备战2024年高考数学二轮复习专题02利用导数求函数的单调性(原卷版+解析)

这是一份备战2024年高考数学二轮复习专题02利用导数求函数的单调性(原卷版+解析)，共35页。试卷主要包含了含参的单调性讨论，根据单调区间求参数等内容，欢迎下载使用。

常见考点
考点一 含参的单调性讨论
典例1．已知函数，a∈R．
(1)讨论函数f（x）的单调性；
(2)讨论函数f（x）的零点个数．
变式1-1．已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)若存在极大值M和极小值N，且，求a的取值范围．
变式1-2．已知函数.其中实数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)求证：关于x的方程有唯一实数解.
变式1-3．函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若的图象恒在函数的图象的下方，求的取值范围.
考点二 根据单调区间求参数
典例2．函数.
(1)若在上单调递增，求a的取值范围；
(2)若时，证明：.
变式2-1．已知，函数，为自然对数的底数）．
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)若函数在上单调递增，求的取值范围；
变式2-2．已知函数．
(1)若在上单调递减，求的取值范围；
(2)若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，且．
变式2-3．已知函数．
(1)若在，上是减函数，求实数的取值范围．
(2)若的最大值为6，求实数的值．
巩固练习
练习一 含参的单调性讨论
1．已知函数．
(1)讨论的单调性．
(2)当时，证明：对恒成立．
2．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)设，若，，且，使得，求的最大值.
3．已知函数，，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对于定义域内任意，恒成立，求实数的取值范围.
4．已知函数.
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)当时，求在区间上的最小值和最大值.
练习二 根据单调区间求参数
5．已知函数，其中.
(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；
(2)若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围.
6．已知函数，是其导函数，其中．
(1)若在上单调递减，求a的取值范围；
(2)若不等式对恒成立，求a的取值范围．
7．已知函数，.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)若使得在上恒成立，求实数的取值范围.
8．已知函数，.
(1)若在定义域上单调递增，求的取值范围；
(2)若，证明：.
第六篇 导数
专题02 利用导数求函数的单调性
常见考点
考点一 含参的单调性讨论
典例1．已知函数，a∈R．
(1)讨论函数f（x）的单调性；
(2)讨论函数f（x）的零点个数．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，对a分类讨论： a≤0和a>0两种情况，判断单调性；
（2）对a分类讨论： a≤0和a>0两种情况，结合单调性即零点存在定理判断零点的个数.
(1)
，
当a0时，恒成立，故f（x）在（0，+∞）上单调递减；
当a＞0时，令，解得：；令，解得：.
所以在上单调递减，在上单调递增．
(2)
当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减,而有唯一零点；
当a＞0时，.
记，则.
令，解得：；令，解得：.
所以g在上单调递减，在上单调递增,所以，所以.
所以，两边取对数有：.
令，则有，所以.
因为，令，则有，所以所以，由零点存在定理可得，在有且只有一个零点，即在有且只有一个零点；
取f（）＝ea+1﹣（a+1）2.
令，则，，
当t＞1时，，∴单调递增，∴，∴g（t）单调递增，∴g（t）＞g（1）＝e﹣1＞0，故f（）＞0.
所以在有且只有一个零点，即在有且只有一个零点；
∴f（x）在和内各有一个零点．
综上，当a0时f（x）有一个零点，
当a＞0时f（x）有两个零点．
变式1-1．已知函数．
(1)讨论的单调区间；
(2)若存在极大值M和极小值N，且，求a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）求得，对参数进行分类讨论，在每种情况下考虑的正负，即可判断函数单调性；
（2）根据（1）中所求函数的单调性，求得的值以及的初步范围，结合的范围，即可分类讨论求得的范围.
(1)
因为，则其定义域为，
又，
当时，，
故当时，，单调递增；当时，，单调递减；
当时，令，解得或，
则当时，，故在单调递减；
当时，则当，，单调递减；当时，，单调递增；
当时，则当，，单调递减；当，，单调递增；
当时，则当，，单调递减；当，，单调递增；
综上所述，当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增；
当时，在单调递减；
当时，在单调递减，在单调递增.
(2)
因为存在极大值M和极小值N，显然或，
由（1）可知，，
因为，即，
当，，，则满足题意；
当时，，，则不满足题意.
综上所述：的取值范围时.
【点睛】
本题考察利用导数研究含参函数单调性的讨论，以及利用导数由函数单调性求极值，属综合中档题；处理问题的关键是合理的对参数的范围进行讨论.
变式1-2．已知函数.其中实数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)求证：关于x的方程有唯一实数解.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先对函数求导，然后分，和三种情况判断导数的正负，可求出函数的单调区间，
（2）将问题转化为函数有唯一零点，当时，求导后可得函数在R上单调递增，然后利用零点存在性定理可得函数有唯一零点，当时，令，由导数可判断存在唯一实数，使得，再根据利用零点存在性定理可得函数有唯一零点，当时，可得存在唯一实数，使得，可判断当时，函数只有1个零点，再利用导数讨论时，无零点即可
(1)
依题意，，
当时，，，函数单调递增.
若，则，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
若，则，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
(2)
证明：依题意，，即.
令，则.
当时，，
当时，，所以，
当时，，，，即，
综上，故函数在R上单调递增.
因为，，故时，恰有1个零点；
当时，令，则在R上单调递增，
因为，，
令，得，单调递增，所以，所以，
故存在唯一实数，使得，即，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
因为，，
故当时，函数恰有1个零点；
当时，在R上单调递增；
因为，，
所以存在唯一实数，使得，即，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
因为，，
所以当时，函数只有1个零点，
当时，，
由得，故.
令，，
因为，故在上单调递增；
因为，故，
故当时，函数无零点.
故当时，函数恰有1个零点.
综上所述关于x的方程有唯一实数解
【点睛】
关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，利用导数解决函数零点问题，解题的关键是将问题转化为函数有唯一零点，然后分，和三种情况利用导数结零点存在性定理讨论函数的零点，考查数学分类思想和转化思想，属于难题
变式1-3．函数.
(1)讨论函数的单调性；
(2)若的图象恒在函数的图象的下方，求的取值范围.
【答案】(1)答案见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，对a分类讨论：①当时；②当-1（2）令，把题意转化为.利用导数求出，即可求出的范围.
(1)
函数定义域为(0,+∞)，导函数.
①当时,ax+1>0.故当x∈(0,1)时, >0,f(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时, <0, f(x)单调递减.
②当-11>0.
从而当x∈(0,1)时, >0, f(x)单调递增；当x∈时, <0,f(x)单调递减；当x∈,>0, f(x)单调递增.
③当a=-1时, ，故f(x)在(0,+∞)单调递增.
④当a<-1时, 令=0得或1,且1>>0.
从而当x∈(0, )时, >0, f(x)单调递增；当x∈时, <0,f(x)单调递减；当x∈,>0, f(x)单调递增.
综上所述：①当时, f(x)在(0,1)单调递增， (1,+∞)单调递减；
②当-1③当a=-1时, f(x)在(0,+∞)单调递增.
④当a<-1时, f(x)在 (0, )上单调递增，在上单调递减，在单调递增.
(2)
要使的图象恒在函数的图象的下方，
只需在(0,+∞)上恒成立.
令，只需.
.
令=0得.
从而当x∈(0,1)时, >0, g(x)单调递增；当x∈时, <0, g(x)单调递减.
所以，解得：.
故的取值范围.
【点睛】
导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围；
（4）利用导数证明不等式.
考点二 根据单调区间求参数
典例2．函数.
(1)若在上单调递增，求a的取值范围；
(2)若时，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由在上单调递增，则在上恒成立，分离参数可得，设，求出导数，得出其单调性，从而得出其最大值，即可得出答案.
（2）由题意即证即证成立，设求出导数得出单调性，从而得出最大值，即可证明.
(1)
由在上单调递增，则在上恒成立，
又，所以在上恒成立
令，
令，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
所以
所以的取值范围为：
(2)
当时，
要证，只需证明
即证
令
令
恒成立，则在R上为减函数且，则
所以当时，，即，故在上单调递增，
当时，，即，故在上单调递减，
所以，即恒成立
即成立
【点睛】
关键点睛：本题考查已知函数在区间上的单调性求参数的范围和利用导数证明不等式，解答本题的关键是由已知的单调性，将问题转化为在已知区间上导函数在上恒成立问题求解；证明不等式是，先将所要证明的不等式转化为即证，构造函数，求出其最大值即可，属于难题.
变式2-1．已知，函数，为自然对数的底数）．
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)若函数在上单调递增，求的取值范围；
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导函数，令，可得的单调递增区间；
（2），若在内单调递增，即当时，，即对恒成立，分离参数求最值，即可求的取值范围．
(1)
解：当时，，
令，得，
的单调递增区间是；
(2)
解：，若在内单调递增，即当时，，
即对恒成立，
即对恒成立，
令，则
在上单调递增，
当时，当且仅当时，
的取值范围是．
变式2-2．已知函数．
(1)若在上单调递减，求的取值范围；
(2)若在处的切线斜率是，证明有两个极值点，且．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由题意可知在上恒成立，分离参数，设，根据导数求得的最大值，进而可得的取值范围；
（2）二次求导可得在和有个极值点，，再根据导数值的正负情况可得，，再利用不等性质即可得证.
(1)
，
在递减，
在上恒成立，
在上恒成立，
令，，
时，，递增，
时，，递减，
，
；
(2)
由题意得，，
，，
，令，解得：，
令，解得：，
故在递增，在递减，
又，，，
故分别在和有零点，，（不妨设，
时，，递减，
时，，递增，
时，，递减，
故在和有个极值点，，
而，，，
，，，
，，
，
故原命题成立．
【点睛】
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
变式2-3．已知函数．
(1)若在，上是减函数，求实数的取值范围．
(2)若的最大值为6，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）在，上是减函数可以转化为导函数在，上恒成立,进而求得实数的取值范围；
（2）根据函数单调性及边界值可以求得函数最大值，进而求得实数的值.
(1)
函数的定义域为，
，
在，上是减函数，
在，内恒成立，
在，内恒成立，
设，则，
，，在，内单调递增，
，
由可得．
(2)
函数的定义域为，
且，又知的最大值为6，
故，即，．
下面证明：当时，，
即，也即，
设，，
在内单调递增，在内单调递减，
，
在内恒成立，
符合题意．
巩固练习
练习一 含参的单调性讨论
1．已知函数．
(1)讨论的单调性．
(2)当时，证明：对恒成立．
【答案】(1)单调区间、单调性见解析；
(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出函数的导数，再分类讨论解不等式或即可作答.
（2）将不等式等价转化，构造函数，再探讨其最小值的符号，推理作答.
(1)
因为，
当时，，由，得，由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当时，由，得，由，得或，
所以在和上单调递减，在上单调递增，
当时，，当且仅当时取“=”，则在R上单调递减，
当时，由，得，由，得或，
所以在和上单调递减，在上单调递增.
(2)
当，时，，
令，则，
显然在上单调递增，且，，
即存在，使得，当时，，当时，，
于是得在上单调递减，在上单调递增，
即，而，即，
因此，，而，即，
所以对恒成立.
【点睛】
思路点睛：涉及双变量的不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助导数探讨函数的单调性、极(最)值问题处理.
2．已知函数.
(1)求函数的单调区间；
(2)设，若，，且，使得，求的最大值.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，然后对分、、三种情况讨论即可求解；
（2）由题意，当满足时，取得最大值，令，求出的值即可得答案.
(1)
解：因为，所以，
当时，令，可得或，令，可得，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
当时，，所以在R上单调递增；
当时，令，可得或，令，可得，
所以在和上单调递增，在上单调递减；
(2)
解：因为，所以由（1）知在和上单调递增，在上单调递减，
因为，，且，使得，
所以当满足时，取得最大值，
令，
所以当时，，
同理可得，
所以当时，，
所以此时，即的最大值为.
3．已知函数，，
(1)讨论函数的单调性；
(2)若对于定义域内任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出函数的定义域，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，即可得出函数的增区间和减区间；
（2）由参变量分离法可得出对任意的恒成立，构造函数，其中，则，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围.
(1)
解：函数的定义域为，.
当时，对任意的，，此时函数的单调递增区间为，无递减区间；
当时，由，可得；由，可得.
此时函数的增区间为，减区间为.
综上，当时，函数的单调递增区间为，无递减区间；
当时，函数的增区间为，减区间为.
(2)
解：对任意的，，即，
可得对任意的恒成立，
构造函数，其中，则，，
构造函数，其中，则，
所以，函数在上单调递增，
因为，，
所以，存在，使得，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，，
因为，则，
构造函数，其中，则，
所以，函数在上为增函数，
因为，则，则，
由可得，所以，，
所以，，可得，
所以，，.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
4．已知函数.
(1)若，讨论函数的单调性；
(2)当时，求在区间上的最小值和最大值.
【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减.
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）求解导函数，并求出的两根，得和的解集，从而得函数单调性；（2）由（1）得函数的单调性，从而得最小值，计算，再分类讨论与两种情况下的最大值.
(1)
函数定义域为，，时，或，因为，所以，时，或，时，，所以函数在和上单调递增，在上单调递减.
(2)
因为，由（1）知，在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，又因为，当时，，此时最小值为，最大值为；当时，，此时最小值为，最大值为.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．
练习二 根据单调区间求参数
5．已知函数，其中.
(1)若函数在上单调递增，求的取值范围；
(2)若函数存在两个极值点，当时，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题知在上恒成立，进而在上恒成立，再求函数的最小值即可得答案.
（2）先求得，利用换元法表示出，通过构造函数法，利用导数，结合来求得的取值范围.
(1)
解：因为，所以，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
故令，则在上恒成立，
所以在上单调递增，故，
所以，即的取值范围是.
(2)
解：，
对函数，设上一点为，
过点的切线方程为，
将代入上式得，
所以过的的切线方程为.
所以，要使与有两个交点，则，
此时有两个极值点，且.
，
令，则，
所以，
所以，即
所以，
令，
令，
所以在上递增.
因为，所以在上恒成立.
所以在上恒成立.
所以在上递增.
，
所以当时，，
所以的取值范围是.
【点睛】
关键点点睛：本题第二问解题的关键在于先根据题意，求函数过点的切线斜率，进而得，再结合极值点的定义得，进而换元，求出，再构造函数，研究函数的单调性得并结合得答案.
6．已知函数，是其导函数，其中．
(1)若在上单调递减，求a的取值范围；
(2)若不等式对恒成立，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，根据在上单调递减，可得在上恒成立，分类参数可得在上恒成立，令，利用导数求出函数的最大值即可得解；
（2）将已知不等式转化为对恒成立，令，在对分类讨论，求出的最大值小于等于0，即可求出答案.
(1)
解：，
因为在上单调递减，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，
则，
当时，，当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，
所以a的取值范围为；
(2)
解：由得，
即对恒成立，
令，
，
当时，，不满足；
当时，时，，时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，不符合题意；
当时，时，，时，，
所以函数在上递增，在上递减，
所以，解得，
综上所述，a的取值范围.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，考查了学生的计算能力.
7．已知函数，.
(1)若在上单调递增，求的取值范围；
(2)若使得在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）令并求出其导函数，再由给定的单调性建立关系求解作答.
（2）由已知确定m值，转化为探讨不等式在上恒成立，再构造函数推理作答.
(1)
令，
依题意，函数在上单调递增，即，恒成立，
即，即在上恒成立，
函数在上单调递减，有，则，
所以的取值范围是：.
(2)
依题意，，，
则当时，，而，
于是得，，，
当时，在时，，，有，不符合题意，
当时，令，，，
令，，显然函数在上单调递减，
当时，，当且仅当时取“=”，
即，，则在上单调递减，，
即不等式在上恒成立，因此，，
当时，因，，在上递减，
则存在唯一，使得，且当时，，即有，
从而得在上单调递增，则当时，，即，不符合题意，
综上得：，
所以实数的取值范围是.
【点睛】
思路点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的最值，涉及函数不等式恒成立问题，利用参数分离法，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题，考查学生的转化与化归能力,计算能力，属于难题.
8．已知函数，.
(1)若在定义域上单调递增，求的取值范围；
(2)若，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求导，根据在定义域上单调递增，由对任意，成立求解；
（2）求导，证明即可.
(1)
解：的定义域为，，
∵在定义域上单调递增，
∴对任意，成立，
即对任意，成立，
∴的取值范围是.
(2)
，
∵，
∴当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴的极小值即最小值为，
∴.