；
（2）由（1）可得，，即数列为等比数列，
所以数列的前n项和.
4．等差数列满足，.
（1）求的通项公式.
（2）设等比数列满足，，求数列的前n项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）利用等差数列的通项公式求解即可；（2）根据条件计算，从而求出，利用等比数列前项和公式即可求出.
【详解】
解：()∵是等差数列，
，
∴解出，，
∴
.
()∵，
，
是等比数列，
，
∴b1=4
练习二 由等比数列求参数的值或最值
5．在等差数列中，已知前n项和为，，．
(1)求的通项公式；
(2)令，的前n项和，求使得成立的n的最小值．
【答案】(1)
(2)3
【解析】
【分析】
（1）已知数列类型，待定系数列式求解即可.
（2）新数列，通项已知，可以求和，是定值，直接解不等式即可.
(1)
设公差为d，
由已知得，
解得，
所以，
即的通项公式为．
(2)
，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以成立的n的最小值为3．
6．已知等差数列满足，．
(1)求的通项公式；
(2)若等比数列的前n项和为，且，，，求满足的n的最大值．
【答案】(1)
(2)10
【解析】
【分析】
(1)设等差数列公差为d，根据已知条件列关于和d的方程组即可求解；
(2)设等比数列公比为q，根据已知条件求出和q，根据等比数列求和公式即可求出，再解关于n的不等式即可.
(1)
由题意得，解得，
∴．
(2)
∵，，
又，∴，公比，∴，
令，得，
令，所以n的最大值为10．
7．已知数列，其前项和为，且满足，．
（1）求；
（2）求满足的最小整数．
【答案】（1）；（2）最小整数.
【解析】
【分析】
（1）由可得，结合已知求通项(注意判断是否可以合并)，进而求.
（2）由题设有有成立，理解指数函数与幂函数的增长差异，应用枚举的方法写出最小整数．
【详解】
（1）由题设，，则，即，
∴，即，
∴，故，
∴.
（2）有，
∴，故满足的最小整数．
8．在各项都是正数的等比数列中，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记为数列的前n项和，若，求正整数m的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）利用等比数列的通项公式即可求解.
（Ⅱ）利用等比数列的前项和公式即可求解.
【详解】
（Ⅰ）是各项都是正数的等比数列，设等比数列的公式为，则，
由，则，
又，则，
（Ⅱ），解得.